江蘇省南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題+Word版含答案

高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)Ⅰ一、選擇題：本大題共14小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)的值為▲.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為▲.3.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為，，.為了解該校學(xué)生的身高情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取▲名學(xué)生.4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為▲.5.某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計(jì)和機(jī)器人制作個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇個(gè)，則數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的概率為▲.6.若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為▲.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為▲.8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值為▲.9.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.若平移后得到的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為▲.10.若曲線在與處的切線互相垂直，則正數(shù)的值為▲.11.如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛胚是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為，圓柱的底面積為.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為▲.（不計(jì)損耗）12.如圖，已知矩形的邊長(zhǎng)，.點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為▲.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，從直線上一點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)的最大值為▲.14.已知函數(shù).若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲.三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn).點(diǎn)在棱上，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.16.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）求的值.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.18.如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道，，將廣場(chǎng)分割為個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上，分別與，相交于點(diǎn)，.（道路寬度忽略不計(jì)）（1）若經(jīng)過圓心，求點(diǎn)到的距離；（2）設(shè)，.①試用表示的長(zhǎng)度；②當(dāng)為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.19.已知函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明：.20.若數(shù)列同時(shí)滿足：①對(duì)于任意的正整數(shù)，恒成立；②對(duì)于給定的正整數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得，，，成等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-1：幾何證明選講]如圖，已知的半徑為，的半徑為，兩圓外切于點(diǎn).點(diǎn)為上一點(diǎn)，與切于點(diǎn).若，求的長(zhǎng).B.[選修4-2：矩陣與變換]已知，向量是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量，求與.C.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線（為參數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).D.[選修4-5：不等式選講]已知，，求的最小值.【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知點(diǎn)為線段上異于的點(diǎn)，且，求的值.23.（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，（，且，）；（2）求的值.南通市2018屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議一、選擇題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、解答題15.【證明】（1）在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）在中，，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，平面，，所以平?又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?16.【解】（1）在中，根據(jù)余弦定理及得，.又因?yàn)椋?在中，由正弦定理得，.（2）因?yàn)?，所以，即?又，所以.在中，，所以.17.【解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意得，，解得，，所以.所以橢圓的方程為.（2）方法一：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)闄E圓的方程為，所以.設(shè)，則.所以①，②，由①②得，解得，（舍去）.把代入①，得，所以，因此，直線的方程為即，.方法二：因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).設(shè)直線的方程為.由得，所以，解得，所以，，代入得，化簡(jiǎn)得，即，解得，所以，直線的方程為即，.18.【解】以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）直線的方程為，半圓的方程為，由得.所以，點(diǎn)到的距離為.（2）①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所以，的長(zhǎng)度為，.②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以.設(shè)，則，..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.答：當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.19.【解】（1）因?yàn)?，令，解?列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值.因?yàn)?，由題意可知，且所以，化簡(jiǎn)得，由，得.所以，.（2）因?yàn)?，所以記，則，令，解得.列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，此時(shí)，.令，解得.列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值，也是最小值.所以.令，則，記，，則，.因?yàn)?，，所以，所以單調(diào)遞增.所以，所以.20.【解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以..當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以..所以，數(shù)列是“數(shù)列”.（2）由題意可得：，則數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.因?yàn)?，所以，所以，所以①，?若，則當(dāng)時(shí)，①不成立；若，則當(dāng)時(shí)，②不成立；若，則①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設(shè)，則.同理可得：，所以.所以是等差數(shù)列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.21.A.【解】延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連結(jié)，，，則過點(diǎn)，由切割線定理得：.因?yàn)?，與均為等腰三角形，所以，所以，所以，即.因?yàn)椋?B.【解】由已知得，所以所以.設(shè)，則即.所以，，.所以，.C.【解】曲線的普通方程為.聯(lián)立解得或所以，，所以.D.【解】因?yàn)?，，所以?兩式相加：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)“”成立.即時(shí)，取得最小值.22.【解】以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，（1）由題意可知，，.設(shè)平面的法向量為，則即