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文檔簡介
一 選擇題(本題共8小題,每小題3分,共24分11設(shè)f(x)ex1,則x0是f(x)的 1ex1(A)可去間斷點(diǎn) (B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn) (D)連續(xù)點(diǎn)已知ysinx,則y(10)
cosx3f(x)
sinx,x
則f(x)在x0處 ln(1x),x(A)左、右導(dǎo)數(shù)都存 (B)左導(dǎo)數(shù)存在,右導(dǎo)數(shù)不存(C)左導(dǎo)數(shù)不存在,右導(dǎo)數(shù)存 (D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存4
f(x)在[ab(abx(ab時,f(x)0
f(a)0則 f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b f(x)dxF(x) f(ax2b)xdx 5、 ,
F(ax2b)c
1F(ax2b)
1F(ax2b)
;
2aF(ax2b)c6、當(dāng)x0時,arctan3x與cosx是等價無窮小,則a為 (A)4 (B)3(C)2 7、已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,且x1時y2,這個函數(shù)是 (A)yx2C;(B)yx2(C)y1x2C;(D)yx28f(x在(abf(a)
f(b),則 (A)至少存在一點(diǎn)(abf()0(B)一定不存在點(diǎn)(abf()0(C)恰存在一點(diǎn)(abf()0對任意的(a,b),不一定能使f()0。 ln(12x)
x若f(x)
x
在x0處連續(xù),則a 若sin1cos,則d
4極限lim2nsin
(x為不等于零的常數(shù) yln(1ex2),則dy 函數(shù)yx3x2x1的極大值點(diǎn) 等邊曲線函數(shù)xy1在點(diǎn)(1,1)處的曲率為 計算題(共6小題,每小題6分,共36分)lim(3x
x6xet(1cos
dyd2已知y
, dxx2x2xexcos3 x 5.
(x
x 2 x1四 應(yīng)用題[本題8分設(shè)直yax(0a1與拋物y
x2S1,且它們與直線x1所圍成的圖形的面積為S2試確定a的值,使得S1S2達(dá)到最小,并求出最小值求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積. 綜合題[本題8分]f(x
f(2)2x0(2xt)fx
5x31,22
f(x)dx六、證明題[本題6f(x在[0,1]上連續(xù),而在(0,1)f(00,f(11,證明對任意給定的正數(shù)ab在(0,1)內(nèi)存在不同的,使下式成立:
f
a一、填空題(本題共8小題,每小題3分,共24分1
f(x)tan2x,g(x)sin5x則當(dāng)x0時下述結(jié)論正確的是
f(xg(x是等價無窮?。?/p>
f(xg(x)
f(xg(x
f(xg(x)x1,x2f(x0x
,則x0是函數(shù)f(x)的 x1,x(A)跳躍間斷 (B)可去間斷(C)無窮間斷 (D)振蕩間斷2x3,x3
f(x)
則函數(shù)f(x)在x1處的 x2,x(A)可 (B)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在但不(C)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)只有一個存在 4、已知ycosx,則y(10)(
sinx;
sinx
cosx5f(x00f(xx0點(diǎn)處有極值的(充分條件;(B)充要條件;(D)6F(x)
f(x),則dF(x) (A)f(x) (B)F(x)(C)f(x)C (D)F(x)Climxxf(t)dt7、設(shè)f(x)連續(xù),則xaxa
af(a)
f(a)(C)a (D)08、若f(x)在(a,b)可導(dǎo)且f(a)f(b),則 (A)至少存在一點(diǎn)(abf()0(B)一定不存在點(diǎn)(abf()0(C)恰存在一點(diǎn)(abf()0對任意的(abf(0。二、填空題(本題共6每小題3,共18) f(x)xsinx
x在(,)內(nèi)連續(xù),則a xysinxcosxy
41極限lim(12x)x ye13xcosx,則dy 函數(shù)yx3x2x1的拐點(diǎn) ABxx(t),yy(tAB點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)t,在()x(ty(t則曲線弧AB的長s 三、計算題(共6小題,每小題6分,共36分ytan(xy),
dyd22,2dx
x2 x2exsin5 x1
4
5xxex0四、應(yīng)用題[本題8設(shè)拋物線yax2bxc通過(0,0)0x1y0.又知它和直線x1,y04.試確定a,b,c9圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.五、綜合題[本題8x2sin 設(shè)0f(x) dt,求積分設(shè)0
六、證明題[本題6f(x在區(qū)間[ab上有定義,且對[abx,ybf(xfy)xy,證明b
f(x)dx(ba)f(a)1(ba)22一 填空題(每小題4分,共20分設(shè)矩陣A為3階方陣,且|A|=1,則 2設(shè)三元線性方程組Axb的兩個特解為123]T
111]T,且 RA)2,Axb的通解為[123]Tk[01
(k為任意數(shù)二次fxxxx2x2x24xx4xx4x
的標(biāo)準(zhǔn)形是 1 1 3 fy2y2 設(shè)三階方陣A的特征值為0,-1,1,且BA2AE,則B 0
x2x22x24xx2x
,則二次型f的矩陣為 1 2
121二、單項(xiàng)選擇題(5201.設(shè)A,B都是n階方陣,下列命題正確的 )(A)(AB)2A22AB (B)(AB)2(C)(AB)(AB)A2 (D)(AB)TBT2.設(shè)A是35矩陣,B是3維列向量,R(A)3.則方程組AX (A)必定有 (B)未必有 (C)必定無 (D)必有唯一A)1 0矩陣A021相似于 C 3
(B)
(C)
(D)
x2x2x22xx2xx 1 2則f為正定的充要條件是滿足( (A)
三、下列各題(663611411420112633
解:原式=
=1(1)12
( 分1142012000411420120004
=2 52
(1)
(1
求矩陣A 3 解:用初等變換1E]1E][ 1
1
(2
1 0 10r30 1
0所以A1 1x1x2x3x4求齊次線性方程組x2xx2x
2x3x2x3x (用特解和基礎(chǔ)解系的形式表示11111 11111 1 1 0A 201011 1 11(2分
0101x1
0與原方程組同解方程0
1
x x X0k11
(k1,k2為任意數(shù)(1分AXBXX A 1,B
AXBX得(EAX
因?yàn)镋A
1
30,所以EA 于是XEA)1B(21 1 1
由于EAB 1
1 1 1
因此X 2(4 0已知矩陣A 2與B 0相似
求x與ytrA解:因?yàn)锳B相似
A|B
(2分2x82于是有2x2x82yx1y
,化簡得xy2(2分xy已知方陣A的屬于特征值2的特征向量是1,02]T和2,12]T 又向量2A A2,A AA(22AA4 =4[1,0,2]T+2[2,1,2]T=6[8,
(3分 四、[本題10分]已知矩陣A 0 AAPP1AP為對角矩陣,并求對角矩陣.解(1)AEA
3
(1)2( A的特征值為11(二重
2
(2將11代入特征方程組(EAX0 0X0 121, 12 故矩陣A的屬于特征值11的所有特征向量為k11
k1k2不全為(2將22代入特征方程組(EAX0 0 0X0 31 3A的屬于特征值22的所有特征向量為k33k30).(2(2)A31,2,3A可相似對角化.(1 令P[] 1, 12 PP1AP為對角矩陣.(310設(shè)二次型f(x,x,x)2x2x24xx4xx,用正交變換XUY把f化成1 1 2 (1) 12(1分 |EA|
1
(2)(1)(4) A的特征值2,1,
(1分 1將2代入特征方程得(2AX1
1 1 1 22EA 32 322 1 x1
0
0 1得方程組 2 基礎(chǔ)解系[1,2,1x2單位化得1[122]T(1分 2將1代入特征方程得(EAX21 1 1
1 1EA 2 2 0 2
得方程組x
x 1 2基礎(chǔ)解系為212]T單位化1[21
(1分 3將4代入特征方程得(4EA)X3 1
x32 12
得方程組
x2 基礎(chǔ)解系221]T,單位化1[2
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