勾股定理典型例題歸類

勾股定理典型例題歸類勾股定理典型例題歸類勾股定理典型例題歸類9.已知Rt△ABC的周長為，此中斜邊，求這個三角形的面積。10.假如把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推行.(1)如圖，以Rt△ABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積S1、S2、S3之間有何關(guān)系并說明原由。（2）如圖，以Rt△ABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積S1、S2、S3之間有何關(guān)系（3）假如將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，請商討兩個暗影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說明原由。（此暗影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理丈量長度例1.假如梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米追蹤練習(xí)：1.如圖（8），水池中離岸邊D點米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.2.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只好湊近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥最少游覽（）A、8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用——例3.如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB1AB4

那么△DEF是直角三角形嗎為何注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。追蹤練習(xí)：如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點，F(xiàn)點CD邊上一點，且DF=3CF，求證：∠AEF=90°2.題型四：利用勾股定理求線段長度——1.如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.追蹤練習(xí)：1.如圖，將一個有45度角的三角板極點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個極點B在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，求三角板的最大邊AB的長.如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC的中點，DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，（1）求證：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的長.3.如圖，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上的一點.若AD=1，BD=3，求CD的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例1.有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至5米之內(nèi)，燈就自動打開，一個身高米的學(xué)生，要走到離門多遠的地方燈恰好打開追蹤練習(xí)：1.如圖，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個極點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，試判斷△ABC的形狀，并說明原由.（1）求證：∠ABD=90°;（2）求的值2.以下各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，3.在△ABC中，以下說法①∠B=∠C-∠A；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，此中能判斷△ABC為直角三角形的條件有（）A、2個B、3個C、4個D、5個在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c.判斷以下三角形能否為直角三角形并判斷哪一個是直角（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，A、2個B、3個C、4個D、5個5.已知△ABC的三邊長為a、b、c，且滿足，則此時三角形必定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形6.在△ABC中，若a=n21，b=2n，c=n21，則△ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC是（）A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形8.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，以下說法中，錯誤的選項是（）A、假如∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°B、假如∠C=90°，那么C、假如（a+b）（a-b）=，那么∠A=90°D、假如∠A=30°，那么AC=2BC9.已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a+b=3，ab=1，，求的值，試判斷△ABC的形狀，并說明原由10.觀察以下各式：，，，，依據(jù)此中規(guī)律，寫出下一個式子為_____________11.已知，m＞n，m、n為正整數(shù)，以，2mn，為邊的三角形是___三角形.一個直角三角形的三邊分別為n+1，n-1，8，此中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時，三角形為直角三角形題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的邊長.追蹤練習(xí)如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點，且∠EAF=45°，試一試究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明原由.題型七：關(guān)于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.追蹤練習(xí)如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點C落在點C’的地點，BC=4,求BC’的長.(一)折疊直角三角形如圖，在△ABC中，∠A=90°，點D為AB上一點，沿CD折疊△ABC，點A恰好落在BC邊上的A'處，AB=4，AC=3，求BD的長。2.如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5．將△ABC折疊使C與A重合，折痕為DE，求BE的長．（二）折疊長方形1.如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點，將長方形沿折痕AF折疊，點D恰好落在BC上的點E處，求CF的長。2.如圖，長方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點D與點B重合，點C與C'重合.（1）求DE的長;（2）求折痕EF的長.（2013?常德）如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為（）4.如圖，長方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折疊使A到A′處DA′交BC于F點.（1）求證：FB=FE（2）求證：CA′∥BD（3）求△DBF的面積如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G,G為BC的中點，連結(jié)AG、CF.（1）求證：AG∥CF;（2）求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實質(zhì)中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假如拖沓機行駛時，四周100米之內(nèi)會遇到噪音影響，那么拖沓機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校能否會遇到影響，請說明原由；假如遇到影響，已知拖沓機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校遇到影響的時間為多少例2.一輛裝滿貨物高為米，寬米的卡車要經(jīng)過一個直徑為5米的半圓形雙向行駛地道，它能順利經(jīng)過嗎追蹤練習(xí)：某市氣象臺測得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向挪動，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響地域。試問A城能否受此次風(fēng)暴的影響假如受影響，央求出遇到風(fēng)暴影響的時間；假如沒有受影響，請說明原由。一輛裝滿貨物的卡車,其外形高米,寬米,要開進廠門形狀以以以下圖的某工廠,問這輛卡車能否經(jīng)過該工廠的廠門3.有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去遮住這個洞口，圓的直徑最少多長（結(jié)果保留整數(shù)）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩農(nóng)村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，此刻要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收買站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多km處題型九：關(guān)于最短性問題例1、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)此刻自己的正上方油罐上面沿的B處有一只害蟲，便決定捕獲這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行忽然侵襲．結(jié)果，壁虎的侵襲獲取成功，獲取了一頓美餐．請問壁虎最少要爬行多少行程才能捕到害蟲（π取，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）2.追蹤練習(xí)：1.如圖為一棱長為3cm的正方體，把全部面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右邊面的B點，最少要花幾秒鐘2.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃爽口的食品.請你想想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少53B3.一個長方體盒子的長、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點,你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的線路嗎螞蟻要爬行的最短行程是多少BAA4.如圖將一根厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中，能全部放進去嗎A3題型十：勾股定理與特別角（一）直接運用30°或45°的直角三角形1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角均分線，若AC=23，求AD的長。如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角均分線，CD⊥AB于D，∠A=30°，CD=2，求AB的長。3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=60°，∠,C=45°，AC=2，求BD的長。（二）作垂線構(gòu)造30°或45°的直角三角形（1）將105°轉(zhuǎn)變成45°和60°如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠A=105°，AC=2，求BC的長。如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°,⑴若AD=2,求AB的長；⑵若AB+CD=23+2，求AB的長。（2）將75°轉(zhuǎn)變成30°和45°如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°，AB=6，求BC的長。題型十一：運用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD均分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的長。2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠CAD=2∠BAD,若BD=3，CD=8，求AB的長。(二)巧用“連環(huán)勾”列方程1.如圖，在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=42,求SABC.2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，求AD的長。3.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的長4.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=3，BD=4，求AD的長題型十二：勾股定理與分類議論（一）銳角與鈍角不明時需分類議論1.在△ABC中，AB=AC=5，，求BC的長2.在△ABC中，AB=15，AC=13，AD為△ABC的高，且AD=12，求△ABC的面積。（二）腰和底不明時需分類議論如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為射線AC上一點，且△ABD是等腰三角形，求△ABD的周長.（三）直角邊和斜邊不明時需分類議論已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長為_____________2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長3.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，而且使另一個極點在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個寫出落在x軸上的極點坐標(biāo).題型十三：或問題的證明1.如圖1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點，M、N分別為AC、BC上一點，且DM⊥DN.（1）求證：CM+CN=BD（2）如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長線上，研究CM、CN、BD之間的數(shù)目關(guān)系式。2.已知∠BCD=α，∠BAD=β，CB=CD.（1）如圖1，若α=β=90°，求證：AB+AD=AC；（2）如圖2，若α=β=90°，求證：AB-AD=AC；（3）如圖3，若α=120°，β=60°，求證：AB=AD=AC；（4）如圖3，若α=β=120°，求證：AB-AD=AC；題型十四：問題的證明1.如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M、N分別為AC、BD的中點，連MN、ON.求證：MN=ON.2.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，AE=CF，連DE、EF.（1）如圖1，若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE；（2）如圖2，若E、F分別在BA、AC的延長線上，則(1)中的結(jié)論能否仍成立請說明原由．3.如圖，△ABD中，O為AB的中點，C為DO延長線上一點，∠ACO=135°，∠ODB=45°研究OD、OC、AC之間相等的數(shù)目關(guān)系．如圖，△ABD是等腰直角△，∠BAD=90°，BC∥AD，BC=2AB，CE均分∠BCD，交AB于E，交BD于H．求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖1.如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的極點，則∠ABC的度數(shù)為．2.如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是3,2，，且三角形的三個極點都在格點上．如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個極點在格點上．4.在圖中以格點為極點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已注明的格點只有3個．5.如圖，在4個平均由16個小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點三角形，那么這4個三角形中，別出心裁的是__________中的三角形，圖4中最長邊上的高為_____________6.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的極點叫格點，以格點為極點分別按下列要求畫圖：（1）畫一條線段MN，使MN=；（2）畫△ABC，三邊長分別為3，，2。7.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB的端點在格點上．1）圖1中以AB為腰的等腰三角形有___________個，畫出此中的一個，并直接寫出其底邊長．2）圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有___________個，畫出此中的一個，并直接寫出其底邊上的高．題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在△ABC中，點D為BC邊上一點，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的長.2.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=2，，CD=5，AD=4，求.3.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=5,