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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù),則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)),在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,則的概率是()A. B. C. D.2.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.3.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個(gè)單位B.向左平移πC.向右平移π3個(gè)單位D.向右平移π4.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.5.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計(jì)),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)6.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對(duì)稱中心是D.函數(shù)的對(duì)稱軸是7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn),MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.9.在的展開式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.1510.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.11.盒中有6個(gè)小球,其中4個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取個(gè)球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù),則()A., B.,C., D.,12.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則_____。14.已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,動(dòng)點(diǎn)在直線上,若恒為銳角,則橢圓的離心率的取值范圍為__________.15.的展開式中,的系數(shù)是______.16.如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說(shuō)明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心,點(diǎn)到軸的距離為,點(diǎn),求的最大值.18.(12分)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),且直線與軸交于點(diǎn),設(shè),,求證:為定值.19.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點(diǎn),.(1)求線段的長(zhǎng).(2)若為線段上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿足不等式,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間,對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄,得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時(shí)不超過(guò)(分鐘),則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
先列舉出不超過(guò)的素?cái)?shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)有:、、、、、,在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.3.D【解析】試題分析:因?yàn)?,所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像變換.4.B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,得到不等式,計(jì)算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切,且相鄰四個(gè)球兩兩相切,這樣,相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體,易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個(gè)球.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.6.B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的判斷,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.7.A【解析】
設(shè),則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得,∴,∴,∴(負(fù)值舍去).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.8.C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.9.C【解析】
寫出展開式的通項(xiàng)公式,令,即,則可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為,令,即時(shí),系數(shù)為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.10.D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,?dāng)時(shí),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球,所以.表示取出一個(gè)黑球,,所以.表示取出兩個(gè)球,其中一黑一白,,表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?,,表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?,,所?所以,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,屬于中檔題.12.D【解析】
設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題.解決圓錐曲線中的面積類最值問(wèn)題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來(lái)求解最值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因?yàn)樗詂os因此.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。14.【解析】
根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,恒為銳角,只需直線與圓相離,從而可得,解不等式,再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得,圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,因此當(dāng)直線與圓相離時(shí),恒為銳角,故,解得從而離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了邏輯分析能力,屬于中檔題.15.【解析】
先將原式展開成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等,可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系,進(jìn)而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為,則四棱錐的高,則,由四棱錐的體積,半球的體積為:.【方法點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】
(1)假設(shè)直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,計(jì)算,可得,然后驗(yàn)證可得結(jié)果.(2)分別計(jì)算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點(diǎn)的軌跡方程,然后可得焦點(diǎn),結(jié)合拋物線定義可得,計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得,所以則直線方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn),所以可知點(diǎn)不在直線上.(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡(jiǎn)為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為,所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用,第(1)問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處,第(2)問(wèn)中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理,屬難題.18.(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計(jì)算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心,由拋物線定義知:點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問(wèn)題中的定值問(wèn)題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡(jiǎn)變形.19.(1)的長(zhǎng)為4(2)【解析】
(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算平面的法向量為,為平面的一個(gè)法向量,再計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.,因?yàn)?,所以,即,解得,所以的長(zhǎng)為4.(2)因?yàn)?,所以,又,?設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個(gè)法向量.顯然,為平面的一個(gè)法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段
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