全書課件-45分鐘階段測試十一

數(shù)學(xué)A（理）第八章立體幾何45分鐘階段測試(十一)23456789101234567891011.已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(

)一、選擇題

C345678910122.(2014·廣東)已知向量a＝(1,0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(

)A.(－1,1,0) B.(1，－1,0)C.(0，－1,1) D.(－1,0,1)34567891012因為0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.34567891012因為0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正確.因為0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.34567891012因為0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故選B.答案

B245678910133.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC1的中點，則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為(

)解析設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，24567891013∵E為BC1的中點，∴D(0,0,0)，E(1,2,1)，設(shè)DE與平面BCC1B1所成角的平面角為θ，∵平面BCC1B1的法向量n＝(0,1,0)，24567891013答案

C235678910144.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，點D是AA1的中點，則點A1到平面DBC1的距離是(

)解析過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，以AA1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，23567891014∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，點D是AA1的中點，設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，23567891014故選A.答案

A234678910155.如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為H，則以下命題中，錯誤的命題是(

)A.點H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延長線經(jīng)過點C1D.直線AH和BB1所成角為45°23467891015解析

△A1BD為正三角形，其重心、外心、中心合一.∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各頂點的距離相等，∴A正確；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正確；連接AC1，則AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三點共線，∴C正確，故選D.答案

D234578910166.若a、b是直線，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，m＝(0,3,4)，n＝(3,4,0)，則α、β所成二面角中較小的一個余弦值為________.解析由題意，∵m＝(0,3,4)，n＝(3,4,0)，二、填空題23457891016∵a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，234568910177.(2013·北京)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為________.解析取B1C1中點E1，連接E1E，D1E1，過P作PH⊥D1E1，連接C1H.∴EE1⊥平面A1B1C1D1，PH∥EE1，23456891017∴PH⊥底面A1B1C1D1，∴P到C1C的距離為C1H.234569101788.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________.設(shè)平面A1ED的法向量為n1＝(1，y，z)，23456910178∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，23456781019三、解答題9.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求證：BD⊥平面AED；證明因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，23456781019所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE?平面AED，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.23456781019(2)求二面角F－BD－C的余弦值.解由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直.以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)CB＝1，23456781019設(shè)平面BDF的一個法向量為m＝(x，y，z)，234567810192345678911010.如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB邊的中點，且CC1＝2AB.(1)求證：AC1∥平面CDB1；證明連接BC1交B1C于點O，連接DO.則O是BC1的中點，DO是△BAC1的中位線，23456789110所以DO∥AC1.因為DO?平面CDB1，AC1?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.23456789110(2)求點B到平面B1CD的距離；解因為CC1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1為三棱錐B1－CBD的高，2345678911023456789110(3)求二面角A－CD－B1的正切值.23456789110設(shè)平面CDB1的一個法向量為