《圓錐曲線的應用》考點透視

《圓錐曲線的應用》考點透視【考點透視】一、考綱指要1．會按條件建立目標函數(shù)研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題，注意運用“數(shù)形結合”、“幾何法”求某些量的最值．2．進一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質解決有關應用問題的方法．二、命題落點1．考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應用,修建公路費用問題轉化為距離最值問題數(shù)學模型求解，如例1;2．考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，如例2;3．考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力，如例3.【典例精析】例1：(2022·福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉運貨物.經(jīng)測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是（）BBAQPCM東北A．(2eq\r(7)-2)a萬元B．5a萬元C．(2eq\r(7)＋1)a萬元D．(2eq\r(3)＋3)a萬元解析:設總費用為y萬元,則y＝a·MB＋2a·MC∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點,且a＝1,c＝2.過M作雙曲線的焦點B對應的準線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得eq\f(MB,MD)＝e,即MB＝2MD．∴y＝a·2MD＋2a·MC＝2a·(MD＋MC)≥2a·CE.(其中CE是點C到準線BBAQPCM東北EGHD∵CE＝GB＋BH＝(c-eq\f(a2,c))＋BC·cos600＝(2-eq\f(1,2))＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).∴y≥5a(萬元).答案:B．例2：(2022·北京,理17)如圖,過拋物線y2＝2px(p＞0)上一定點P(x0,y0)(y0＞0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2).（1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離;（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解析:(1)當y＝eq\f(p,2)時,x＝eq\f(p,8).又拋物線y2＝2px的準線方程為x＝-eq\f(p,2),由拋物線定義得,所求距離為.（2）設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB．由y12＝2px1,y02＝2px0,相減得:,故.同理可得,由PA、PB傾斜角互補知,即,所以,故.設直線AB的斜率為kAB,由,,相減得,所以.將代入得,所以kAB是非零常數(shù).例3：(2022·廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/s,相關各點均在同一平面上)解析：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).xxyOCPAABN設P(x,y)為巨響發(fā)生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|＝|PC|,故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y＝－x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|－|PA|＝340×4＝1360.由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線eq\f(x2,a2)-\f(y2,b2)=1上,依題意得a＝680,c＝1020,∴b2＝c2-a2＝10202-6802＝5×3402,故雙曲線方程為eq\f(x2,6802)-\f(y2,5×3402)=1.用y＝－x代入上式,得x＝±680eq\r(5),∵|PB|＞|PA|,∴x＝-680eq\r(5),y＝680eq\r(5),即P(-680eq\r(5),680eq\r(5)),故PO＝680eq\r(10).答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680eq\r(10)m處.【常見誤區(qū)】1．圓錐曲線實際應用問題多帶有一定的實際生活背景,考生在數(shù)學建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難,回到定義去,將實際問題與之相互聯(lián)系,靈活轉化是解決此類難題的關鍵;2．圓錐曲線的定點、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質,考生往往只能浮于表面分析問題,而不能總結出其實質性的結論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設法推導論證.【基礎演練】1．(2022·重慶)若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（）A．B．C．D．22．(2022·全國)設,則二次曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．3．(2022·精華教育三模)一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它的方程是x2＝2y,y∈[0,10]在杯內(nèi)放入一個清潔球,要求清潔球能擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為（）A．B．1C．D．24．(2022·泰州三模)在橢圓上有一點P,F1、F2是橢圓的左右焦點,△F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有（）A．2個B．4個C．6個D．8個5．(2022·湖南)設F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i＝1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為.6．(2022·上海)教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質是.7．(2022·浙江)已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上,點M(m,0)到直線AP的距離為1,（1）若直線AP的斜率為k,且|k|[],求實數(shù)m的取值范圍；（2）當m＝＋1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點M,求此雙曲線的方程.8．(2022·上海)如圖,直線y＝x與拋物線y＝x2-4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y＝-5交于Q點.（1）求點Q的坐標；（2）當P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B)的動點時,求ΔOPQ面積的最大值.9．(2022·北京春)2003年10月15日9時,“神舟”五號載人飛船發(fā)射升空,于9時9分50秒準確進入預定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓.選取坐標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R＝6371（1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程;（2）飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時59分返回艙與推進艙分離,結束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡天飛行的平均速度是多少km/s？(結果精確到1km/s)(注:km/s即千米/秒)參考答案1.A2.D3.B4.A5.6.用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質．7.(1)由條件得直線AP的方程即因為點M到直線AP的距離為1,∴即.∵∴解得＋1≤m≤3或-1≤m≤1-.∴m的取值范圍是(2)可設雙曲線方程為由得.又因為M是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP＝45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此,(不妨設P在第一象限)直線PQ方程為.直線AP的方程y＝x-1,∴解得P的坐標是(2＋,1＋),將P點坐標代入得,,所以所求雙曲線方程為即8.（1）解方程組,得或,即A(－4,－2),B(8,4),從而AB的中點為M(2,1).由kAB＝,直線AB的垂直平分線方程y－1＝-2(x－2).令y＝－5,得x＝5,∴Q(5,－5)(2)直線OQ的方程為x＋y＝0,設P(x,x2－4).∵點P到直線OQ的距離d＝＝,,∴SΔOPQ＝＝.∵P為拋物線上位于線段AB下方的點,且P不在直線OQ上,∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8.∵函數(shù)y＝x2＋8x－32在區(qū)間[－4,8]上單調遞增,∴當x＝8時,ΔOPQ的面積取到最大值30.9.(1)設橢圓的方程為,由題設