電動力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)第三章-穩(wěn)恒磁場2023答案

穩(wěn)恒磁場填空題已知半徑為圓柱形空間的磁矢勢(柱坐標(biāo)),該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（）.答案：穩(wěn)恒磁場的能量可用矢勢表示為（）.答案：分析穩(wěn)恒磁場時,能夠中引如磁標(biāo)勢的條件是（）.在經(jīng)典物理中矢勢的環(huán)流表示（）.答案：或求解區(qū)是無電流的單連通區(qū)域無界空間充滿均勻介質(zhì),該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢的解析表達(dá)式（）.答案：磁偶極子的矢勢等于（）；標(biāo)勢等于（）.答案：在量子物理中,矢勢具有更加明確的地位,其中是能夠完全恰當(dāng)?shù)孛枋龃艌鑫锢砹康模ǎ?答案：相因子,磁偶極子在外磁場中受的力為（）,受的力矩（）.答案：,電流體系的磁矩等于（）.答案：無界空間充滿磁導(dǎo)率為均勻介質(zhì),該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢的解析表達(dá)式（）.答案：選擇題線性介質(zhì)中磁場的能量密度為A.B.C.D.答案：A穩(wěn)恒磁場的泊松方程成立的條件是A．介質(zhì)分區(qū)均勻B.任意介質(zhì)C.各向同性線性介質(zhì)D.介質(zhì)分區(qū)均勻且答案：D引入磁場的矢勢的依據(jù)是A.;B.;C.;D.答案：D電流處于電流產(chǎn)生的外磁場中,外磁場的矢勢為,則它們的相互作用能為A.B.C.D.答案：A對于一個穩(wěn)恒磁場，矢勢有多種選擇性是因?yàn)锳.的旋度的散度始終為零;B.在定義時只確定了其旋度而沒有定義散度;C.的散度始終為零;答案：B磁偶極子的矢勢和標(biāo)勢分別等于A.B.C.D.答案：C用磁標(biāo)勢解決靜磁場問題的前提是A.該區(qū)域沒有自由電流分布B.該區(qū)域是沒有自由電流分布的單連通區(qū)域C.該區(qū)域每一點(diǎn)滿足D.該區(qū)域每一點(diǎn)滿足.答案：B問答題在穩(wěn)恒電流情況下，導(dǎo)電介質(zhì)中電荷的分布有什么特點(diǎn)？答：穩(wěn)恒電流請況下，因穩(wěn)恒電流是閉合的，則有，由電荷守恒定律：，知：，即：。所以導(dǎo)電介質(zhì)中電荷的分布不隨時間改變，為一守恒量，至于處ρ值大小由介質(zhì)形狀、大小等決定。若是均勻?qū)щ娊橘|(zhì),由得,,根據(jù)高斯定理,導(dǎo)體內(nèi)處處無凈余電荷分布,電荷分布于表面及不均勻處.判定下述說法的正確性，并說明理由：不同的矢勢，描述不同的磁場；不同的矢勢，可以描述同一磁場；的區(qū)域，也為零。答：（1）（3）不正確，（2）的說法是正確的，理由如下：因?yàn)槿我夂瘮?shù)φ的梯度的旋度恒為零，則：，說明：不同的矢勢，可以描述同一磁場。B=0的區(qū)域，若可以表為某一函數(shù)的梯度，即，則亦滿足，所以矢勢可以不為零。在空間充滿介質(zhì)與無介質(zhì)兩種情況下，若電流分布相同，它們的磁場強(qiáng)度是否相同？答：對于各向同性的均勻非鐵磁介質(zhì)，有：即又：所以。即：若電流分布相同，它們的磁場強(qiáng)度也相同。但若不滿足以上條件，即非均勻介質(zhì)或非靜磁場，即則一般不同。由，,有人認(rèn)為靜磁場的能量密度是，有人認(rèn)為是，你怎么認(rèn)為，為什么？答:能量密度是而不是，因?yàn)閮H對電流分布區(qū)域積分,磁場能量是分布于整個磁場中，而不是僅在電流分布區(qū)域內(nèi)。試比較靜電場和靜磁場。答:靜電場和靜磁場的比較靜電場：無旋場靜磁場：無源場可引入標(biāo)勢：，可引入矢勢：，，，微分方程微分方程邊值關(guān)系：，能量描述磁場B的、滿足的矢勢，是什么性質(zhì)的矢量場？它是否是唯一的？理由是什么？答：依題意有：知為一個有旋無源的場，既為橫場，但不是唯一的，還需在邊界上的法向分量。我們知道，在J=0的區(qū)域，磁場強(qiáng)度滿足，如果我們把它表示成，此方程仍能成立。試述這樣引入所存在的問題。答：若對靜磁場，時，，在此引入。只考慮了即沒有自由電流分布，但只有在沒有自由電流分布的單連通區(qū)域內(nèi)的環(huán)量才為零，只有對任意回路,都有時,一定成立,才可以引入磁標(biāo)勢。磁標(biāo)勢微分方程是否說明存在真正的磁荷?答:磁標(biāo)勢微分方程▽2φ=-ρm/μ0。不是，這是一種假設(shè),把電流圈看成磁偶極子，它即磁場是由磁偶極子產(chǎn)生的。而磁偶極子可看成極性不同的兩個“磁荷”形成，因而“磁荷”是磁偶極子的等效的假設(shè)。對于直長導(dǎo)線的磁場，在什么樣的區(qū)域可以引入磁標(biāo)勢？答：可以在除去以直長導(dǎo)線為邊線的半平面以外的區(qū)域引入磁標(biāo)勢。試用磁荷觀點(diǎn)與分子電流觀點(diǎn)求一個磁化矢量為的永磁體在空間激發(fā)的磁場，并證明所得結(jié)果是一致的。答：①依磁荷觀點(diǎn)：整個空間中由引入，即可表為，其中……⑴②依分子電流觀點(diǎn)：，而依照題意有：，，即：且……⑵比較⑴⑵知，所得結(jié)果是一致的。試說明：分布于有限區(qū)域的電流系，在時，其矢勢，其磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：因有限區(qū)域的電流系可以分成許多閉合流管，時，其失勢場主要由閉合流管的磁偶極勢和場決定即：=我們知道，對于閉合電流圈，在場點(diǎn)離其很遠(yuǎn)的情況下，其矢勢和場由其磁偶極勢和場所決定。因此，在上述條件下，人們常說小閉合電流圈與一磁偶極子等效。試問，當(dāng)場點(diǎn)離電流圈不是很遠(yuǎn)時，閉合電流能否與某種分布的磁偶極子等效？I3-12圖I3-12圖如圖3-12有一很長的柱面，表面有均勻分布的電流沿軸向流動，有人為了求柱面內(nèi)長度為的一段柱體之中的磁場能量，使用了如下的公式：按此公式，由于柱內(nèi)，因此磁場能。試問這樣做對否？為什么？解：這樣做顯然是不對的，因?yàn)榇艌瞿芰繎?yīng)為，僅對總能量有意義，并非能量密度。如何對小電流圈在遠(yuǎn)處的矢勢作多極展開？試證明展開式的第一項(xiàng)，第二項(xiàng)可表為，其中。解：對小電流圈在遠(yuǎn)處的矢勢，〉〉時，則又:所以對于一個閉合流管，有：式中，與積分變量無關(guān)，且為線圈上各點(diǎn)坐標(biāo)，則又由（全微分繞閉合回路的線積分為零）得所以，其中。磁場矢勢的展開中，這說明什么？試與電多極距比較.答:電勢多極展開:矢勢多極展開:可見,磁場和電場不同，展開式中不含磁單極項(xiàng)。這是磁單極不存在的必然結(jié)果.簡述阿哈羅諾夫—玻姆效應(yīng)的結(jié)果答:在不存在磁場的區(qū)域,矢勢,矢勢可以對電子發(fā)生作用,哈羅諾夫—玻姆效應(yīng)表明矢勢和具有可觀測的物理效應(yīng)。哈羅諾夫—玻姆效應(yīng)是量子力學(xué)現(xiàn)象.試證明在似穩(wěn)條件下，每個瞬時有：（1）對無分支交流電路，電路各處的電流強(qiáng)度是相等的；（2）對有分支的交流電路，在分支點(diǎn)處基爾霍夫第一定律仍然成立。解：在似穩(wěn)條件滿足時，電磁場的波動性可以忽略，推遲效應(yīng)可以忽略，場與場源的關(guān)系近似地看作瞬時關(guān)系，位移電流,所以場方程變?yōu)閷蛇吶∩⒍鹊?：⑴無分支電路，任選兩處A，B.AB段電路可由S1截面，表面，S2截面圍成一閉合曲面，則由似穩(wěn)條件有由A，B任意性知：電路各處電流強(qiáng)度相同。⑵多分支電路，設(shè)匯集于節(jié)點(diǎn)處的各支路橫截面為S1,S2……….Sn,總表面為同理則有：即:即分支點(diǎn)處基爾霍夫第一定律仍然成立。計(jì)算和證明試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。解：是沿z方向的均勻恒定磁場，即，由矢勢定義得；；三個方程組成的方程組有無數(shù)多解，如：eq\o\ac(○,1)，即：；eq\o\ac(○,2)，即：解eq\o\ac(○,1)與解eq\o\ac(○,2)之差為則這說明兩者之差是無旋場均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數(shù)為n，電流強(qiáng)度I，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)題意，取螺線管的中軸線為z軸。本題給定了空間中的電流分布，故可由求解磁場分布，又J只分布于導(dǎo)線上，所以dl1)螺線管內(nèi)部：由于螺線管是無限長r理想螺線管，所以其內(nèi)部磁場是Oz均勻強(qiáng)磁場，故只須求出其中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即可知道管內(nèi)磁場。由其無限長的特性，不I妨取場點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系。，取的一小段，此段上分布有電流2)螺線管外部：由于螺線管無限長，不妨就在過原點(diǎn)而垂直于軸線的平面上任取一點(diǎn)為場點(diǎn)，其中。設(shè)有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域?yàn)檎婵?，試用唯一性定理求磁感?yīng)強(qiáng)度，然后求出磁化電流分布。解：設(shè)z>0區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為，；z<0區(qū)域?yàn)椋?，由對稱性可知和均沿方向。由于的切向分量連續(xù)，所以。由此得到，滿足邊值關(guān)系，由唯一性定理可知，該結(jié)果為唯一正確的解。以z軸上任意一點(diǎn)為圓心，以r為半徑作一圓周，則圓周上各點(diǎn)的大小相等。根據(jù)安培環(huán)路定理得：，即，，(z>0)；，(z<0)。在介質(zhì)中所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應(yīng)電流：，電流在z<0區(qū)域內(nèi)，沿z軸流向介質(zhì)分界面。設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：假設(shè)本題中的磁場分布仍呈軸對稱，則可寫作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由得：在x<0的介質(zhì)中，則：再由可得，所以，（沿z軸）某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足。解：由于B具有對稱性，設(shè)，其中，，即：，（常數(shù)）。當(dāng)時，為有限，所以；，即：（1）因?yàn)?，，所以，即?）直接驗(yàn)證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數(shù))兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的L和a的關(guān)系。提示：用條件解：1）由畢—薩定律，L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，同理，-L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，。所以，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（1）2）因?yàn)椋?；又因?yàn)?，所以，。代入?）式并化簡得：將z=0帶入上式得：，半徑為a的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢所滿足的方程為：自然邊界條件：時，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標(biāo)系，該問題具有軸對稱性，且解與z無關(guān)。令，，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由得：，由并令其為零，得：，。；假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場強(qiáng)度為。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。解：由得：(1)令,得:,(2)顯然滿足(1)式，所以磁單極子產(chǎn)生的矢勢討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的表達(dá)式在具有奇異性，此時不合理。將一磁導(dǎo)率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度和誘導(dǎo)磁矩m。解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)，取H0的方向?yàn)?，此球體被外加磁場磁化后，產(chǎn)生一個附加磁場，并與外加均勻場相互作用，最后達(dá)到平衡，呈現(xiàn)軸對稱。本題所滿足的微分方程為：（1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足及由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：；由兩個銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：；；，即：，（），（）在R<R0區(qū)域內(nèi)，有一個內(nèi)外半徑為和的空心球，位于均勻外磁場內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為，求空腔內(nèi)的場，討論時的磁屏蔽作用。解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)，取球坐標(biāo)，選取H0的方向?yàn)?，在外場H0的作用下，空心球被磁化，產(chǎn)生一個附加磁場，并與原場相互作用，最后達(dá)到平衡，B的分布呈現(xiàn)軸對稱。磁標(biāo)勢的微分方程為：；；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；；由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出三個泛定方程的解的形式為：；；因?yàn)榉憾ǚ匠痰慕馐前旬a(chǎn)生磁場的源H0做頻譜分解而得出的，分解所選取的基本函數(shù)系是其本征函數(shù)系。在本題中源的表示是：所以上面的解中，，解的形式簡化為：；；代入銜接條件得：，，，。解方程組得：，，，。從而，空間各點(diǎn)磁標(biāo)勢均可確定?？涨粌?nèi)：當(dāng)時，，所以。即空腔中無磁場，類似于靜電場中的靜電屏蔽。設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為，其中是恒定的與無關(guān)的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球（為常值）浸入磁導(dǎo)率為的無限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：根據(jù)題意，取球心為原點(diǎn)，建立球坐標(biāo)系，以M0的方向?yàn)椋绢}具有軸對稱的磁場分布，磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出拉普拉斯方程通解的形式為：；；代入銜接條件，比較各項(xiàng)的系數(shù)，得：，；；，，由此又，（其中）將B的表達(dá)式代入，得：將上題的永磁球置入均勻外磁場中，結(jié)果如何？解：根據(jù)題意假設(shè)均勻外場的方向與M0的方向相同，定為坐標(biāo)z軸方向。磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件：；；解得滿足自然邊界條件的解是：，，代入銜接條件，得：解得：，，，，其中，有一個均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動，求球內(nèi)外的磁場。提示：本題通過解或的方程都可以解決，也可以比較本題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。解：根據(jù)題意，取球體自轉(zhuǎn)軸為z軸，建立球坐標(biāo)系。磁標(biāo)勢的微分方程為：；自然邊界條件：為有限；。銜接條件