信號與系統(tǒng)-各章課件sas第八章

8.3連續(xù)系統(tǒng)的時域分析目的通過在時間域對系統(tǒng)的分析從而找出表征連續(xù)系統(tǒng)時間特性的特征量——沖激響應并以為核心進而分析在不同信號作用下系統(tǒng)的響應。系統(tǒng)分析過程完全響應零狀態(tài)響應零輸入響應系統(tǒng)函數(shù)瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應自由響應強制響應

系統(tǒng)分析過程建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，即寫出聯(lián)系系統(tǒng)輸入和輸出信號之間的數(shù)學表達式；采用適當?shù)?、?shù)學方法分析模型，從中找出反映系統(tǒng)基本性能的特征量，求出系統(tǒng)在給定激勵下的輸出響應的數(shù)學表示式等等；再對所得到的數(shù)學解進行物理解釋，深化系統(tǒng)對信號進行變換處理過程的理解。

8.3.1建立系統(tǒng)的數(shù)學模型是系統(tǒng)分析的基礎圖8.14運算放大器按一個理想運放輸入阻抗為無限大，輸入端電壓及電流均為零，（8.20）若以則得一、反相器：該式即描述運放電路的動態(tài)方程，也就是此電系統(tǒng)的數(shù)學模型。，則式（8.20）可寫成

表示輸出電壓等于輸入電壓的反相，所以8.15（a）所示的電路是一個反相器。如果電路中的R、C均為常數(shù)，則是一階常系數(shù)線性微分方程。圖8.15（a）二、積分器

若開路，則式（8.20）可寫成

或式中表示電容器的初始儲能，取決于的歷史狀態(tài)是一個常量。

圖8.15（b）【例8-16】一個電系統(tǒng)由RLC元件串聯(lián)而成，如圖8.16所示，已知輸入輸出，求該系統(tǒng)的數(shù)學模型。【解】設回路電流按電壓定律有將

代入上式得或若系統(tǒng)是線性非時變的，則電路參量R、L、C均為常數(shù)．所以該系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個二階常系數(shù)線性微分方程。圖8.16對一般線性非時變系統(tǒng)其數(shù)學模型可用n階常系數(shù)線性微分方程來描述，即

或

（8.22），

均為實常數(shù)以上所討論的系統(tǒng)數(shù)學模型是著眼于建立系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系，研究系統(tǒng)的端部特性而不關心系統(tǒng)內部變量的變化情況，所以稱為輸入——輸出描述。若在時域除了考慮輸入和輸出變量之外，還要研究系統(tǒng)內部各變量的變化規(guī)律，則所建立的數(shù)學模型是一組反映系統(tǒng)內部各狀態(tài)變量之間相互關系的狀態(tài)方程。8.3.2連續(xù)系統(tǒng)的時域分析——零狀態(tài)響應和零輸入響應的求解時域經(jīng)典法以直接求解積分微分方程為基礎，它把求解過程分由齊次方程的解和特解所組成。近代分析法

零狀態(tài)響應和零輸入響應例：（a）（b）

按開關K于在1端時電容充有電荷，儲有電能，其兩端電壓為

極性如（b）圖所示。當K倒向2端則根據(jù)電壓定律列得

由于代表輸入，代表輸出，所以上式即該系統(tǒng)的數(shù)學模型。

圖8.18充放電過程的R－C電路利用上述拉氏變換及其性質，則有

故得可見，系統(tǒng)的響應是由兩部分組成。

零狀態(tài)響應:當系統(tǒng)初始不儲能而處在零狀態(tài)情況下的系統(tǒng)響應零輸入響應:當系統(tǒng)輸入為零的情況下系統(tǒng)的響應。Con’t或

已知設，則，故有

一個線性非時變系統(tǒng)的完全響應是由零輸入與零狀態(tài)響應疊加而成。

它們構成了近代線性系統(tǒng)時域分析的理論基礎的內涵。

1.零狀態(tài)響應與單位沖激響應①.已知系統(tǒng)構成求零狀態(tài)響應

系統(tǒng)的數(shù)學模型為：當系統(tǒng)的構成已知，可列出反映系統(tǒng)輸入與輸出關系的線性微分積分方程，通過拉氏變換進而求出系統(tǒng)在零狀態(tài)下的響應。圖8.19組成線性系統(tǒng)的方塊圖零狀態(tài)下：描述了系統(tǒng)的傳輸特性，所以把它稱為域的系統(tǒng)函數(shù)或傳輸函數(shù)。它定義為系統(tǒng)在零狀態(tài)下，輸出與輸入拉氏變換之比。令則得在系統(tǒng)初始不儲能的零狀態(tài)下:系統(tǒng)的數(shù)學模型為：

上式表明系統(tǒng)在單位沖激激勵下，其輸出就等于系統(tǒng)的單位沖激響應系統(tǒng)函數(shù)又可定義為單位沖激響應的拉氏變換，即

結論：一旦測得系統(tǒng)的沖激響應，隨即求得系統(tǒng)函數(shù)。同理，已知系統(tǒng)函數(shù)，隨即求得相應的沖激響應。

系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應的關系當系統(tǒng)的輸入是單位沖激信號，即可得：②.已知系統(tǒng)單位沖激響應求零狀態(tài)響應若已知一個連續(xù)系統(tǒng)在作用下的零狀態(tài)響應，即單位沖激響應則利用LTI系統(tǒng)的疊加性和非時變性，可求得任一信號作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。

LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵信號與系統(tǒng)單位沖激響應的卷積積分，簡稱卷積。該式反映了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系，所以是描述LTI系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。

（a）S域表示；（b）時域表示

在零狀態(tài)下：利用卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，無論對系統(tǒng)的分析還是綜合都有重要意義。因為在實際中對系統(tǒng)設計，初始狀態(tài)均為零，不存在零輸入響應，即使不為零對系統(tǒng)分析，也可以將零狀態(tài)視為特定的激勵信號，將零輸入響應轉化為零狀態(tài)響應來求解。卷積運算規(guī)律：①交換律②分配律表明LTI系統(tǒng)對個輸入相加信號的零狀態(tài)響應等于每個輸入信號零狀態(tài)響應的疊加。③結合律表明沖激響應分別為與的兩個LTI系統(tǒng)相級聯(lián)，等效于沖激響應的一個LTI系統(tǒng)。表明卷積積分的次序可以任意交換。

【例8-18】已知一個LTI系統(tǒng)，測得單位沖激響應

求該系統(tǒng)在輸入時的零狀態(tài)響應?！窘狻?/p>

按LTI系統(tǒng)的特性，沖激信號與階躍信號之間存在著微分與積分的關系，所以它們的響應與之間也存在微分與積分的關系，即

如上例中已求得單位階躍響應為則有【例8-20】已知一個LTI系統(tǒng)初始不儲能，當輸入，測得輸出響應為，求輸入時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應【解】按題意先通過拉氏變換求出系統(tǒng)函數(shù)

故有系統(tǒng)零狀態(tài)響應

③利用圖解法求零狀態(tài)響應已知系統(tǒng)的沖激響應，求系統(tǒng)在任意信號作用下的零狀態(tài)響應，如上所述，可以通過解析法求卷積積分。但在某些實際問題中有時只知道輸入信號波形，很難寫出其函數(shù)式，況且當波形出現(xiàn)不連續(xù)時，由于積分上下限確定不當往往容易導致錯誤，所以為了便于大致描繪出卷積結果，減少錯誤，同時對卷積過程有更清晰的了解，通常采取在卷積過程結合圖解進行分段卷積。

信號的翻轉信號的時移信號的綜合變換圖形（a）

（b）（c）（d）（e）④．利用DFT求零狀態(tài)響應LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于系統(tǒng)的輸入與單位沖激響應的線性卷積。從時域卷積過程可見，當?shù)牟ㄐ伪容^復雜或延續(xù)時間較長時，計算比較繁復且費時，況且實際中的解析式往往不知道，因此可以按第九章所介紹的利用計算機通過DFT循環(huán)卷積的性質，實現(xiàn)線性卷積的快速運算.與2.零輸入響應與系統(tǒng)完全響應①.零輸入響應零輸入響應定義為系統(tǒng)在無外加激勵信號作用下，僅由初始儲能（初始狀態(tài)）所產(chǎn)生的響應。(圖8.18充放電過程的R－C電路)②.系統(tǒng)的完全響應如上所述，系統(tǒng)的完全響應可分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應之和，這是一種主要的分解形式，但還可以分解成其他形式，如瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應之和；自由響應與強制響應之和等。【例8-24】一個LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型為

已知求系統(tǒng)的完全響應?！窘狻坷美献儞Q將系統(tǒng)數(shù)學模型變換為求得系統(tǒng)的完全響應為或寫成

第一項隨著時間增加逐漸衰減直至最終完全消失，所以稱為瞬態(tài)分量，用表示。第二項當從始終存在，即穩(wěn)態(tài)分量:可見，從響應隨時間的變化規(guī)律，系統(tǒng)的完全響應又可分解為瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應兩個分量之和。上式中右邊該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是由兩部分組成。一部分與零輸入響應類似，取決于系統(tǒng)函數(shù)的極點，另一部分取決于激勵信號的極點。由于前者僅與系統(tǒng)的參數(shù)有關，所以和零輸入響應共同組成自由響應（固有分量）；后者僅與激勵信號有關，其變化規(guī)律受制于外加信號，所以稱為強制響應。由此可見，系統(tǒng)的完全響應又可分解為自由響應與強制響應兩個分量組成。自由響應強制響應8.3.3拉氏變換在電路分析中的應用——電網(wǎng)路的時域分析1.S域的元件模型R.L.C元件的時域關系為：各式進行拉氏變換得：對電流解出得：(p309.圖8.29和圖8.30)(s域元件模型）2.電路基本定理的運算形式-kirchhoftis定律K.I.L對于任意的節(jié)點，在同一時刻流入該節(jié)點的電流代數(shù)和恒等于零即K.V.L