等比數(shù)列前N項(xiàng)和

會計(jì)學(xué)1等比數(shù)列前N項(xiàng)和

傳說西塔發(fā)明了國際象棋而使國王十分高興，他決定要重賞西塔，西塔說：“我不要您的重賞，陛下，只要您在我的棋盤上賞一些麥子就行了。在棋盤的第1個(gè)格子里放1粒，在第2個(gè)格子里放2粒在第3個(gè)格子里放4粒，依此類推，以后每一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放滿第64個(gè)格子就行了”?！皡^(qū)區(qū)小事，幾粒麥子，這有何難，來人”，國王令人如數(shù)付給西塔。計(jì)數(shù)麥粒的工作開始了，第一格內(nèi)放1粒，第二格內(nèi)放2粒，第三格內(nèi)放4粒，…還沒有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數(shù)一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿出全國的糧食，也兌現(xiàn)不了他對西塔的諾言。第1頁/共15頁=18446744073709551615（粒）

已知麥子每千粒約為40克，則折合約為737869762948382064克≈7378.7億噸經(jīng)過計(jì)算，我們得到麥?？倲?shù)是第2頁/共15頁

甲、乙二人約定在一個(gè)月（按30天）內(nèi)甲每天給乙100元錢，而乙則第一天給甲返還一分，第二天給甲返還二分，即后一天返還的錢是前一天的二倍。問誰贏誰虧？再看另一個(gè)問題：分析：數(shù)學(xué)建模

{an}：100，100，100……100q=1{bn}：1，2，22……229

q=2第3頁/共15頁S30=100+100+……+100T30=1+2+22+……+229

這是一個(gè)比較大小的問題，實(shí)質(zhì)上是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問題。在等比數(shù)列{an}中Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an=

na1當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an

=？當(dāng)q=1時(shí)，這個(gè)數(shù)列有什么特征？其前n項(xiàng)和等于多少？第4頁/共15頁

S1=a1

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3

=a1(1+q+q2+q3)…………Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+a1q3+…a1qn-1

=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)第5頁/共15頁由此得從而第6頁/共15頁

甲、乙二人約定在一個(gè)月（按30天）內(nèi)甲每天給乙100元錢，而乙則第一天給甲返還一分，第二天給甲返還二分，即后一天返還的錢是前一天的二倍。問誰贏誰虧？數(shù)學(xué)游戲問題答案：

230–1(分)＝10737418.23(元)

遠(yuǎn)大于3000元第7頁/共15頁n+1判斷是非：n2nn個(gè)第8頁/共15頁1、注意q=1與q≠1兩種情形2、五個(gè)量n、a1、q、an、Sn中，解決“知三求二”問題。對公式的理解Sn=

a1-anq{1-q(q=1)(q=1)n·a1第9頁/共15頁例1、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和第10頁/共15頁P(yáng)58---練習(xí)1第11頁/共15頁例2某商場今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(結(jié)果保留到個(gè)位)？分析：第1年產(chǎn)量為5000臺第2年產(chǎn)量為

5000×(1+10%)=5000×1.1臺第3年產(chǎn)量為5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年產(chǎn)量為則n年內(nèi)各年的產(chǎn)量為：第12頁/共15頁

解：由題意，從第1年起，每年的銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列其中∴即兩邊取常用對數(shù)，得∴(年)答：約5年可以使總銷售量量達(dá)到30000臺例3某商場今年銷售計(jì)算機(jī)