2023屆T8（華師一附中、湖南師大附中等）高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆T8（華師一附中、湖南師大附中等）高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出等式右側(cè)復(fù)數(shù)的模，然后表示出復(fù)數(shù)z，再化簡變形求得結(jié)果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．2．若集合，則（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可得答案.【詳解】解得，解得，故得，故，故選：B．3．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】，則，是遞增數(shù)列，充分性；的符號不確定，不必要，得到答案.【詳解】若，則，是遞增數(shù)列，“”是“是遞增數(shù)列”的充分條件；若是遞增數(shù)列，則，，但是的符號不確定，“”不是“是遞增數(shù)列”的必要條件.故選：A4．某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（

）A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C．方差是，平均數(shù)是2 D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是2【答案】C【分析】舉特例可說明的正誤，利用方差的計(jì)算公式可判斷C.【詳解】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如；選項(xiàng)B：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如；選項(xiàng)C：設(shè)這5次的點(diǎn)數(shù)為，則方差如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，而，則方差大于或等于3.2，故不可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；選項(xiàng)D：有可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，例如，故選：C．5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將已知等式整理化簡成一個(gè)三角函數(shù)形式，再利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為余弦二倍角公式求解.【詳解】∵，∴.故選：B．6．已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圖，找出圖中的幾何關(guān)系，求出母線長和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長定理可知：，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長為l，球的半徑為，則有，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂直是G，則有，∴，在中，，∴圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為；故選：D．7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】先根據(jù)為偶函數(shù)得到，兩邊取的導(dǎo)數(shù)可得：求，進(jìn)而得到，在根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可得到導(dǎo)函數(shù)的遞推公，然后根據(jù)遞推公式即可求解.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，即，兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得，即，令，則，∵為奇函數(shù)，∴，又，即，聯(lián)立得，即，∴，故選：C．8．已知橢圓，直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)并交橢圓于兩點(diǎn)（P在第一象限），點(diǎn)A是x軸正半軸上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是點(diǎn)P橫坐標(biāo)的2倍，直線交橢圓于點(diǎn)B，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè),則由直線恰好是以為直徑的圓的切線,可得，再利用點(diǎn)差的方法可得，即得，從而可得的關(guān)系，即可求得橢圓離心率.【詳解】依題意，設(shè)，直線的斜率一定存在,分別為，直線恰好是以為直徑的圓的切線,則,則,則，∴，∵，兩式相減得，∴，即，∴，∴，∴，∴橢圓的離心率，故選:D．二、多選題9．在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是【答案】ABD【分析】A．利用三角形中位線進(jìn)行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯(cuò)誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若的圖像與的圖像關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的有（

）A．B．C．的對稱軸過的對稱中心D．，使得【答案】AC【分析】根據(jù)平移法則結(jié)合得到，得到A正確B錯(cuò)誤；計(jì)算對稱軸代入函數(shù)得到C正確，根據(jù)范圍計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的值域得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，的圖像與的圖像關(guān)于y軸對稱，，即，，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；，，的對稱軸滿足，即，，即的對稱軸過的對稱中心，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?，，故選項(xiàng)D不正確．故選：AC11．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，n的最小值為7D．當(dāng)時(shí)，取得最小值【答案】ABD【分析】對于A，由變形求得，利用累加法求得，進(jìn)而求得，求出，即可判斷；對于B，判斷的單調(diào)性，即可判斷；對于C，判斷單調(diào)遞增，并計(jì)算的值，即可判斷；對于D，根據(jù)，的值的正負(fù)以及單調(diào)性，判斷的值正負(fù)以及單調(diào)性，即可判斷.【詳解】由得，∴，累加得，，故，當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故選項(xiàng)A正確；由于函數(shù)，其圖象對稱軸為，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，∴單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，n的最小值為8，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，考慮的最小值，又當(dāng)時(shí)，恒為正且單調(diào)遞減，恒為負(fù)且單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選項(xiàng)D正確，故選：．12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．方程有兩個(gè)解D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到，計(jì)算得到A正確；計(jì)算得到B正確；設(shè)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到得到C正確；，求導(dǎo)確定函數(shù)在上得到答案.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，即，選項(xiàng)A正確；，故，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；綜上：當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，且當(dāng)趨于正無窮時(shí)，趨于0，又，方程有兩個(gè)解，即方程有兩個(gè)解，選項(xiàng)C正確；由可得，，令，則，由以上分析可知，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項(xiàng)D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，構(gòu)造新函數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為____________．【答案】5【分析】將化為，利用二項(xiàng)式系數(shù)結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.【詳解】因?yàn)?，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：514．已知非零向量滿足，則的夾角大小是_________．【答案】【分析】將由平方得，結(jié)合化簡推出，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由平方得，∵，∴,即，代入得，即，∴，而，∴的夾角為，故答案為：另解：作向量，則，由題意可知，，且，∴，∴的夾角為，故答案為：15．若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______________．【答案】【分析】令，求導(dǎo)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題目轉(zhuǎn)化為，計(jì)算，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，原不等式等價(jià)于或（不存在整數(shù)解），有且只有一個(gè)整數(shù)解，，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程的解的個(gè)數(shù)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.四、雙空題16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為P，若，則雙曲線的離心率為__________;又過點(diǎn)P作雙曲線的切線交另一條漸近線于點(diǎn)Q，且的面積，則該雙曲線的方程為_____________．【答案】

##

【分析】第一空：設(shè)，由題意可求得，結(jié)合求得，從而解，利用正弦定理求得，即可求得雙曲線得離心率.第二空，過P點(diǎn)的切線與雙曲線切于點(diǎn)，設(shè)，表示出，利用雙曲線的切線方程聯(lián)立漸近線方程求得，從而根據(jù)三角形面積求得b，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則有，又垂直于漸近線即，,∴，而,∴，在中,，由正弦定理：，∴,∴，∴，∴，∴，另解：依題意，可得的方程為，聯(lián)立，可得，∴，又，在中，，即，化簡得，∴.如圖，過P點(diǎn)的切線與雙曲線切于點(diǎn)，設(shè)，又P，Q均在雙曲線的漸近線上，故設(shè)，又，∴，∴，過M點(diǎn)的切線方程為，即，代入，化簡得，又，∴，即，∴，∴，∴，∴，故雙曲線的方程為,故答案為:,【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:該題考查雙曲線離心率的求解以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,由題意可以求得的關(guān)系，而難點(diǎn)在于利用求得a或b的值，此時(shí)解答時(shí)設(shè)出，關(guān)鍵要利用過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程聯(lián)立漸近線方程求得，進(jìn)而利用三角形面積求得答案.五、解答題17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，．(1)求;(2)記，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】(1)(2)760【分析】（1）利用是等差數(shù)列和是等比數(shù)列列方程組解出的值，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得等比，進(jìn)而即可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，令，則，則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于4倍數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意得，所以①，又是等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以②，又，故由①②?lián)立解得，又是等差數(shù)列，所以為定值，即為定值，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以，即是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，令，則，記的前n項(xiàng)和為，所以，數(shù)列的前10項(xiàng)和為760．18．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且．(1)求角A、B、C;(2)若，延長至D，使的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列得到，計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)面積計(jì)算得到，，根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由，，，，即，成等比數(shù)列，故，，故，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，又，．（2），，，即，故，，在中，，，即，故．19．黨的二十大的勝利召開為我們建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家指引了前進(jìn)的方向．為謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)高中學(xué)生對黨的二十大的理解，某校組織開展黨的二十大知識競賽活動(dòng)，以班級為單位參加比賽，最終甲、乙兩班進(jìn)行到了最后決賽，決賽采取五局三勝制，約定先勝三局者贏得比賽．已知每局比賽中必決出勝負(fù)，每一局若甲班先答題，則甲獲勝的概率為，若乙班先答題，則甲獲勝的概率為，每一局輸?shù)囊环皆诮酉聛淼囊痪种邢却痤}，第一局由乙班先答題．(1)求比賽一共進(jìn)行了四局并且甲班最終贏得比賽的概率；(2)若規(guī)定每一局比賽中勝者得2分，負(fù)者得0分，記X為比賽結(jié)束時(shí)甲班的總得分，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）因?yàn)楸荣愐还策M(jìn)行了四局并且甲班最終贏得比賽，所以最后一局甲班獲勝，在前三局中分情況討論，從而求出比賽一共進(jìn)行了四局并且甲班最終贏得比賽的概率；（2）X的所有可能取值有0，2，4，6，即比賽三局且甲三局全輸；比賽四局且甲贏一局；比賽五局且甲贏二局；比賽五局且甲贏三局，從而計(jì)算事件的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記表示“第i局甲獲勝”，設(shè)A表示“比賽一共進(jìn)行了四局并且甲班最終獲勝”，則事件A包括三種情況：，這三種情況互斥，且相互獨(dú)立，∴．（2）由題意，X的所有可能取值有0，2，4，6，，，；；∴X的分布列為：X0246P∴．20．如圖（1），菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上（不含端點(diǎn)），且，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖（2）所示．(1)當(dāng)為何值時(shí)，;(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面和平面夾角的大?。敬鸢浮?1)(2)．【分析】（1）證明，延長交于點(diǎn)N，確定O為的重心，計(jì)算得到答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線面夾角得到，再計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）菱形中，，故，，是等邊三角形，又，故，故也是等邊三角形，取的中點(diǎn)O，連接，則，平面平面，平面，平面平面，故平面，平面，故，由，而，故平面，平面，故，延長交于點(diǎn)N，則，，故O為的重心，又O點(diǎn)在上，，故，即．（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，y軸，之軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)菱形邊長為2，則，，，，，平面，即為與平面所成的角，，解得，平面，故即為平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，平面與平面的夾角為．21．已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，直線過拋物線C的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)，的面積的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)若過點(diǎn)的動(dòng)直線l交C于M，N兩點(diǎn)，試問拋物線C上是否存在定點(diǎn)E，使得對任意的直線l，都有，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)，代入拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)的方程為，代入拋物線得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直關(guān)系得到，計(jì)算得到定點(diǎn).【詳解】（1）斜率不為零，設(shè)代入，，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取最小值