內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市寧城紫蒙中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市寧城紫蒙中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a(chǎn)＜﹣3或a＞6 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞2參考答案：C【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】計算題．【分析】題目中條件：“函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值”告訴我們其導(dǎo)數(shù)有兩個不等的實根，利用二次方程根的判別式可解決．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有極大值和極小值，則△=4a2﹣12（a+6）＞0，從而有a＞6或a＜﹣3，故選C．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便．2.下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.在中，，，則的值是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A4.曲線在點處的切線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知O是棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線的交點，平面α經(jīng)過點O，正方體的8個頂點到α的距離組成集合A，則A中的元素個數(shù)最多有（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)題意，由正方體的結(jié)構(gòu)特點，可得O是線段A1C的中點，過點O作任一平面α，設(shè)A1C與α所成的角為θ，分析可得點A1與C到平面α的距離相等，同理可得B與D1，A與C1，D與B1到平面α的距離相等，則可得集合A中的元素個數(shù)最多為4個，即可得答案．解答：解：根據(jù)題意，如圖，點O為正方體對角線的交點，則O是線段A1C的中點，過點O作任一平面α，設(shè)A1C與α所成的角為θ，分析可得點A1與C到平面α的距離相等，均為，同理B與D1到平面α的距離相等，A與C1到平面α的距離相等，D與B1到平面α的距離相等，則集合A中的元素個數(shù)最多為4個；故選：B．點評：本題考查正方體的幾何結(jié)構(gòu)，注意正方體中心的性質(zhì)，即體對角線的交點，從而分析得到體對角線的兩個端點到平面α的距離相等6.直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．3個

B．2個

C．1個

D．0個參考答案：C7.一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的體積為(

)A． B． C．π D．參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題．分析：由三視圖可判斷這個幾何體為圓柱體，根據(jù)題意可知底面半徑以及高，易求體積．解答：解：由三視圖可知這個幾何體是圓柱體，且底面圓的半徑，高為1，那么圓柱體的體積是：π×（）2×1=，故選A．點評：本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計算能力，空間想象能力，三視圖復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵8.已知{an}為等比數(shù)列，若a4+a6=10，則a1a7+2a3a7+a3a9的值為（）A．10 B．20 C．60 D．100參考答案：D【考點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】題目給出了等比數(shù)列，運用等比中項的概念，把要求的和式轉(zhuǎn)化為a4+a6，則答案可求．【解答】解：因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比中項的概念有，，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9=．故選D．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等比中項的概念，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，該題是基礎(chǔ)題．9.設(shè)兩點A、B的坐標為A（﹣1，0）、B（1，0），若動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為﹣2，則動點M的軌跡方程為（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1

D．x2+=1（x≠±1）參考答案：D【考點】軌跡方程．【分析】由題意可得：設(shè)M（x，y），寫出直線AM與直線BM的斜率分別為，，結(jié)合題意得到x與y的關(guān)系，進而得到答案．【解答】解：由題意可得：設(shè)M（x，y），所以直線AM與直線BM的斜率分別為，，x≠±1．因為直線AM與直線BM的斜率之積為﹣2，所以?=﹣2，化簡得：x2+=1．x≠±1所以動點M的軌跡E的方程為x2+=1（x≠±1）．故選：D．【點評】本題主要考查求曲線軌跡方程的方法，注意x的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．10.某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如右圖，則下面結(jié)論中錯誤的一個是()A．甲的極差是29

B．乙的眾數(shù)是21C．甲罰球命中率比乙高

D．甲的中位數(shù)是24參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且在上是增函數(shù)，下面是關(guān)于的判斷：（1）是周期函數(shù)；

（2）在上是增函數(shù)；（3）在上是減函數(shù)；（4）的圖象關(guān)于直線對稱.

則正確的命題序號是

參考答案：（1），（4）12.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率e的最大值為________．參考答案：13.已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是__________．參考答案：[－1，＋∞)14.P是橢圓上的點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差是______.參考答案：515.設(shè)A，B為拋物線y2=2px（p＞0）上相異兩點，則的最小值為．參考答案：﹣4p2【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB）．則=4（xA?xB+yA?yB），分類討論，結(jié)合韋達定理，=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB）．則+=（xA+xB，yA+yB），=﹣=（xB﹣xA，yB﹣yA），=4（xA?xB+yA?yB），若直線AB斜率存在，設(shè)為y=k（x﹣a），則，整理得：k2x2﹣2（ak2+p）x+k2a2=0，xA?xB=a2，yA?yB=k2（xA﹣a）（xB﹣a）=﹣2ap，=4（xA?xB+yA?yB）=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2，．若直線不存在，當xA=xB=a，yA=﹣yB=時，上式也成立．故所求最小值為﹣4p2．當且僅當直線AB過點（p，0）時等號成立，故答案為：﹣4p2．16.（原創(chuàng)）已知拋物線的焦點為，頂點為，準線為，過該拋物線上異于頂點的任意一點作于點，以線段為鄰邊作平行四邊形，連接直線交于點，延長交拋物線于另一點。若的面積為，的面積為，則的最大值為____________。參考答案：17.在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線l與⊙O交于A，B兩點．則的取值范圍為_________參考答案：【分析】先將圓化為普通方程，直線與⊙O交于，兩點，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于半徑，求得的取值即可.【詳解】因為⊙O的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），可得是以（0,0）為圓心，半徑r=1的圓當時，直線l與圓有2個交點；當，設(shè)直線l：要使直線l與圓有2個交點，即圓心到直線的距離小于半徑，即解得或所以的取值范圍為綜上所述，的取值范圍【點睛】本題考查了參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，易錯點是沒有考慮直線斜率不存在的情況，屬于中檔題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(1)求k的值；并求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.參考答案：(I)，由已知，，∴.(II)由(I)知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立.當時，＞1，且，∴.設(shè)，，則，當時，，當時，，所以當時，取得最大值.所以.綜上，對任意19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個實根，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=k有3個交點，根據(jù)f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．【解答】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增極大值減極小值增當x=﹣1時，有極大值f（﹣1）=2；當x=1時，有極小值f（1）=﹣2．（II）要f（x）=k有3個實根，由（I）知：f（1）＜k＜f（﹣1），即﹣2＜k＜2，∴k的取值范圍是（﹣2，2）．20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；參考答案：解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

……………2分∴點(2，－6)在曲線上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.

……………4分∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.

……………6分(2)設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，

……………8分∴直線l的方程為：y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

……………10分整理得x＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，

……………12分∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

……………13分21.（10分）解不等式參考答案：原不等式等價于

解（1）得，

解（2）得

故原不等式的解集為22.設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x﹣4y﹣12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線的一般式方程．【分析】（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b（2）可以設(shè)P（x0，y0）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y