(整理)動態(tài)幾何解題方法與思考策略

動態(tài)幾何解題方法與思考策略重慶市渝中區(qū)第57中劉曉豐以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.一、動態(tài)幾何問題涉及的幾種情況動態(tài)幾何問題就其運動對象而言，有：1、點動（有單動點型、多動點型）.2、線動（主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型）。線動實質(zhì)就是點動，即點動帶動線動，進而還會產(chǎn)生形動，因而線動型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.3、形動（就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動）二、解決動態(tài)幾何問題的基本思考策略與分析方法：動態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識點,解答時要特別注意以下七點:1、把握運動變化的形式及過程；2、思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動中取靜：（最重要的一點）要善于在“動”中取“靜”（讓圖形和各個幾何量都“靜”下來），抓住變化中的“不變量”和不變關(guān)系為“向?qū)А保蟪鱿嚓P(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出基本的等量關(guān)系式;5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；(某些幾何元素的變化會帶來其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點、特殊值、特殊位置關(guān)系問題時常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類討論：將變化的幾何元素按題目指定的運動路徑運動一遍，從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改變，或圖形的有關(guān)幾何量的計算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決，7、確定變化分界點：若需分類討論，要以運動到達的特殊點為分界點，畫出與之對應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時刻，確定變化的范圍分類求解。例：如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點B、C、Q、R在同一條直線ι上，當C、Q兩點重合時開始，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm..解答下列問題：（1）當t=3秒時，求S的值；（2）當t=5秒時，求S的值；（3）當5秒≤t≤8秒時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.分析：當?shù)妊鱌QR從C、Q兩點重合開始，以1cm/秒的速度沿直線ι向左勻速運動時，正方形ABCD與等腰△PQR重合部分圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決。運動過程中有四個特殊位置點,它們分別是點B、C、R和等腰△PQR底邊的中點E,這四個特殊位置點就是分類討論問題的“分界點”.因為正方形ABCD的邊長為5cm，等腰三角形△RQR的底邊QR=8cm，（1）所以當t≤4秒時，QE逐漸地與與BC完全重合，則S是△QCG的面積，所以，當t=3秒時，，S是△QCG的面積（如圖一的“靜態(tài)”）；（2）當4秒≤t≤5秒時，即在點E落在線段上到點Q與點B重合，S是四邊形QCGP的面積（如圖二的“靜態(tài)”）；（3）當5秒≤t≤8秒時，點Q、R都在線段BC外，點E在BC上，S是一個五邊形BCGPH的面積（如圖三的“靜態(tài)”）.即1、運動規(guī)律；2、思考初始；3、動中取靜；4、找等量關(guān)系;5、列方程；6、是否分類討論：7、確定分界點。三、典型例題（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成（點和兩個三角形（如圖2所示）.將紙片（AB）方向平移沿直線始終在同一直線上），當點于點B重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點E,與分別交于點F、P.(1)當平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積等于原若存在，求x的值；若不存在，請說明理由.面積的.分析：1、把握運動變化的形式及過程：（AB）方向平移（點題目條件：將沿直線始終在同一直線上），當點于點B重合時，停止平移.所以這是一個圖形的平移運動2、思考初始；找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：（1）因為在（2）因為中，，所以由勾股定理，得，CD是斜邊上的中線，所以，，即.（3），.第1問：“動”中取“靜”：讓圖形和各個幾何量都“靜”下來。因為是平移，所以所以，所以.，所以，.同理：.又因為，所以.所以第2問：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）按題目指定的運動路徑運動一遍，重疊部分圖形的形狀不發(fā)生改變，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補法知道（4）“動”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為“不變量”，以為“向?qū)А比デ蟪鋈切蔚牡缀透摺＃ˋ）、（B）、又因為由的面積等于面積的一半，等于12.，所以，所以，得，又的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，所以所以..（C）、又因為在直角三角形PFC2中，C2F=X，，所以.又因為，.所以而，所以第3問：是求特殊值問題，則建立方程模型求解；存在.當時，即整理，得即當解得，