2023年山西省大同市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)

2023年山西省大同市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.曲線y=x+(1/x)的凹區(qū)間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

2.搖篩機如圖所示，已知O1B=O2B=0．4m，O1O2=AB，桿O1A按

規(guī)律擺動，(式中∮以rad計，t以s計)。則當t=0和t=2s時，關于篩面中點M的速度和加速度就散不正確的一項為()。

A.當t=0時，篩面中點M的速度大小為15．7cm／s

B.當t=0時，篩面中點M的法向加速度大小為6．17cm／s2

C.當t=2s時，篩面中點M的速度大小為0

D.當t=2s時，篩面中點M的切向加速度大小為12．3cm／s2

3.（）。A.3B.2C.1D.0

4.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

5.f(x)是可積的偶函數，則是()。A.偶函數B.奇函數C.非奇非偶D.可奇可偶

6.

7.

8.下列運算中正確的有()A.A.

B.

C.

D.

9.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

10.

11.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)

12.

13.函數f(x)=2x3-9x2+12x-3單調減少的區(qū)間為A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

14.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小

15.A.

B.

C.

D.

16.A.

B.0

C.

D.

17.設函數y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

18.

19.

20.設f(0)=0，且存在，則等于()．A.A.f'(x)B.f'(0)C.f(0)D.f(x)二、填空題(20題)21.

22.

23.設z=x3y2，則=________。24.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=______．25.微分方程xy'=1的通解是_________。26.27.28.

29.

30.設z=x3y2，則31.

32.

33.y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為______．

34.

35.36.

37.函數在x=0連續(xù)，此時a=______.

38.

39.設y=ex/x，則dy=________。40.三、計算題(20題)41.

42.

43.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．45.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．46.求微分方程的通解．47.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．48.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.

53.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．54.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．55.56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則57.58.59.

60.證明：四、解答題(10題)61.證明：ex＞1+x(x＞0)

62.計算63.求，其中區(qū)域D是由曲線y=1+x2與y=0，x=0，x=1所圍成．

64.

65.

66.求∫xlnxdx。

67.68.

69.判定y=x-sinx在[0，2π]上的單調性。

70.

五、高等數學(0題)71.

()。

A.0B.1C.2D.4六、解答題(0題)72.計算

參考答案

1.D解析：

2.D

3.A

4.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

5.Bf(x)是可積的偶函數；設令t=-u,是奇函數。

6.D

7.B

8.C本題考查的知識點為重要極限公式．

所給各極限與的形式相類似．注意到上述重要極限結構形式為

將四個選項與其對照。可以知道應該選C．

9.C被積函數sin5x為奇函數，積分區(qū)間[-1，1]為對稱區(qū)間。由定積分的對稱性質知選C。

10.B

11.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數，故選D。

12.B

13.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得駐點x1=1，x2=2。

當x＜1時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。

當1＜x＜2時，f'(x)＜0，f(x)單調減少。

當x＞2時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。因此知應選B。

14.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮?。蕬xC．

15.C

16.A

17.B

18.A

19.D

20.B本題考查的知識點為導數的定義．

由于存在，因此

可知應選B．

21.[01)∪(1+∞)

22.023.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。24.2x+3y+2本題考查的知識點為二元函數的偏導數運算．

則25.y=lnx+C26.－24．

本題考查的知識點為連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續(xù)，常可以利用導數判定f(x)在[a，b]上的最值：

27.

28.

29.

解析：30.12dx+4dy；本題考查的知識點為求函數在一點處的全微分．

由于z=x3y2可知，均為連續(xù)函數，因此

31.

本題考查的知識點為可分離變量方程的求解．

可分離變量方程求解的一般方法為：

(1)變量分離；

(2)兩端積分．

32.11解析：33.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為(0，+∞)．

34.(12)(01)

35.發(fā)散本題考查了級數的斂散性(比較判別法)的知識點.

36.

37.0

38.22解析：

39.

40.41.由一階線性微分方程通解公式有

42.43.由二重積分物理意義知

44.

45.

46.47.函數的定義域為

注意

48.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.

51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

52.

53.

列表：

說明

54.

55.56.由等價無窮小量的定義可知

57.

58.

59.

則

60.

61.

62.63.積分區(qū)域D如圖1-4所示。D可以表示為0≤x≤1，0≤y≤1+x2本題考查的知識點為計算二重積分，選擇積分次序。如果將二重積分化為先對x后對y的積分，將變得復雜，因此考生應該學會選擇合適的積分次序。

64.65.本題考查的知識點為參數方程的求導運算．

【解題指導】

66.

67.68.本題考查的知識點為求隱函數的微分．

解法1將方程兩端關于x求導，可得

解法2將方程兩端求微分

【解題指導】

若y＝y(x)由方程F(x，y)＝0確定，求dy常常