吉林省長春市市九臺中學2021年高二數(shù)學理月考試題含解析

吉林省長春市市九臺中學2021年高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，，則=(

)A.2 B. C. D.1參考答案：D【分析】由復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱且，得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，，則，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的表示，以及復數(shù)的運算與求模，其中解答熟記復數(shù)的運算公式和復數(shù)的表示是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.2.函數(shù)的極大值為6，那么a的值是（）A.6 B.5 C.1 D.0參考答案：A【分析】令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝6，根據(jù)導數(shù)在x＝0和x＝6兩側的符號，判斷故f（0）為極大值，從而得到f（0）＝a＝6．【詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x2+a，導數(shù)f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝1，導數(shù)在x＝1的左側小于0，右側大于0，故f（1）為極小值．導數(shù)在x＝0的左側大于0，右側小于0，故f（0）為極大值．f（0）＝a＝6．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，判斷f（0）為極大值，f（1）為極小值，是解題的關鍵．3.（x+2）8的展開式中x6的系數(shù)是（

）A.112

B.56

C.28

D.224參考答案：A4.下面的程序框圖（如圖所示）能判斷任意輸入的數(shù)的奇偶性：

其中判斷框內(nèi)的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知x，y的取值如下表，從散點圖知，x，y線性相關，且，則下列說法正確的是（

）x1234y1.41.82.43.2A.回歸直線一定過點(2.2,2.2)B.x每增加1個單位，y就增加1個單位C.當時，y的預報值為3.7D.x每增加1個單位，y就增加0.7個單位參考答案：C【分析】由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【詳解】解：由已知得，，，故A錯誤；由回歸直線方程恒過樣本中心點（2.5，2.2），得，解得0.7．∴回歸直線方程為．x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當x＝5時，y的預測值為3.7，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是性質：線性回歸直線一定過點．6.下列結論正確的是(A)當

(B)(C)

(D)參考答案：B略7.已知命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.設f（x）=cos2tdt，則f（f（））=A．1 B．sin1 C．sin2 D．2sin4參考答案：C【考點】67：定積分；3T：函數(shù)的值．【分析】先根據(jù)定積分的計算法則，求出f（x），繼而帶值求出函數(shù)值．【解答】解：f（x）=cos2tdt=sin2t|=[sin2x﹣sin（﹣2x）]=sin2x，∴f（）=sin=1，∴f（f（））=sin2，故選：C．9.若關于的方程有實根，則實數(shù)等于A．

B．

C．

D．參考答案：A10.已知，則的最小值是（

）A．2

B．

C．4

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線的方程為，圓則以為準線，中心在原點，且與圓恰好有兩個公共點的橢圓方程為

；參考答案：或略12.已知，，，，，則第個等式為

▲

．參考答案：13.定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足，當x＜0時，f（x）=，則曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)奇偶性的性質．【分析】設x＞0，則f（x）=f（﹣x）==，再求導數(shù)，即可得出結論．【解答】解：設x＞0，則f（x）=f（﹣x）==，∴x＞0，f′（x）=，∴f′（2）=，故答案為．14.如果直線和互相垂直，則實數(shù)的值為_____________.參考答案：15.某汽車交易市場最近成交了一批新款轎車，共有輛國產(chǎn)車和輛進口車，國產(chǎn)車的交易價格為每輛萬元，進口車的交易價格為每輛萬元．我們把叫交易向量，叫價格向量，則的實際意義是

參考答案：.該批轎車的交易總金額

16.若直線與曲線有兩個交點，則的取值范圍是____________。參考答案：[-1,1]略17.已知：sin2300+sin2900+sin21500=1.5，sin250+sin2650+sin21250=1.5，通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題__________.

參考答案：sin2α+sin2(600+α)+sin2(1200+α)=1.5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣bx+lnx，a，b∈R．（1）當a=b=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（2）當b=2a+1時，討論函數(shù)f（x）的單調性．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）首先對f（x）求導，因為f（1）=0，f′（1）=2，可直接利用點斜式寫出直線方程；（2）求出f（x）的導函數(shù)，對參數(shù)a進行分類討論判斷函數(shù)的單調性即可．【解答】解：（1）因為a=b=1，所以f（x）=x2﹣x+lnx，從而f'（x）=2x﹣1+因為f（1）=0，f′（1）=2，故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0（2）因為b=2a+1，所以f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，從而f'（x）=2ax﹣（2a﹣1）+=，x＞0；當a≤0時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，所以，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減當0＜a＜時，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞，由f'（x）＜0得1＜x＜所以f（x）在區(qū)間（0，1）和區(qū)間（，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（1，）上單調遞減．當a=時，因為f'（x）≥0（當且僅當x=1時取等號），所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．當a＞時，由f'（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由f'（x）＜0得＜x＜1，所以f（x）在區(qū)間（0，）和區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（，1）上單調遞減．19.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．求：（1）求圓的直角坐標方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．參考答案：（1）因為圓的極坐標方程為所以又所以所以圓的直角坐標方程為：.

6分（2）『解法1』：設由圓的方程所以圓的圓心是，半徑是將代入得

又直線過，圓的半徑是，由題意有：所以即的取值范圍是.

14分『解法2』：直線的參數(shù)方程化成普通方程為：

由解得，

∵是直線與圓面的公共點，∴點在線段上，∴的最大值是，最小值是∴的取值范圍是.

14分20.已知函數(shù)f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設g（x）是f（x）的導函數(shù)，討論g（x）的單調性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】創(chuàng)新題型；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，把函數(shù)f（x）求導得到g（x）再對g（x）求導，得到其導函數(shù)的零點，然后根據(jù)導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到函數(shù)g（x）的單調期間；（Ⅱ）由f（x）的導函數(shù)等于0把a用含有x的代數(shù)式表示，然后構造函數(shù)φ（x）=x2，由函數(shù)零點存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導數(shù)求得a0∈（0，1），然后進一步利用導數(shù)說明當a=a0時，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），g（x）=，∴．當0＜a＜時，g（x）在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當a時，g（x）在（0，+∞）上單調遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數(shù)u（x）在（1，+∞）上單調遞增．∴．即a0∈（0，1），當a=a0時，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調遞增，故當x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0．∴當x∈（1，+∞）時，f（x）≥0．綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【點評】本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、函數(shù)零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新知識，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，是壓軸題．21.已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點，它的一條漸近線方程為x﹣y=0，求雙曲線的標準方程．參考答案：【考點】雙曲線的標準方程．【分析】由題意知c=4，利用漸近線方程為x﹣y=0，可得b、a關系，求出a，b，即可求出雙曲線的標準方程．【解答】解：由題意橢圓x2+4y2=64知c=4，焦點坐標在x軸上，又一條漸近線方程是x﹣y=0的雙曲線，∴b=a．而c2=a2+b2，48=a2+b2，∴a=6，b=2，故所求雙曲線的標準方程為：．【點評】本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關系問題，同時雙曲線、橢圓的相應知識也進行了綜合性考查．解答的關鍵是弄清它們的不同點列出方程式求解．22.已知數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{bn}滿足=．(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設，數(shù)列{}的前n項和為Tn，求滿足的n的最大值.參考答案：(1)(2)4試題分析：（1）由和項求通項，注意分類討論：當時，即根據(jù)等差數(shù)列定義可證，并求出通項公式所以（2）因為所以裂項相消法求和