內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市單臺(tái)子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市單臺(tái)子中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為

（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：B2.設(shè)x∈R，則“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點(diǎn)： 充要條件．專題： 簡(jiǎn)易邏輯．分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．解答： 解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根據(jù)充分必要條件的定義可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要條件．故選：A點(diǎn)評(píng)： 本題考查了簡(jiǎn)單的不等式的求解，充分必要條件的定義，屬于容易題．3.若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A4.如果函數(shù)f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為(

)A．16 B．18 C．25 D．參考答案：B【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】函數(shù)f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函數(shù)，在[，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處f′（）≤0，f′（2）≤0即可．結(jié)合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函數(shù)，在[，2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=6時(shí)取得最大值，經(jīng)檢驗(yàn)m=3，n=6滿足（1）和（2）．故選：B．

解法二：∵函數(shù)f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，∴①m=2，n＜8對(duì)稱軸x=﹣，②即③即設(shè)或或設(shè)y=，y′=，當(dāng)切點(diǎn)為（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值為3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合題意．③m=2，n=8，k=mn=16綜合得出：m=3，n=6時(shí)k最大值k=mn=18，故選；B【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)方程的運(yùn)用，線性規(guī)劃問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，運(yùn)用幾何圖形判斷，難度較大，屬于難題．5.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部是．參考答案：D6.已知過點(diǎn)（﹣2，0）的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點(diǎn)P（P在第一象限內(nèi)），則過點(diǎn)P且與直線x﹣y=0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0參考答案：B【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程．【分析】求出P的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的方程．【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P（1，）．設(shè)直線l的方程為x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直線l的方程為x+y﹣4=0，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．7.定義在R上的偶函數(shù),滿足,且在區(qū)間上為遞增（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設(shè)點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域上，則的最小值為A．1

B．

C.2

D．參考答案：D9.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)F（﹣c，0），漸近線方程為y=x，對(duì)稱點(diǎn)為F'（m，n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：設(shè)F（﹣c，0），漸近線方程為y=x，對(duì)稱點(diǎn)為F'（m，n），即有=﹣，且?n=?，解得m=，n=﹣，將F'（，﹣），即（，﹣），代入雙曲線的方程可得﹣=1，化簡(jiǎn)可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．10.＝（2，1），＝（3，4），則向量在向量方向上的投影為（）A．2 B． C．2 D．10參考答案：C【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影為：?cosθ＝＝＝2二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若則

。.參考答案：1略12.設(shè)向量滿足，則＝(

)A．2

B．

C．4

D．參考答案：B略13.四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、3，把它們放在一個(gè)盒子里，從中任意摸出兩個(gè)小球，它們所標(biāo)有的數(shù)字分別為，記，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

．參考答案：

3.5

14.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：15.已知，，設(shè)，的夾角為，則___________.參考答案：16.已知對(duì)稱中心為原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________________。參考答案：17.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)，求的值域參考答案：略19.(本小題滿分12分)橢圓的上頂點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．參考答案：（1）（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線的距離之積等于1.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．H5H8解析：（1），由題設(shè)可知，得 ①

………1分又點(diǎn)P在橢圓C上， ② ③

………3分①③聯(lián)立解得，

………4分故所求橢圓的方程為

………5分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，消去y，整理得 （﹡）方程（﹡）有且只有一個(gè)實(shí)根，又，所以得

………8分假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,所以，

解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.總上，存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線的距離之積等于1.…12分【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)可得①，又點(diǎn)P在橢圓C上，可得?a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③聯(lián)立解得c，b2，即可得解．（2）設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（﹡），由得，假設(shè)存在滿足題設(shè)，則由對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒成立．由即可求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．20.十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康，扶貧辦計(jì)劃為某農(nóng)村地區(qū)購買農(nóng)機(jī)機(jī)器，假設(shè)該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.農(nóng)機(jī)機(jī)器制造商對(duì)購買該機(jī)器的客戶推出了兩種銷售方案：方案一：每臺(tái)機(jī)器售價(jià)7000元，三年內(nèi)可免費(fèi)保養(yǎng)2次，超過2次每次收取保養(yǎng)費(fèi)200元；方案二：每臺(tái)機(jī)器售價(jià)7050元，三年內(nèi)可免費(fèi)保養(yǎng)3次，超過3次每次收取保養(yǎng)費(fèi)100元.扶貧辦需要決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)該選取那種方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)保養(yǎng)的次數(shù)，得下表：保養(yǎng)次數(shù)012345臺(tái)數(shù)110191442記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的保養(yǎng)次數(shù).（1）用樣本估計(jì)總體的思想，求“x不超過2”的概率；（2）若y表示1臺(tái)機(jī)器的售價(jià)和三年使用期內(nèi)花費(fèi)的費(fèi)用總和（單位：元），求選用方案一時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）按照兩種銷售方案，分別計(jì)算這50臺(tái)機(jī)器三年使用期內(nèi)的總費(fèi)用（總費(fèi)用=售價(jià)+保養(yǎng)費(fèi)），以每臺(tái)每年的平均費(fèi)用作為決策依據(jù)，扶貧辦選擇那種銷售方案購買機(jī)器更合算？參考答案：（1）0.6；（2）；（3）355600，353300，第二種方案.【分析】（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)可得“不超過2”的頻數(shù)，利用古典概型概率公式可求“不超過2”的概率；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，從而可得結(jié)果；（3）求出方案一中，這50臺(tái)機(jī)器售價(jià)和保養(yǎng)總費(fèi)用可得每年每臺(tái)的平均費(fèi)用，求出方案二中，這50臺(tái)機(jī)器售價(jià)和保養(yǎng)總費(fèi)用，可得每年每臺(tái)的平均費(fèi)用，比較兩種方案每年每臺(tái)的平均費(fèi)用的大小，從而可得結(jié)果，【詳解】（1）從上表中可以看出50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)不超過2次的臺(tái)數(shù)共30臺(tái)，故“不超過2”的概率為.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，故關(guān)于的函數(shù)解析式為.（3）在方案一中，這50臺(tái)機(jī)器售價(jià)和保養(yǎng)總費(fèi)用為（元）.所以每年每臺(tái)平均費(fèi)用為元.在方案二中，這50臺(tái)機(jī)器售價(jià)和保養(yǎng)總費(fèi)用為（元）.所以每年每臺(tái)平均費(fèi)用為元.因?yàn)椋苑鲐氜k應(yīng)選擇第二種方案更合算.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及古典概型概率公式，屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.21.已知,

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值；

若不存在，說明理由