上海青浦區(qū)第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

上海青浦區(qū)第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=8，公比，那么{an}前5項(xiàng)和S5的值是(

)A． B． C．

D．參考答案：A考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：等比數(shù)列{an}中，由首項(xiàng)a1=8，公比，利用等比數(shù)列的求和公式能求出{an}前5項(xiàng)和S5的值．解答：解：等比數(shù)列{an}中，∵首項(xiàng)a1=8，公比，∴S5===．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答2.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（﹣4，0），直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為實(shí)數(shù)m，關(guān)于點(diǎn)P的軌跡下列說法正確的是（）A．當(dāng)m＜﹣1時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）B．當(dāng)﹣1＜m＜0時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)）C．當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）D．當(dāng)0＜m＜1時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線（除與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)）參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】把m＜﹣1代入mx2﹣y2=16m，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)），判斷A不正確，把﹣1＜m＜0代入mx2﹣y2=16m，軌跡為焦點(diǎn)在在x軸上的橢圓（除與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），判斷B不正確，把0＜m＜1代入mx2﹣y2=16m，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），判斷D不正確，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由向量之積等于m列式，可得P的軌跡方程，核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：設(shè)P（x，y），則=（x≠4），（x≠﹣4），由kBP?kAP=m，得，∴mx2﹣y2=16m．當(dāng)m＞0時(shí)，方程化為（x≠±4），軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）．故選：C．3.由曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為（）A．B．C．D．參考答案：D4.已知自然數(shù)x滿足3A﹣2A=6A，則x（）A．3 B．5 C．4 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】D4：排列及排列數(shù)公式．【分析】利用排列數(shù)公式構(gòu)造關(guān)于x的方程，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵自然數(shù)x滿足3A﹣2A=6A，∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）=6（x+1）x，整理，得：3x2﹣11x﹣4=0，解得x=4或x=﹣（舍）．故選：C．5.在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A.

B.

C．

D.

參考答案：C6.已知f（x）為定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),且恒成立,則不等式的解集為（

）．A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)參考答案：C試題分析：令，則為定義域上的減函數(shù)，由不等式得：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬中檔題．解題時(shí)要確定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減7.設(shè)變量x，y滿足約束條件：，則z=x﹣3y的最小值(

)A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題．【分析】我們先畫出滿足約束條件：的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的各角點(diǎn)，然后將角點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，比較后，即可得到目標(biāo)函數(shù)z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根據(jù)題意，畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線如圖所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（﹣2，2）取最小值﹣8故選D．【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．8.設(shè)，將這五個(gè)數(shù)據(jù)依次輸入下面程序框進(jìn)行計(jì)算，則輸出的值及其統(tǒng)計(jì)意義分別是（

）A．，即個(gè)數(shù)據(jù)的方差為

B.，即個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為C.，即個(gè)數(shù)據(jù)的方差為

D.，即個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為參考答案：A略9.年第屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)在沈陽舉行,某校名大學(xué)生申請(qǐng)當(dāng)三個(gè)比賽項(xiàng)目的志愿者,組委會(huì)接受了他們的申請(qǐng),每個(gè)比賽項(xiàng)目至少分配一人,每人只能服務(wù)一個(gè)比賽項(xiàng)目,若甲要求不去服務(wù)比賽項(xiàng)目,則不同的安排方案共有(

)A．種 B．種 C．種 D．種參考答案：B略10.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

當(dāng)時(shí)的值時(shí)，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是（

）A．6，6

B．5,

6

C．5,

5

D．6,

5參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,則不等式的解集______________．參考答案：略12.已知中，，則

．參考答案：1或213.已知復(fù)數(shù)且，的取值范圍是______參考答案：【分析】由復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)表示的軌跡，設(shè)，即，則表示的幾何意義是點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，再利用直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，即復(fù)數(shù)表示的軌跡為，表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)，即，則表示的幾何意義是點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，如圖所示，當(dāng)最大時(shí)，直線與圓相切（過一三象限的直線），則圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù)表示的軌跡，合理利用直線與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14.=

。參考答案：

解析：．15.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須都用上，且相同數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)有__________個(gè).參考答案：1816.如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為

參考答案：17.已知，其中為虛數(shù)單位，則=___________.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）某光學(xué)儀器廠有一條價(jià)值為萬元的激光器生產(chǎn)線，計(jì)劃通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的增加值萬元與技術(shù)改造投入萬元之間滿足：①與成正比；②當(dāng)時(shí)，，并且技術(shù)改造投入滿足，其中為常數(shù)且.（I）求表達(dá)式及定義域；（II）求技術(shù)改造之后，產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)的值.參考答案：解：（I）設(shè).

由時(shí)，可得.

所以.

……3分

由解得.

所以函數(shù)的定義域?yàn)?

…6分（II）由（I）知，所以.

令得.

…8分

因?yàn)?，所以，?

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù).

……11分

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值是.……..13分

所以，時(shí)，投入萬元最大增加值萬元.

……14分略19.已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|．參考答案：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．故由＜1，故當(dāng)＜k＜，過點(diǎn)A（0，1）的直線與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N兩點(diǎn)．（2）設(shè)M（x1，y1）；N（x2，y2），由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1?x2=，∴y1?y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=?k2+k?+1=，由?=x1?x2+y1?y2==12，解得k=1，故直線l的方程為y=x+1，即x﹣y+1=0．圓心C在直線l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑．所以|MN|=2．20.（本小題10分）設(shè)過原點(diǎn)的直線與圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。(1)

求圓的極坐標(biāo)方程；(2)求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線．參考答案：圓的極坐標(biāo)方程為……4分設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，……7分

將，代入圓的極坐標(biāo)方程，得∴點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，它表示圓心在點(diǎn)，半徑為的圓．

……10分21.(12分)已知a＞0,b＞0，試比較：與的大小．參考答案：解析：（法一）∵

≥0∴≥

（法二）記p=，q=∵a＞0,b＞0

，

∴a+b≥2

，

∴a－+b≥，∴≥1，即