數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊6.2.3平面向量的數(shù)乘運算

幾何意義：將a的長度擴大（或縮?。﹟λ|倍，改變（不改變）a的方向，就得到了λa．特別地，當λ=0或a=0時，λa

=0．（2）方向當λ>0時，λa的方向與

a方向相同；當λ<0時，λa的方向與a方向相反；（1）長度|λa|=|λ|·|a|

定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘(multiplicationofvectorbyscalar)，記作λa．它的長度和方向規(guī)定如下：創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

第五章

三角函數(shù)6.2.3平面向量的數(shù)乘運算1研學(xué)引導(dǎo)PARTONE知識點一

共線向量與向量數(shù)乘運算的關(guān)系問題1：

向量數(shù)乘運算具有明顯的幾何意義，根據(jù)向量數(shù)乘運算，你能發(fā)現(xiàn)向量a與a(a

≠0，是實數(shù))之間的位置關(guān)系嗎？對于向量a，b及實數(shù)，（1）如果b=a

(a

≠0)，向量a與b是否共線？（2）如果向量b與非零向量a共線，b=a成立嗎？當a與b同方向時，有b=μa；當a與b反方向時，有b=-μa，所以，始終有一個實數(shù)λ，使b=λa．

對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使得b=λa，那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線．

若向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是a的長度的μ倍，即有|b|=μ|a|，且向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa．知識點一

共線向量與向量數(shù)乘運算的關(guān)系

追問1.1：如圖，若P為AB的中點，則與，的關(guān)系如何？OABP知識點一

共線向量與向量數(shù)乘運算的關(guān)系2例題精講PARTTWO

例1

如圖，已知任意兩個非零向量a，b，試作

=a+b，=a+2b，=a+3b．猜想A，B，C三點之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．OABCabbbba

分析：判斷三點之間的位置關(guān)系，主要是看這三點是否共線，為此只要看其中一點是否在另兩點所確定的直線上．在本題中，應(yīng)用向量知識判斷A，B，C三點是否共線，可以通過判斷向量

，

是否共線，即是否存在λ，使

成立．

證明：分別作向量

，

，

，過點A，C作直線AC．觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a，b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A，B，C三點共線．

事實上，因為

所以

因此，A，B，C三點共線．

例2

已知a，b是兩個不共線的向量，向量b-ta，

共線，求實數(shù)t的值．

解：由a，b不共線，易知向量為非零向量．由向量b－ta，

共線，可知存在實數(shù)λ，使得b－ta=λ()，即

由a，b不共線，必有

．否則不妨設(shè)

，則

由兩個向量共線的充要條件知，a，b共線，與已知矛盾．

由

解得課堂練習(xí)教材P16練習(xí)課堂小結(jié)3PARTTHREE課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE請回憶本節(jié)課，你學(xué)習(xí)了哪些知識？一、1.數(shù)乘向量的定義及運算律

2.向量共線定理

二、定理的應(yīng)用：

1.證明向量共線

2.證明三點共線:AB=λBCA,B,C三點共線

3.證明兩直線平行:AB=λCD