等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能解析

會(huì)計(jì)學(xué)1等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能解析2023/1/192三、應(yīng)變能與能密度acddxbdy′′dzzxy單元體微功：第1頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/193應(yīng)變比能：?jiǎn)卧w內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dVε數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVε=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為第2頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/194

在扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為

等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能由可知，亦有第3頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/195

當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為

在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩T為常量，其長(zhǎng)度為l范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：第4頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/196

例1圖示AB、CD

為等直圓桿，其扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp，BC為剛性塊，

D截面處作用有外力偶矩Me。試求：（1）桿系內(nèi)的應(yīng)變能；（2）利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應(yīng)變能求D截面的扭轉(zhuǎn)角jD。ABCDMel/2l第5頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/197T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.靜力平衡求扭矩2.桿系應(yīng)變能其轉(zhuǎn)向與Me

相同。ABCDMe3.求D截面的扭轉(zhuǎn)角

jD第6頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/198例2試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線升角a<

5°)受軸向壓力(拉力)F作用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧縮短(伸長(zhǎng))變形的近似計(jì)算公式。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料的切變模量G。第7頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/199解：1.求簧桿橫截面上的內(nèi)力

對(duì)于密圈螺旋彈簧，可認(rèn)為簧桿的橫截面就在包含外力F作用的彈簧軸線所在縱向平面內(nèi)(如圖)，于是有：剪力FS=F扭矩T=FR第8頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/19102.求簧桿橫截面上的應(yīng)力

簧桿橫截面上與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩T=FR相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。又，在通常情況下，簧圈直徑D=2R與簧桿直徑d的比值D/d較大，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去簧圈的曲率影響。于是有第9頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/19113.求彈簧的縮短(伸長(zhǎng))變形

當(dāng)彈簧所受外力F不超過一定限度而簧桿橫截面上的最大切應(yīng)力tmax不超過簧桿材料的剪切比例極限tp時(shí)，變形Δ與外力F成線性關(guān)系(如圖)。于是有外力所作功：第10頁(yè)/共12頁(yè)2023/1/1912

至于簧桿內(nèi)的應(yīng)變能Vε，如近似認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度l=2pRn，且簧桿橫截面上只有扭矩T=FR，則

根據(jù)能量守恒原理W=Vε，即得密圈圓柱螺旋彈簧