第46講矩陣及正交變換

第46線性代數(shù)59主講 大 教 April April第46高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網概率論與數(shù)理統(tǒng)計70講 傳課 考研題評講 傳課：:@:

April我在及線我在及線性代數(shù)59講受。課程高等數(shù)學138 各地大學生的課程的望對你的學習有所幫助希望此課件僅用望對你的學習有所幫助希望此課件僅用于你的學習。請尊大(聯(lián) 的著作權，切勿在大(聯(lián) April第46講正交矩陣及正交變換第46觀我的《高等數(shù)觀我的《高等數(shù)+ 請在優(yōu)酷網搜索我 + April第46 April第46先來證明一個命題 大Amxn矩陣 的充分必要條件是ATA=En。A的行向量組是兩兩正交的單 的充分必要條件是AAT=Em 大 April設Aα1α2...αn

第46證(1)A的列向量組是兩必要條件是A證(1)A的列向量組是兩必要條件是ATA=E 1則ATA

αT2(αα...α)(r2 T

α nα1α2 是兩兩正交的單位向rα

[α,α

1,i

(rij

0,i

April第46證(2A的行向量組是兩兩正交的單位向量的充分必要條件是證(2A的行向量組是兩兩正交的單位向量的充分必要條件是AAT=Eβ大 設A 2

β

β...β)(s 則AAT

(βT

βm β β mβ1,β2,..., β

大是兩兩正交的[β,β]1,ij(s 0,i

April推論設A推論設An階矩陣，則以下條件等(1)(1)(2)A-A的列向量組是兩兩正交的單位向 大A的行向量組是兩兩正交的單位向量 顯證(1)與顯由命題1，(1(3等價由ATAEA1AAA1April再April 第46A

orthogonalATAE(單位矩陣) A1AT April第46根據命題1，立即得到命題A的列向量組是兩兩正交的(3)A的行向量組是兩兩正交的單位向量 大

April1驗證以下矩陣是正交

第46

需驗證PTP

P P

或者說明A（四列）是兩

1 2

交的單April

第 1 1 TPPT

1

0

2

22 22

2

21000大 01 0 0010 大 0001

April正交矩陣的性

第46或者因為或者因為A的列AT的行向量是兩大證A正交ATAE 1AT大(1)AT)TATAAT)T EAT (AT)1(A1)T(AT)TAT正 大And(A1

AT)1A1)1A1正April正交矩陣的性

第46大學A正交ATAE AT大學

((2AB)1B1A1BT

(

AB推論1,...,1正交矩陣的性

第46若A|A|2=1，從而|A|=1-證

ATA

ATA

AAA

A2四川四

A1or大 April第46思考：正A的負矩陣–A和伴隨陣A*是否也是正交陣？大 April第462證明：正交矩A的負矩陣–A證

(A)T(A)AT)(A)AT AA*A

A A*

A 大A1or1A*A1or A*pril第46 AnotherA正交A1AT

A2A*A

A A*

AA1

A(A*)TA*(

AT)T(

AT)(

A)(

A2AAT A*正交

(λA)TλATApril第46思考：正交矩A的負矩陣–A和伴隨陣A*是否也是正交陣？Another(A*)T(AT)*,(AB)*B*(A*)T (AT)*(AAT)*E*A*正 此證涉及較多伴隨陣的性 April3x是單位

第46證明H=E-2xxT是正交矩陣。

134頁習題HTH(E2xxT)T(E2xxT(E2(xxT)T)(E2xxT(E2xxT)(E2xxT

(λAμB)TλATE2xxT2xxT4(xxT)(xxTE4xxT4x(xTx)xT

xTxE4xxT4xxT

H正April第46例如，設有單位向 x1(1,2, 大100 1HE

0102121(1266 6600 100 21 210101

212

12 3 3 矩00 1

2 April(1)設P是方陣且E+P證明E-P與(E+P)-1可交換(2)設P是正交矩陣且E+P

第46 稱矩陣證 (EP)(E EPPEP2EP)(E 大SoEP(EP)(EP)(E(EP)1(EP)(EP)(E大 E-P與(E+P)-1可交

April(2P是(2P是正E+P(EP)1(EP)(EP)(E 優(yōu) 證明(E-P)(E+P)-1是 證(2) A(EP)(EP)1(EP)(PTPP)1(EP)((PTE)P)1(EP)P1(PT(P1E)((PE)T)1(PTE)((PE)1)T(PE)T((PE)1 )1(PATPE)1(PE)(E)1(E(EP)(E A 稱矩 April第46

April第46 April第46定義定義5設Py=Px稱為orthogonal例如，平面上的旋轉變 大

1cosφyxsinφy

ory sinφ 1 就就是一個正交 April 旋轉變

第46y y1

sinφcosφy PcosφP四 四 大 大

April平面上繞原點的旋轉變

第46y y1

sinφcosφy 詳見下一講:第47講詳見下一講:第47講反之可以證明 大 April證y=Px是正交變

第46正交變正交變換有以下重要正交變換保持向量的內積不變；從正交變換保持向量的長度和夾角不變正交變換保持兩點的距離不變。(AB)TBT四(1)[Px,Py](Px)T(Py)(xTPT)(Py)四xT(PTPyxTEyxTyx 內積不 April正交變換保正交變換保持向量的正交變換保持向量的長度和夾角不變正交變換保持兩點的(1)[Px,Py][x,

內積不 大

Px

[Px,Px] [x,x]

[PxPy][x, 夾 不(3)保持向量長度不

April第46正交變正交變換保持向量的正交變換保持向量的長度和夾角不變正交變換保持兩點的因此，正交變換是一種保距變換 大 April第46可以證可以證明Q詳 47講平面及空間的