第講齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)已修改

會(huì)計(jì)學(xué)1第講齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)已修改二.齊次線性方程組有非零解的條件第二節(jié)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.齊次線性方程組解的基本性質(zhì)三.齊次線性方程組的通解第1頁/共52頁一.齊次線性方程組解的基本性質(zhì)第2頁/共52頁第3頁/共52頁證第4頁/共52頁證第5頁/共52頁第6頁/共52頁

二.齊次線性方程組有非零解的條件第7頁/共52頁第8頁/共52頁證第9頁/共52頁第10頁/共52頁齊次線性方程組有非零解的條件第11頁/共52頁問題第12頁/共52頁三.齊次線性方程組的通解第13頁/共52頁第14頁/共52頁第15頁/共52頁第16頁/共52頁小結(jié)第17頁/共52頁例解第18頁/共52頁第19頁/共52頁第20頁/共52頁例解第21頁/共52頁例解第22頁/共52頁第23頁/共52頁解線性方程組的一個(gè)應(yīng)用下面討論矩陣的特征值與特征向量第24頁/共52頁

定義3.1第25頁/共52頁第26頁/共52頁第27頁/共52頁第28頁/共52頁

定理3.1第29頁/共52頁例3.1

求A的特征值和特征向量：解：第30頁/共52頁第31頁/共52頁例3.2

求A的特征值和特征向量：解：第32頁/共52頁第33頁/共52頁

定理3.2第34頁/共52頁第35頁/共52頁三、特征值和特征向量的求法齊次線性方程組(A

–E)X=0有非零解

設(shè)A

R

nn，為矩陣A

的一個(gè)特征值，而X為矩陣A

對(duì)應(yīng)于特征值

的一個(gè)特征向量。A

X=

X，有其中X

是非零向量(A

–E)X=0A

X=

X第36頁/共52頁方程(4)是一個(gè)關(guān)于的n

次多項(xiàng)式方程，稱為

A的特征方程。

的n

次多項(xiàng)式()=|A

–E|，稱為A

的特征多項(xiàng)式。|A

–E|==0(4)–––第37頁/共52頁求矩陣A的特征值，特征向量的過程(1)由特征方程|A

–E|=0，求出特征值。(2)由(A

–E)X=0，求出非零向量X，注：若齊次線性方程組(A

–E)X=0的基礎(chǔ)解系是

X1,X2,…,Xn–r。X=k1X1+k2X2+…+Kn–rXn–r則對(duì)應(yīng)于的所有特征向量X

可表示成

其中ki

不全為0，i=1,2,…,n–r。即為對(duì)應(yīng)于的特征向量。第38頁/共52頁例6求的特征值和特征向量。解：A有一個(gè)特征單根

1=2|A

–E|==(

–2)(

–1)2–––第39頁/共52頁(1)設(shè)A的對(duì)應(yīng)于1=2的特征向量為

X=解方程組(A

–2E)X=0A

–2E=r1

r3r2

+4r1r3

+3r1r3

–

r2r(A–2E)=2<3有一個(gè)自由未知量x3第40頁/共52頁x1=0,x2=0取x3=1得X1=A的對(duì)應(yīng)于

=2的特征向量為其中k10R

X=k1X1=k1第41頁/共52頁(2)對(duì)于2=3=1，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量X=解方程組(A

–E)X=0A

–E=r1

r3r2

+4r1r3

+2r1r3

r2r3

–2r2對(duì)應(yīng)的方程組為x1=–x3x2=–2x3第42頁/共52頁取x3=1,

得X2=A的對(duì)應(yīng)于

=1的特征向量為其中k20R

X=k2第43頁/共52頁例7解：的特征值：第44頁/共52頁例8解：的特征值和特征向量:求實(shí)對(duì)稱矩陣(1)解=0第45頁/共52頁同理，解=0其中：，X1與X2正交。第46頁/共52頁定理4

設(shè)A

Rnn

為實(shí)對(duì)稱陣，則A的特征值全是實(shí)數(shù)，且對(duì)每個(gè)特征值都存在實(shí)的特征向量。定理5

設(shè)ARnn

為實(shí)對(duì)稱陣，則A的不同特征值相應(yīng)的特征向量相互正交。第47頁/共52頁例9證明相似矩陣有相同的特征值設(shè)A~B，存在可逆矩陣