吉林省長(zhǎng)春市市九臺(tái)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市市九臺(tái)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，，則=(

)A.2 B. C. D.1參考答案：D【分析】由復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱且，得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，，則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算與求模，其中解答熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式和復(fù)數(shù)的表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的極大值為6，那么a的值是（）A.6 B.5 C.1 D.0參考答案：A【分析】令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝6，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在x＝0和x＝6兩側(cè)的符號(hào)，判斷故f（0）為極大值，從而得到f（0）＝a＝6．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x2+a，導(dǎo)數(shù)f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝1，導(dǎo)數(shù)在x＝1的左側(cè)小于0，右側(cè)大于0，故f（1）為極小值．導(dǎo)數(shù)在x＝0的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，故f（0）為極大值．f（0）＝a＝6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，判斷f（0）為極大值，f（1）為極小值，是解題的關(guān)鍵．3.（x+2）8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是（

）A.112

B.56

C.28

D.224參考答案：A4.下面的程序框圖（如圖所示）能判斷任意輸入的數(shù)的奇偶性：

其中判斷框內(nèi)的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖知，x，y線性相關(guān)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）x1234y1.41.82.43.2A.回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(2.2,2.2)B.x每增加1個(gè)單位，y就增加1個(gè)單位C.當(dāng)時(shí)，y的預(yù)報(bào)值為3.7D.x每增加1個(gè)單位，y就增加0.7個(gè)單位參考答案：C【分析】由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進(jìn)一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)即可得答案．【詳解】解：由已知得，，，故A錯(cuò)誤；由回歸直線方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)（2.5，2.2），得，解得0.7．∴回歸直線方程為．x每增加1個(gè)單位，y就增加1個(gè)單位，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝5時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為3.7，故C正確；x每增加1個(gè)單位，y就增加0.6個(gè)單位，故D錯(cuò)誤．∴正確的是C．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過(guò)點(diǎn)．6.下列結(jié)論正確的是(A)當(dāng)

(B)(C)

(D)參考答案：B略7.已知命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.設(shè)f（x）=cos2tdt，則f（f（））=A．1 B．sin1 C．sin2 D．2sin4參考答案：C【考點(diǎn)】67：定積分；3T：函數(shù)的值．【分析】先根據(jù)定積分的計(jì)算法則，求出f（x），繼而帶值求出函數(shù)值．【解答】解：f（x）=cos2tdt=sin2t|=[sin2x﹣sin（﹣2x）]=sin2x，∴f（）=sin=1，∴f（f（））=sin2，故選：C．9.若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)等于A．

B．

C．

D．參考答案：A10.已知，則的最小值是（

）A．2

B．

C．4

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線的方程為，圓則以為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程為

；參考答案：或略12.已知，，，，，則第個(gè)等式為

▲

．參考答案：13.定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】設(shè)x＞0，則f（x）=f（﹣x）==，再求導(dǎo)數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)x＞0，則f（x）=f（﹣x）==，∴x＞0，f′（x）=，∴f′（2）=，故答案為．14.如果直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____________.參考答案：15.某汽車交易市場(chǎng)最近成交了一批新款轎車，共有輛國(guó)產(chǎn)車和輛進(jìn)口車，國(guó)產(chǎn)車的交易價(jià)格為每輛萬(wàn)元，進(jìn)口車的交易價(jià)格為每輛萬(wàn)元．我們把叫交易向量，叫價(jià)格向量，則的實(shí)際意義是

參考答案：.該批轎車的交易總金額

16.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是____________。參考答案：[-1,1]略17.已知：sin2300+sin2900+sin21500=1.5，sin250+sin2650+sin21250=1.5，通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題__________.

參考答案：sin2α+sin2(600+α)+sin2(1200+α)=1.5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣bx+lnx，a，b∈R．（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)b=2a+1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，因?yàn)閒（1）=0，f′（1）=2，可直接利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：（1）因?yàn)閍=b=1，所以f（x）=x2﹣x+lnx，從而f'（x）=2x﹣1+因?yàn)閒（1）=0，f′（1）=2，故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0（2）因?yàn)閎=2a+1，所以f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，從而f'（x）=2ax﹣（2a﹣1）+=，x＞0；當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減當(dāng)0＜a＜時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞，由f'（x）＜0得1＜x＜所以f（x）在區(qū)間（0，1）和區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減．當(dāng)a=時(shí)，因?yàn)閒'（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．當(dāng)a＞時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由f'（x）＜0得＜x＜1，所以f（x）在區(qū)間（0，）和區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（，1）上單調(diào)遞減．19.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．求：（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：（1）因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為所以又所以所以圓的直角坐標(biāo)方程為：.

6分（2）『解法1』：設(shè)由圓的方程所以圓的圓心是，半徑是將代入得

又直線過(guò)，圓的半徑是，由題意有：所以即的取值范圍是.

14分『解法2』：直線的參數(shù)方程化成普通方程為：

由解得，

∵是直線與圓面的公共點(diǎn)，∴點(diǎn)在線段上，∴的最大值是，最小值是∴的取值范圍是.

14分20.已知函數(shù)f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，把函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到g（x）再對(duì)g（x）求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）由f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0把a(bǔ)用含有x的代數(shù)式表示，然后構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x2，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)求得a0∈（0，1），然后進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明當(dāng)a=a0時(shí)，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g（x）=，∴．當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數(shù)u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴．即a0∈（0，1），當(dāng)a=a0時(shí)，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0．∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）≥0．綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新知識(shí)，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．21.已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為x﹣y=0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由題意知c=4，利用漸近線方程為x﹣y=0，可得b、a關(guān)系，求出a，b，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意橢圓x2+4y2=64知c=4，焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，又一條漸近線方程是x﹣y=0的雙曲線，∴b=a．而c2=a2+b2，48=a2+b2，∴a=6，b=2，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)雙曲線、橢圓的相應(yīng)知識(shí)也進(jìn)行了綜合性考查．解答的關(guān)鍵是弄清它們的不同點(diǎn)列出方程式求解．22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿足=．(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足的n的最大值.參考答案：(1)(2)4試題分析：（1）由和項(xiàng)求通項(xiàng)，注意分類討論：當(dāng)時(shí)，即根據(jù)等差數(shù)列定義可證，并求出通項(xiàng)公式所以（2）因?yàn)樗粤秧?xiàng)相消法求和