《王老師教我們語文》數(shù)學(xué)

《王老師教我們語文》數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對物體形狀及運(yùn)動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理?；A(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運(yùn)用總是個人與團(tuán)體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識的加速，直至今日。今日，數(shù)學(xué)被使用在世界上不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家亦研究沒有任何實(shí)際應(yīng)用價值的純數(shù)學(xué)，即使其應(yīng)用常會在之后被發(fā)現(xiàn)。創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域……），序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……），拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）。詞源數(shù)學(xué)（mathematics；希臘語：μαθηματικ）這一詞在西方源自于古希臘語的μ？θημα（máthēma），其有學(xué)習(xí)、學(xué)問、科學(xué)，以及另外還有個較狹意且技術(shù)性的意義－“數(shù)學(xué)研究”，即使在其語源內(nèi)。其形容詞μαθηματικ？？（mathēmatikós），意義為和學(xué)習(xí)有關(guān)的或用功的，亦會被用來指數(shù)學(xué)的。其在英語中表面上的復(fù)數(shù)形式，及在法語中的表面復(fù)數(shù)形式lesmathématiques，可溯至拉丁文的中性復(fù)數(shù)mathematica，由西塞羅譯自希臘文復(fù)數(shù)ταμαθηματικ？（tamathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指“萬物皆數(shù)”的概念。歷史奇普，印加帝國時所使用的計(jì)數(shù)工具。數(shù)學(xué)，起源于人類早期的生產(chǎn)活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。數(shù)學(xué)的希臘語μαθηματικ？？（mathematikós）意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，源于μ？θημα（máthema）（“科學(xué)，知識，學(xué)問”）。數(shù)學(xué)的演進(jìn)大約可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數(shù)字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認(rèn)知是人類思想的一大突破。除了認(rèn)知到如何去數(shù)實(shí)際物質(zhì)的數(shù)量，史前的人類亦了解了如何去數(shù)抽象物質(zhì)的數(shù)量，如時間－日、季節(jié)和年。算術(shù)（加減乘除）也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑亦證實(shí)了當(dāng)時已有幾何的知識。更進(jìn)一步則需要寫作或其他可記錄數(shù)字的系統(tǒng)，如符木或于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數(shù)系統(tǒng)。從歷史時代的一開始，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計(jì)算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在研究經(jīng)典力學(xué)的過程中，微積分的方法被發(fā)明。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。數(shù)學(xué)從古至今便一直不斷地延展，且與科學(xué)有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數(shù)學(xué)在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中。依據(jù)MikhailB.Sevryuk于美國數(shù)學(xué)會通報2022年1月的期刊中所說，“存在于數(shù)學(xué)評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年（數(shù)學(xué)評論的創(chuàng)刊年份）現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細(xì)目。此一學(xué)海的絕大部份為新的數(shù)學(xué)定理及其證明。”形成、純數(shù)與應(yīng)數(shù)及美學(xué)數(shù)學(xué)出現(xiàn)于包含著數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化等困難問題內(nèi)。一開始，出現(xiàn)于貿(mào)易、土地測量及之后的天文學(xué)；今日，所有的科學(xué)都存在著值得數(shù)學(xué)家研究的問題，且數(shù)學(xué)本身亦存在了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發(fā)明者，費(fèi)曼發(fā)明了費(fèi)曼路徑積分，來用于推理及物理的洞察，而今日的弦理論亦生成為新的數(shù)學(xué)。一些數(shù)學(xué)只和生成它的領(lǐng)域有關(guān)，且應(yīng)用于此領(lǐng)域的更多問題解答。但一般被一領(lǐng)域生成的數(shù)學(xué)亦可以在其他許多領(lǐng)域內(nèi)被有用的使用，且成為數(shù)學(xué)概念的一般知識。即使是“最純的”數(shù)學(xué)通常亦可以被用于實(shí)際的用途上的此一卓越的事實(shí)，被維格納稱為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可想像的有效性”。如同大多數(shù)的研究領(lǐng)域，科學(xué)知識的爆發(fā)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的專業(yè)化。一主要的分歧為純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。在應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)，又被分成兩大領(lǐng)域，并且變成了它們自身的學(xué)科－統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)。許多數(shù)學(xué)家談?wù)摂?shù)學(xué)的優(yōu)美，其內(nèi)在的美學(xué)及美。簡單和一般化即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里德對存在無限多質(zhì)數(shù)的證明，及加快計(jì)算的數(shù)值方法，如快速傅里葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在一個數(shù)學(xué)家的自白這章文章中表示其所相信的美學(xué)思維足夠使其進(jìn)行純數(shù)學(xué)的研究。符號、語言與嚴(yán)謹(jǐn)在現(xiàn)代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復(fù)雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產(chǎn)生的。我們現(xiàn)今所使用的大部份數(shù)學(xué)符號都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來了。在此之前，數(shù)學(xué)被以文字書寫出來，這是個會限制住數(shù)學(xué)發(fā)展的刻苦程序?，F(xiàn)今的符號使得數(shù)學(xué)對于專家而言更容易去控作，但初學(xué)者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。數(shù)學(xué)語言亦對初學(xué)者而言感到困難。如或和只這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學(xué)者的，如開放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思。數(shù)學(xué)術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學(xué)家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”。嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部份。數(shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。[8]在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論點(diǎn)，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀(jì)才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度。當(dāng)大量的計(jì)量難以被驗(yàn)證時，其證明亦很難說是有效地嚴(yán)謹(jǐn)。公理在傳統(tǒng)的思想中是“不證自明的真理”，但這種想法是有問題的。在形式上，公理只是一串符號，其只對可以由公理系統(tǒng)導(dǎo)出的公式之內(nèi)容有意義。希爾伯特計(jì)劃即是想將所有的數(shù)學(xué)放在堅(jiān)固的公理基礎(chǔ)上，但依據(jù)哥德爾不完備定理，每一不相矛盾的公理系統(tǒng)必含有一不可決定的公式；因而所有數(shù)學(xué)的最終公理化是不可能的。然而數(shù)學(xué)常常被想像成只是一些公理化的集合論，在此意義下，所有數(shù)學(xué)敘述或證明都可以寫成集合論的公式。數(shù)學(xué)作為科學(xué)卡爾·弗里德里?！じ咚狗Q數(shù)學(xué)為“科學(xué)之母”。其拉丁原文為ReginaScientiarum，而其德語為Kö；niginderWissenschaften（愿意：科學(xué)的皇后），其對應(yīng)于科學(xué)的單字意思為知識。而實(shí)際上，科學(xué)science在英語內(nèi)的原文內(nèi)也是這個意思，且無疑問地?cái)?shù)學(xué)確實(shí)一門在此意思下的“科學(xué)”。將科學(xué)限定在自然科學(xué)則是在此之后的事。若認(rèn)為科學(xué)是只指物理的世界時，則數(shù)學(xué)，至少是純數(shù)學(xué)不會是一門科學(xué)。愛因斯坦曾這樣描述著：“數(shù)學(xué)定律越和現(xiàn)實(shí)有關(guān)，它們越不確實(shí)；若它們越是確定的話，它們和現(xiàn)實(shí)越不會有關(guān)?！痹S多哲學(xué)家相信數(shù)學(xué)在經(jīng)驗(yàn)上具可否證性，且因此不是卡爾·波普爾所定義的數(shù)學(xué)。但在1930年代時，在數(shù)學(xué)邏輯上的重大進(jìn)展顯示數(shù)學(xué)不能歸并至邏輯內(nèi)，且卡爾·波普爾推斷“大部份的數(shù)學(xué)定律，如物理及生物學(xué)一樣，是假設(shè)演繹的：純數(shù)學(xué)因此變得更接近其假設(shè)為猜測的自然科學(xué)，比它現(xiàn)在看起來更接近?！逼渌乃枷爰遥巛^著名的拉卡托斯，提供了一個關(guān)于數(shù)學(xué)本身的可否證性版本。另一種觀點(diǎn)為某些科學(xué)領(lǐng)域（如理論物理）是其公理為嘗試著符合現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)。而事實(shí)上，理論物理學(xué)家齊曼即認(rèn)為科學(xué)是一種公眾知識且因此亦包含著數(shù)學(xué)。在任何的情況下，數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的許多領(lǐng)域都有著相同的地方，尤其是在假設(shè)的邏輯推論的探索。直覺和實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)和科學(xué)的猜想建構(gòu)上皆扮演著重要的角色。實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)中的重要種持續(xù)地在增加，且計(jì)算（computation）和模擬在科學(xué)及數(shù)學(xué)中所扮演的角色也越來越加重，減輕了數(shù)學(xué)不使用科學(xué)方法的缺點(diǎn)。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2022年的書籍一種新科學(xué)中提出，計(jì)算數(shù)學(xué)應(yīng)被視為其自身的一科學(xué)領(lǐng)域來探索。數(shù)學(xué)家對此的態(tài)度并不一致。一些研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家覺得他們是科學(xué)家，而那些研究純數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領(lǐng)域內(nèi)工作，且因此基本上是個哲學(xué)家。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為稱他們的工作是一種科學(xué)，是低估了其美學(xué)方面的重要性，以及其做為七大博雅教育之一的歷史；另外亦有人認(rèn)為若忽略其與科學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，是假裝沒看到數(shù)學(xué)和其在科學(xué)與工程之間的交界導(dǎo)致了許多在數(shù)學(xué)上的發(fā)展此一事實(shí)。這兩種觀點(diǎn)之間的差異在哲學(xué)上產(chǎn)生了數(shù)學(xué)是被創(chuàng)造（如藝術(shù)）或是被發(fā)現(xiàn)（如科學(xué)）的爭議。大學(xué)院系劃分中常見“科學(xué)和數(shù)學(xué)”系，這指出了這兩個領(lǐng)域被看作同盟而非同一。實(shí)際上，數(shù)學(xué)家基本上會在大體上與科學(xué)家合作，但在細(xì)節(jié)上卻會分開。這亦是數(shù)學(xué)哲學(xué)眾多議題的其中之一個議題。數(shù)學(xué)獎通常和其他科學(xué)的獎項(xiàng)分開。數(shù)學(xué)上最有名的獎為菲爾茲獎，創(chuàng)立于1936年，每四年頒獎一次。它通常被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項(xiàng)為阿貝爾獎，創(chuàng)立于2022年。兩者都頒獎于特定的工作主題，包括數(shù)學(xué)新領(lǐng)域的創(chuàng)新或已成熟領(lǐng)域中未解決問題的解答。著名的23個問題，稱為希爾伯特的23個問題，于1900年由德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數(shù)學(xué)家之間有著極高的名望，且至少有九個問題已經(jīng)被解答了出來。另一新的七個重要問題，稱為千禧年大獎難題，在2000年發(fā)表出來。每一個問題的解答都有著一百萬美元的獎金，且只是一個問題（黎曼猜想）和希爾伯特的問題重復(fù)。數(shù)學(xué)的各領(lǐng)域早期的數(shù)學(xué)完全著重在演算實(shí)際運(yùn)算的需要上，有如反映在中國算盤上的一般。如同上面所述一般，數(shù)學(xué)主要的學(xué)科首要產(chǎn)生于商業(yè)上計(jì)算的需要、了解數(shù)字間的關(guān)系、測量土地及預(yù)測天文事件。這四種需要大致地與數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化（即算術(shù)、代數(shù)、幾何及分析）等數(shù)學(xué)上廣泛的子領(lǐng)域相關(guān)連著。除了上述主要的關(guān)注之外，亦有用來探索由數(shù)學(xué)核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：至邏輯、至集合論（基礎(chǔ)）、至不同科學(xué)的經(jīng)驗(yàn)上的數(shù)學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)）、及較近代的至不確定性的嚴(yán)格學(xué)習(xí)。數(shù)量數(shù)量的學(xué)習(xí)起于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。整數(shù)更深的性質(zhì)被研究于數(shù)論中，此一理論包括了如費(fèi)馬最后定理之著名的結(jié)果。數(shù)論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素?cái)?shù)猜想及哥德巴赫猜想。當(dāng)數(shù)系更進(jìn)一步發(fā)展時，整數(shù)被承認(rèn)為有理數(shù)的子集，而有理數(shù)則包含于實(shí)數(shù)中，連續(xù)的數(shù)量即是以實(shí)數(shù)來表示的。實(shí)數(shù)則可以被進(jìn)一步廣義化成復(fù)數(shù)。數(shù)的進(jìn)一步廣義化可以持續(xù)至包含四元數(shù)及八元數(shù)。自然數(shù)的考慮亦可導(dǎo)致超限數(shù)，它公式化了計(jì)數(shù)至無限的這一概念。另一個研究的領(lǐng)域?yàn)槠浯笮?，這個導(dǎo)致了基數(shù)和之后對無限的另外一種概念：艾禮富數(shù)，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。結(jié)構(gòu)許多如數(shù)及函數(shù)的集合等數(shù)學(xué)物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些物件的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、體及其他本身即為此物件的抽象系統(tǒng)中。此為抽象代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數(shù)中。向量的研究結(jié)合了數(shù)學(xué)的三個基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。向量分析則將其擴(kuò)展至第四個基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化?？臻g空間的研究源自于幾何－尤其是歐式幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何物件的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯?，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域，并包含有存在久遠(yuǎn)的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗(yàn)證過。變化了解及描述變化在自然科學(xué)里是一普遍的議題，而微積分即是一發(fā)展來做為研究變化的有利工具。函數(shù)誔生于此，做為描述一變化的量的核心概念。對于實(shí)數(shù)及實(shí)變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實(shí)分析，而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價領(lǐng)域。黎曼猜想－數(shù)學(xué)最基本的未決問題之一－即以復(fù)分析來描述。泛函分析注重在函數(shù)的（一般為無限維）空間上。泛函分析的眾多應(yīng)用之一為量子力學(xué)。許多的問題很自然地會導(dǎo)出數(shù)量與其變化率之間的關(guān)系，而這則被微分方程所研究著。在自然界中的許多現(xiàn)象可以被動力系統(tǒng)所描述；混沌理論明確化許多表現(xiàn)出不可預(yù)測的系統(tǒng)之行為，而且為決定性系統(tǒng)的行為?；A(chǔ)與哲學(xué)為了搞清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實(shí)定理?，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)連性。離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)是指對理論計(jì)算機(jī)科學(xué)最有用處的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之總稱，包含有可計(jì)算理論、計(jì)算復(fù)雜性理論及信息論?？捎?jì)算理論檢查電腦的不同理論模型之極限，包含現(xiàn)知最有力的模型－圖靈機(jī)。復(fù)雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因?yàn)闀ㄙM(fèi)太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實(shí)際上可行的，盡管電腦硬件的快速進(jìn)步。最后，信息論專注在可以儲存在特定媒體內(nèi)的資料總量，且因此有壓縮及熵等概念。做為一相對較新的領(lǐng)域，離散數(shù)學(xué)有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題－千禧年大獎難題之一。一般相信此問題的解答是否定的。應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)思考將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)、工商業(yè)及其他領(lǐng)域上之現(xiàn)實(shí)問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)，它利用機(jī)率論為其工具并允許對含有機(jī)會成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測。大部份的實(shí)驗(yàn)、測量及觀察研究需要統(tǒng)計(jì)對其資料的分析。（許多的統(tǒng)計(jì)學(xué)家并不認(rèn)為他們是數(shù)學(xué)家，而比較覺得是合作團(tuán)體的一份子。）數(shù)值分析研究如何有效地用電腦的方法解決大量因太大而不可能以人類的演算能力算出的數(shù)學(xué)問題；它亦包含了對計(jì)算中舍入誤差或其他來源的誤差之研究。模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義就一個側(cè)面看，在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類認(rèn)識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內(nèi)涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實(shí)就是集合。從這個意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運(yùn)算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實(shí)的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是階段性的。經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。在較長時間里，精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運(yùn)動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。各門學(xué)科，尤其是人文、社會學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計(jì)算機(jī)、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅速發(fā)展，要使計(jì)算機(jī)能像人腦那樣對復(fù)雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認(rèn)識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)……。在人們的工作經(jīng)驗(yàn)中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計(jì)算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。人與計(jì)算機(jī)相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現(xiàn)象。但計(jì)算機(jī)對模糊現(xiàn)象識別能力較差，為了提高計(jì)算機(jī)識別模糊現(xiàn)象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設(shè)計(jì)成機(jī)器能接受的指令和程序，以便機(jī)器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應(yīng)的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數(shù)學(xué)工具，這就推動數(shù)學(xué)家深入研究模糊數(shù)學(xué)。所以，模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有其科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)展的必然性。研究內(nèi)容1965年，美國控制論專家、數(shù)學(xué)家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科的誕生。模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要有以下三個方面：第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。察德以精確數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對數(shù)學(xué)的集合概念進(jìn)行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運(yùn)算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，就有可能構(gòu)造出研究現(xiàn)實(shí)世界中的大量模糊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠?qū)磥硐喈?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實(shí)數(shù)來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為，即“半老”，60歲屬于“老”的程度。查德認(rèn)為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當(dāng)隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。為了實(shí)現(xiàn)用自然語言跟計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計(jì)算機(jī)輸入指令，建立和是的模糊數(shù)學(xué)模型，這是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數(shù)學(xué)模型，使人類語言數(shù)量化、形式化。如果我們把合乎語法的標(biāo)準(zhǔn)句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達(dá)相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進(jìn)行定量描述，并定出一套運(yùn)算、變