高斯求積型公式及其程序開發(fā)

2011年1月19日摘要在實際中，求非代數(shù)函數(shù)的積分往往要求精度很高，因為高斯型求積公式據(jù)有最高代數(shù)精度且高斯型求積公式是收斂和穩(wěn)定的，同時它可以使更多的函數(shù)準(zhǔn)確成立，所以研究高斯型求積公式及其程序開發(fā)是很必要的?目的是總結(jié)分析高斯型求積公式，在掌握其基本思想的基礎(chǔ)上，深入學(xué)習(xí)幾種常見的高斯型求積公式.本文共包含兩章，第一章主要介紹高斯型求積公式的概述，包括理論知識以及分類性質(zhì)，還有算法分析及流程圖?第二章主要介紹幾種常用的高斯型求積公式，內(nèi)容包括其定義及余項，還有部分c程序和流程圖以及應(yīng)用舉例等.關(guān)鍵詞高斯型求積公式；正交多項式；流程圖;C程序目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"第一章高斯型求積公式 2\o"CurrentDocument"§1.1高斯型求積公式的概述 2\o"CurrentDocument"§1.1.1高斯型求積公式的定義及理論 2\o"CurrentDocument"§1.1.2高斯型求積公式的分類及性質(zhì) 3\o"CurrentDocument"§1.2高斯型求積公式的方法及其流程圖 4\o"CurrentDocument"§1.2.1高斯型求積公式的方法 4\o"CurrentDocument"§1.2.2高斯型求積公式的方法流程圖 5\o"CurrentDocument"第二章常用的高斯型求積公式 5\o"CurrentDocument"§2.1高斯-勒讓德求積公式 5\o"CurrentDocument"§2.1.1高斯-勒讓德求積公式的概述 6\o"CurrentDocument"§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例 7\o"CurrentDocument"§2.1.3C程序：用遞歸法求5階勒讓德值 9\o"CurrentDocument"§2.2高斯-切比雪夫求積公式 10\o"CurrentDocument"§2.2.1高斯-切比雪夫求積公式的概述 10\o"CurrentDocument"§2.2.2高斯-切比雪夫求積公式應(yīng)用舉例及算法流程圖 11\o"CurrentDocument"§2.3高斯-埃爾米特求積公式 11\o"CurrentDocument"§2.3.1高斯-埃爾米特求積公式的概述 12\o"CurrentDocument"§2.3.2高斯-埃爾米特求積公式應(yīng)用舉例 13\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 15附錄A 16附錄B 18引言介紹高斯型求積公式，重點理解三種常用的高斯型求積公式即Gauss-Legendre求積公式,Gauss-Chebyshev求積公式,Gauss-Hermite求積公式.同時，對部分高斯型求積公式進(jìn)行程序設(shè)計及流程圖設(shè)計?我們知道，插值型求積公式分為等距節(jié)點下的Newton-Ctoes求積公式和非等距節(jié)點下的Gauss求積公式兩種，且對于n+1個節(jié)點時，其代數(shù)精度至少為n次.在Newton-Ctoes求積公式中，節(jié)點是等距的，從而限制了求積公式的代數(shù)精度，下面討論的高斯型求積公式將取消這個限制條件，使代數(shù)精度達(dá)到最高，n+1個節(jié)點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為2n+1次，并且總是穩(wěn)定和收斂的.高斯型求積公式的系數(shù)A恒為正，故高斯型求積公式是穩(wěn)定的；且對(有限閉k區(qū)間上的)連續(xù)函數(shù)，高斯求積的數(shù)值隨節(jié)點數(shù)目的增加而收斂到準(zhǔn)確積公值?高斯型求積公式有很多優(yōu)點，但對一般的權(quán)函數(shù)p(x)，高斯節(jié)點不容易求?高斯型求積系數(shù)多為無理數(shù)，因此不如牛頓柯特斯求積公式的等距節(jié)點和柯特斯系數(shù)?當(dāng)函數(shù)f(x)賦值計算量大或者求非代數(shù)函數(shù)的積分時，高斯型求積公式常被優(yōu)先選取.另外，高斯型求積，它的節(jié)點是不規(guī)則的，所以當(dāng)節(jié)點增加時，前面的計算的函數(shù)值不能被后面利用?計算過程比較麻煩，但精度高，特別是對計算無窮區(qū)間上的積分和旁義積分，則是其他方法所不能比的.第一章高斯型求積公式§1.1高斯型求積公式的概述我們知道，n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度，那么，最高的代數(shù)精度能達(dá)到多少呢？為此，我們得到高斯型求積公式.§1.1.1高斯型求積公式的定義及理論定義1.1放棄等距節(jié)點下的限制，在區(qū)間 [a,b]上，適當(dāng)選擇n+1個節(jié)點x(k二0,1, n)使插值求積公式的穩(wěn)定性好，總是收斂且代數(shù)精度高達(dá)2n+1，這中k高精度的求積公式，稱高斯型求積公式?高斯公式的的求積節(jié)點x稱為高斯點?公k式表示為(1—1)Jbf(x')dxq工Af(x)

a k k(1—1)k=0其中A=Jbl(x)dx.kak高斯求積應(yīng)用的定理：定理1?1插值型求積公式(1-1)的節(jié)點a<x<x<...<x<b是高斯點的TOC\o"1-5"\h\z0 1 n充分必要條件是這些節(jié)點為零點的多項式n+1(x)=(x—x)(x一x)...(x—xn+10 1 n與任何次數(shù)不超過n次的多項式p(x)帶權(quán)P(x)正交，即Jbp(xb(x)p(x)dx=0.a n+1定理1.2高斯型求積公式(1-1)的求積系數(shù)A(k=0,1,...,n)全是正的，且kA=Jb12(xb(x)dx.kak定理1.3對于高斯型求積公式(1-1)，若fGC2n+2[a,b],其余項為R[f]=fn+1)(也b?2(xbx.(2n+1)!an+1定理1?4n+1個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度m滿足n<m<2n+1定理1?5求積公式Jbf(x)p(x)dx沁kkk=0中，x(i=0,1,2,n)是咼斯點的充分必要條件是：在區(qū)間［a,b］上,i兀(x)=HC一x)jj=o是關(guān)于權(quán)函數(shù)p(x)的n+1次正交多項式.§1.1.2高斯型求積公式的分類及性質(zhì)高斯型求積公式分為帶權(quán)和不帶權(quán)兩種：帶權(quán)積分公式：Jbf(x)p(x)dxq藝Af(x)k kak=0不帶權(quán)積分公式：Jbf(x)dxq藝Af(x)?k kak=0即帶權(quán)積分是不帶權(quán)積分的推廣，不帶權(quán)積分是帶全積分的特例.通過定理7.9可知，正交多項式隨權(quán)函數(shù)不同而異，所以有各種各樣的高斯型求積公式?例如：當(dāng)a=-l,b=1，且取權(quán)函數(shù)p(x)= =，則所建立的帶權(quán)的高斯型求積公式―x2J1 f(x)dxq工Af(x一11-x2 k=okk當(dāng)a=-g,b=+s，且取權(quán)函數(shù)p(x)=e-x，則所建立的帶權(quán)的高斯型求積公式J+8e—xf(x)q工Af(x)?—8ii

i=0高斯型求積公式(節(jié)點個數(shù)為n+1)的特點是:具有最高代數(shù)精度m=2n+1?高斯點x正好為n+1次正交多項式的零點?k

(3)高斯系數(shù)A=Jbl(x)dx二Jbl2(x)dx>0.

kak ak具有穩(wěn)定性和收斂性?余項為R[f]=f2叫)J%2(xbx?(2n+1)!an+i非等距節(jié)點下的插值型求積公式，即也為機(jī)械求積公式?主要缺點是節(jié)點無規(guī)律，且當(dāng)積分精度不滿足要求而需增加節(jié)點時，所用數(shù)據(jù)都要重新計算?§1.2高斯型求積公式的方法及流程圖§1.2.1高斯型求積公式的方法高斯型求積公式代數(shù)精度比牛頓柯特斯代數(shù)精度高， 當(dāng)2>8時牛頓-柯特斯求積公式出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象而高斯型求積公式總是穩(wěn)定的 ?要求解高斯型求積公式的關(guān)鍵就是高斯點的構(gòu)造，高斯點構(gòu)造的方法有：(1)用待定系數(shù)法構(gòu)造高斯求積公式.(2)利用正交多項式構(gòu)造高斯求積公式.利用正交多項式構(gòu)造高斯求積公式的基本步驟：Stepi以n+1次正交多項式的零點x,x…x作為高斯點.01,2Step2用高斯點x,x…x對f(x)作Lagrange插值多項式01,2f(x)uEl(x)f(x)TOC\o"1-5"\h\zi ii=0JbpJbp(x)f(x)dxqJbp(x)工l(x)f(x)a %=工(bp(x)/(xJdxi i) l/=0bp(x)l(x)f(x)i i求積系數(shù)

n）由于正交多項式具有性質(zhì)：在A=Jbp（x》（x）dx（n）由于正交多項式具有性質(zhì)：在ia 1Step3整理求解.注找區(qū)間［a,b］上的n+1次多項式的n+1個零點,［a,b］上的n+1次正交多項式一定有n+1個不同的零點，且全部位于［a,b］內(nèi)，所以只要將此n+1個零點作為n+1次插值多項式的節(jié)點，構(gòu)造出的插值求積公式即為高斯求積公式?但因為求一般［a,b］區(qū)間上的n+1次正交多項式比較困難，故求解過程中一般轉(zhuǎn)化為［-1,1］區(qū)間.具體構(gòu)造：常用Gauss-Legendre求積公式，第一類Gauss-Chebyshev求積公式，Gauss-Hermite求積公式.例用二點、三點Gauss型求積公式計算sinx,I=J1dx0xsin（；+；）1 2 —dt-111+—t2用二節(jié)點、三節(jié)點計算結(jié)果列在表1-1中.表1-1積分近似值節(jié)點數(shù)積分近似值20.94604113630.946083133與Newton-Cotes公式相比較，近似值要精確得多.§1.2.2高斯型求積公式方法流程圖下一章將介紹權(quán)函數(shù)等于1的高斯-勒讓德求積公式，權(quán)函數(shù)不等于1的高斯-切比雪夫求積公式和高斯-埃爾米特求積公式.（詳見附錄A）

第二章常用的高斯型求積公式§2.1高斯-勒讓德求積公式通過第一章我們知道，高斯型求積公式的求解主要是高斯點的構(gòu)造，由于勒讓徳多項式的特點是在區(qū)間［-1,1］內(nèi)有n個不同的實零點，從而可以通過計算多項式的零點確定高斯點.§2.1.1高斯-勒讓德求積公式的概述定義2.1在高斯求積公式(1-1)中，若取權(quán)函數(shù)p(x)二1，積分區(qū)間［-1,1］得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"J1f(x)dxq工Af(x) (2-1)kk-1 k=0稱之為高斯-勒讓德求積公式.對任意求積區(qū)間［a,b］,通過變換a+bb一ax= +t22可化為區(qū)間［-1,1］，這時Jbf(x)dx=a取a=-1，b=1,則得公式J1f(x)dxq工Af(x).kk-1 k=0公式(2-1)中求積系數(shù)A=21knP(x)P'(x)n-1knk求積公式的高斯點就是勒讓德多項式的零點.定理設(shè)fgC2n［a,b］，求積公式(2-1)的誤差為(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1(n!》f(2")(耳),耳w[-1,1](2-2)高斯-勒讓德求積公式的誤差由定理給出，但是在很多應(yīng)用中，用被積函數(shù)求導(dǎo)的方法來估計誤差是不方便的.此外有的被積函數(shù)沒有高階導(dǎo)數(shù)或不可導(dǎo)，因而不能

采用這樣的方法來估計誤差.下面兩種方法在估計求積公式的誤差是經(jīng)常采用的.用更高階的高斯-勒讓德求積公式來檢驗其結(jié)果.把積分區(qū)間分成幾個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上采用同樣的高斯-勒讓德求積公式.§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例利用勒讓德多項式的一個性質(zhì)G-x2)L(x)=采用這樣的方法來估計誤差.下面兩種方法在估計求積公式的誤差是經(jīng)常采用的.用更高階的高斯-勒讓德求積公式來檢驗其結(jié)果.把積分區(qū)間分成幾個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上采用同樣的高斯-勒讓德求積公式.§2.1.2高斯-勒讓德求積公式的算法及引例利用勒讓德多項式的一個性質(zhì)G-x2)L(x)=(n+1)(L(x)-xLn /n+1，(X))n+1可得高斯-勒讓德求積系數(shù)A為i2V1-x2)A= i,i=0,1,2n1 ((n+1)L(x)》ni按(2-2)式，可推得余項為(2—3)若取R(fU+；)；；+；!>f(2n+2)C1)Lix的零點x二0為節(jié)點，則0從而一點高斯-勒讓德求積公式人2(1-0)小Ao二EX二20(中矩形求積公式)為其余項為若取J1f(x)dxu2f(0)-1R(f)=1f-(Q/\(3x2-1)L(x)=—22的兩個零點土為節(jié)點,A=A=101從而二點高斯-勒讓德求積公式為

j1j1f(x)dxuf-i(丄］w/3丿其余項R(f)=丄f(4)6)

135同理，三點高斯-勒讓德求積公式為j1j1f(x)dxu5f-其余項R(f)= f(6)(n)15750一般地，高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點可以通過勒讓德多項式的零點確定，而系數(shù)通過(2-3)式確定.表2-1給出高斯-勒讓德公式在節(jié)點數(shù)位123,4,5,6 時的節(jié)點和求積系數(shù).表2-1Gauss-Legendre求積節(jié)點與求積系數(shù)mn+1xA11k0k232土0.5773502682153土0.77459666920.55555560土0.8888888974土0.86113631160.3478548451土0.33998104360.652145154995土0.90617984590.2369268851土0.53846931010.478628670500.5688888889116土0.93246951420.1713244924土0.66120938650.3607615730土0.23861918610.4679139346利用勒讓德多項式，取它的零點作為求積節(jié)點即可構(gòu)造出高斯公式，看如下例題:例2.1三點Gauss-Legendre求積公式計算積分j31dx1x的近似值，并估計誤差.作變換

則積分dt

-11+1,對上式右端用三點Gauss-Legendre求積公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt?* +_*_+_* ?則積分dt

-11+1,對上式右端用三點Gauss-Legendre求積公式，得到J] 1」5 1 8 1 5 1J1dt?* +_*_+_* ?1.089039- 9 1.225403 9 2 9 2.774597_11+2而積分真值為ln3=1.098612有余項公式有Ef)=^^J1p2(t)dt，ne(-1,1)36!-1注意到()P(x)

p x丿=——3 A3 ，此時三階勒讓德多項式的首項系數(shù)為人(2*3)! 5A= =_23*(3!匕 2于是r()J1P2(x)dxJ1p2(x)dx=-13-13A234 2*257 175從而有g(shù)6(t)=6!—— 來 1756+2>,丄1,1)于是得到余項的估計式8Y8Y沁0.45714175175370.000021沁* YR(f17537而真正的誤差確實在此界限內(nèi).§2.1.3c程序：用遞歸法求5階勒讓德公式的值步驟如下:Stepi定乂以n和x作為變量的Legendre函數(shù)Step2給變量賦予初值Step3在王函數(shù)中調(diào)用Legendre函數(shù)Step4使用輸出函數(shù)Printf；Step5運(yùn)行結(jié)果；C程序及運(yùn)算結(jié)果：（見附錄B）§2.2高斯-切比雪夫求積公式§2.2.1高斯-切比雪夫求積公式的概述定義2.1在高斯求積公式（1-1）中，若取權(quán)函數(shù)p（x）二=，積分區(qū)間[-1,1],1—X2節(jié)點數(shù)為n+1,得J1 f(x)dxq工Af(x) (2-4)-1Jl一X2 .0k kT k=0稱之為高斯-切比雪夫求積公式?求積公式（2-4）的高斯點是n+1次切比雪夫多項式的零點，即為x=f2k+1j,k=0,1,2,nk12n+2丿積分系數(shù)使用時將起+1個節(jié)點公式改為颶個節(jié)點，于是高斯一切比雪夫求積公式寫成J1_fBdx上工f(x)TOC\o"1-5"\h\z-11—X2 ? k求積公式的高斯點為(2k—1)X=cos 兀k 2n公式余項為

2兀22n(2n)!帶權(quán)的高斯求積公式可用于計算奇異積分.§2.2.2高斯-切比雪夫求積公式的應(yīng)用舉例及算法流程圖利用高斯-切比雪夫正交多項式的零點構(gòu)造高斯型求積公式，這種方法只是針對某些特殊的區(qū)間和特殊的權(quán)函數(shù)才有效，我們可以通過做一些等價變換再對其進(jìn)行應(yīng)用,看如下例題.例2.2用5點(n=5)的高斯一切比雪夫求積公式計算積分I=11.e=dx

-11—X2令 f(x)=ex,f(2n)(x)=ex，當(dāng)n=5時可得I=丈ecosion=3.9774635k=1余項可估計得兀2兀29*10!e<4.6x10-9.例2.3作適當(dāng)變換，把積分I=I=J20化為能應(yīng)用n點高斯-且比雪夫求積公式的積分.當(dāng)n取何值時，能得到積分的準(zhǔn)確值？并計算它.令2—02+01x= t+ =t+1,22

能應(yīng)用高斯-且比雪夫求積公式.由于n點高斯-且比雪夫求積公式的代數(shù)精度是2n-1，f(t)二12+2t是二次多項式，因此應(yīng)用兩點以上的高斯-且比雪夫求積公式便可得到積分的準(zhǔn)確值?根據(jù)兩點的高斯-且比雪夫求積公式兀f3)I=—fcos—+fcos—兀2L4丿L4丿2算法流程圖：(詳見附錄A)§2.3高斯-埃爾米特求積公式§2.3.1高斯-埃爾米特求積公式的概述定義3?1在高斯求積公式(1-1)中，若取權(quán)函數(shù)p(x)二e-x2，積分區(qū)間(-。+小，節(jié)點數(shù)為n+1,得f1f(x1-x2dx沁kk-1 k=0稱之為高斯-埃爾米特求積公式?節(jié)點X(k二0,1,2…n)為n+1次埃爾米特多項式kHH(兀)=(-1)"nex2 -x2,n二0丄2…ndxn的零點，求積系數(shù)為2n2n+1(n+1)!' (x))n+1k

公式（2-5）的余項為R[fL2n+i（2n+2）!f（22+2）（8），氏S'+8）高斯-埃爾米特求積公式的節(jié)點和系數(shù)可見表2-2.表2-2高斯-埃爾米特求積公式的節(jié)點和系數(shù)2xkAk001.7724538511土0.7071067810.886226926土1.2247448710.295408975201.181635901土1.6506801240.0813128353土0.5246476230.804914090土2.0201828710.019953242土0.9585724650.393619323400.945308721土2.3506049740.0045300105土1.3358490740.157067320土0.4360774120.724629595土2.6519613570.0009717812土1.6735516290.05451558286土0.8162878830.42560725300.810264618§2.3.2高斯-埃爾米特求積公式應(yīng)用舉例