函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

單元目標(biāo)要求幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系。課時目標(biāo)要求在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．課時重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過四個實(shí)際情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的函數(shù)概念；熟悉函數(shù)本質(zhì)，明確函數(shù)三要素；能夠利用函數(shù)概念解決問題。難點(diǎn)：找到不同函數(shù)情景中，所包含的共同特征；理解教師給出的f（x）的含義；熟練使用函數(shù)語言。在教學(xué)過程中需要注意W：學(xué)習(xí)方向和原因H：教學(xué)要吸引學(xué)生并保持他們的注意力E：準(zhǔn)備必要的經(jīng)驗(yàn)、工具和知識，使學(xué)生體驗(yàn)知識的探索過程，從而獲得知識R：讓學(xué)生重新思考，并修改自己不當(dāng)?shù)南敕ㄓ^念E-2：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評估T：強(qiáng)調(diào)個性化，為每個學(xué)生量身定制O：對于所有元素進(jìn)行合理的組織-有效的組織活動也可以算作是O階段1—確定單元學(xué)習(xí)預(yù)期結(jié)果所確定的目標(biāo)：依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，在本節(jié)課學(xué)習(xí)完成后在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域理解：1、理解函數(shù)是實(shí)數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系2、理解對應(yīng)關(guān)系f的含義3、理解新的符號表示，即y=f(x)，理解函數(shù)的三要素回答的基本問題：1、什么是函數(shù)學(xué)生應(yīng)掌握的知識：1、函數(shù)概念以及函數(shù)的三要素。2、區(qū)間的定義及表示。學(xué)生應(yīng)形成的技能：能夠根據(jù)新的函數(shù)定義判斷函數(shù)關(guān)系，對于給定的自變量能夠求出對應(yīng)的函數(shù)值。能夠用區(qū)間正確表示函數(shù)的定義域與值域階段2—確定評估證據(jù)評估水平評估方法本節(jié)課函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，主要針對前兩個理解水平，即感知水平與釋義水平表現(xiàn)性任務(wù)依據(jù)函數(shù)概念，主動構(gòu)建與解析式相關(guān)的函數(shù)，從而深化對于函數(shù)的認(rèn)識。其他任務(wù)1、課堂例題與練習(xí)2、課堂口頭提問3、課堂總結(jié)與反思4、課后作業(yè)階段3—規(guī)劃教學(xué)過程教學(xué)活動1、利用問題，引導(dǎo)學(xué)生思考變量說是否存在不足。（W）2、在關(guān)注到描繪函數(shù)關(guān)系需要注意到自變量的取值范圍之后，引導(dǎo)學(xué)生對于幾類不同的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行重新表示，目的在于找到不同函數(shù)關(guān)系的共同點(diǎn)，總結(jié)函數(shù)定義。（H，R，E）3、表現(xiàn)性任務(wù)，依據(jù)函數(shù)概念，主動構(gòu)建與解析式y(tǒng)=x(10-x)相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，從而深化對于函數(shù)的認(rèn)識。（E，E-2，T）教學(xué)過程（一）、回顧舊知，激發(fā)疑問問題一：生活中有哪些函數(shù)關(guān)系？預(yù)設(shè)：學(xué)生從實(shí)際生活出發(fā)，可能的回答包括：路程與時間，速度與時間，籃球拋出的高度與時間等。教師：以其中的路程與時間為例，當(dāng)小車以4m/s的速度勻速前進(jìn)時，路程S與時間t的關(guān)系就可以寫為S=4t當(dāng)時間發(fā)生變化時，路程也隨之變化。當(dāng)時間確定時，路程也隨之確定。引入初中變量說，即在一個變化過程中，存在兩個變量x與y，并且當(dāng)我們確定了x值之后y也會隨之確定，那么就稱y是x的函數(shù)，y的值稱作函數(shù)值?！驹O(shè)計(jì)意圖】：通過舉個例子，引出初中變量說。并且在舉例過程中，讓學(xué)生回憶函數(shù)的作用，利用函數(shù)可以描述客觀事物的變化規(guī)律，研究與解決現(xiàn)實(shí)問題。這一部分可以為學(xué)生準(zhǔn)備必要的工具和知識，使學(xué)生具備探索函數(shù)概念的能力，從而獲得知識。（H）問題二：在回憶函數(shù)“變量說”后，思考y=x與y=x^2/x是否為同一個函數(shù)？預(yù)設(shè)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，x的取值范圍不同，兩個函數(shù)有所區(qū)別，但無法從定義入手解決問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)定義無法有效地解決問題，因此需要找到更加準(zhǔn)確的函數(shù)定義刻畫函數(shù)。問題二可以幫助學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)原因與方向，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。（W）（二）、分析問題，歸納本質(zhì)課本問題1：某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時．這段時間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S（單位：km）與運(yùn)行時間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為S=350t問題三：路程S是否為時間t的函數(shù)？預(yù)設(shè)：學(xué)生利用變量說可以判斷出是函數(shù)關(guān)系。追問：那你能夠算出一小時后列車的行駛距離嗎？預(yù)設(shè)：部分學(xué)生會得到350km的答案，部分學(xué)生會察覺到題目中并未說明半小時后的行駛情況，因此無法確定一小時后的路程?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求距離時，必須要注意時間t的取值范圍，要確定函數(shù)值，必須要考慮自變量的變化范圍。問題三讓學(xué)生重新思考自己對與函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識，調(diào)整自己的想法觀念。（R）教師：引導(dǎo)學(xué)生對課本問題1的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行重新刻畫：如果將t的取值范圍記為A1，有A1＝{t|0≤t≤0.5}，那么同時可以算出，在這段時間內(nèi)路程的取值范圍B1，B1={S|0≤S≤175}，這樣在數(shù)集【設(shè)計(jì)意圖】在發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系需要考慮自變量的取值范圍之后，利用集合語言重新描述函數(shù)關(guān)系，建立起函數(shù)關(guān)系是實(shí)數(shù)集中元素與元素的對應(yīng)關(guān)系的初步印象。這一引導(dǎo)過程，是為學(xué)生在之后描述函數(shù)關(guān)系，準(zhǔn)備必要的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)知識的探索過程，從而獲得知識。（E）課本問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天，如果公司確定的工資是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資ω（單位：元）是他的工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？問題三：ω與d是函數(shù)關(guān)系嗎？關(guān)系式是什么？問題2的函數(shù)是否能夠像問題1一樣，利用集合語言描述出來？預(yù)設(shè)：學(xué)生很容易判斷出ω與d是函數(shù)關(guān)系，并且ω=350d。之后仿照問題1的描述，學(xué)生可以寫出天數(shù)d的集合A2，從而計(jì)算出工資ω的集合B追問：問題1與問題2中的函數(shù)與相同的對應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為他們是同一個函數(shù)嗎？為什么？預(yù)設(shè)：部分學(xué)生認(rèn)為函數(shù)解析式相同就是同一個函數(shù)，另外一部分學(xué)生認(rèn)為自變量的取值范圍不同，得到的函數(shù)值也不相同，因此兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)。教師：通過問題1、2給出判斷函數(shù)相等的依據(jù)。兩個函數(shù)相等，既要滿足對應(yīng)相同，同時還要保證自變量的取值范圍相等，從而得到問題二得答案，y=x與y=x^2/x不是同一個函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)是實(shí)數(shù)集中元素與元素的對應(yīng)關(guān)系，并且引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解析式與自變量的變化范圍都是確定函數(shù)是否相等的要素，從而讓學(xué)生重新思考對于函數(shù)的認(rèn)識，意識到解析式不是判斷函數(shù)相等的唯一條件，修改自己不當(dāng)?shù)挠^念。（E，R）課本問題3：圖3.1—1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖。如何依據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？（插上書上的圖）問題四：每一個時刻所對應(yīng)的客氣質(zhì)量指數(shù)是確定的嗎？能夠表示出來嗎？依據(jù)函數(shù)“變量說”能夠判斷出I是t的函數(shù)嗎？預(yù)設(shè)：學(xué)生通過作圖，可以找到某一個時刻t所對應(yīng)的空氣質(zhì)量指數(shù)，并在圖中標(biāo)記出來，但是對于I是否為t的函數(shù)并不確定。教師：借助于geogebra軟件，演示在任意時刻t都有與之對應(yīng)的空氣質(zhì)量指數(shù)I，如圖1所示，并且對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)圖像，而不是解析式。圖1【設(shè)計(jì)意圖】通過課本例題3讓學(xué)生認(rèn)識到對應(yīng)關(guān)系的不同表現(xiàn)形式，同時更改解析式就是對應(yīng)關(guān)系的觀念。通過geogebra演示，吸引學(xué)生注意，并直觀的感受函數(shù)就是實(shí)數(shù)集中元素與元素的對應(yīng)關(guān)系。（H，R）追問：能否仿照前面兩個問題，利用集合語言描述問題3中的函數(shù)關(guān)系。預(yù)設(shè)：學(xué)生在寫出時刻t的取值范圍A3后，發(fā)現(xiàn)通過觀察圖像無法得到B追問：通過觀察圖像無法取得I的準(zhǔn)確范圍，是否可以得到近似范圍？利用近似范圍描述對應(yīng)關(guān)系，是否依然成立？預(yù)設(shè)：學(xué)生嘗試?yán)酶蟮姆秶硎綢的取值范圍，得到實(shí)數(shù)集B3【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過再次描述函數(shù)是實(shí)數(shù)集中元素與元素的對應(yīng)關(guān)系，加深了學(xué)生對于函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，同時認(rèn)識到數(shù)集B并不一定就是值域，只要包含其中就不影響對應(yīng)關(guān)系的描述。（E）問題4：國際上常用恩格爾系數(shù)r（r=食品支出金額總支出金額（插書上的表格）問題五：課本問題4中的年份y與恩格爾系數(shù)r是函數(shù)關(guān)系嗎？能夠利用前面幾組函數(shù)關(guān)系的描述方法進(jìn)行描述嗎？預(yù)測：部分學(xué)生利用列舉的方式給出恩格爾系數(shù)的取值范圍A4，以及年份y的取值范圍B追問：自變量的取值范圍即數(shù)集可以用更大的范圍進(jìn)行表示嗎？預(yù)測：學(xué)生通過對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)無法找到多余的x值所對應(yīng)的函數(shù)值，因此不能夠用較大的范圍表示實(shí)數(shù)集A【設(shè)計(jì)意圖】通過問題4再次引入函數(shù)新的表示方法，表格法，同時加深學(xué)生對于函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，同時分辨了實(shí)數(shù)集A與自變量的關(guān)系，實(shí)數(shù)集B與值域的關(guān)系。（E）教師講四個問題所涉及到的實(shí)數(shù)集A、B，以及對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行歸總。如表1所示表1教師：通過分析多個函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系的表達(dá)形式并不統(tǒng)一，因此引入符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系。問題六：在分析并利用集合語言重新描述了不同的四個函數(shù)關(guān)系后，我們將其列入同一個表格中，觀察表格，你能總結(jié)出這四個函數(shù)有什么共同特點(diǎn)？進(jìn)而得到函數(shù)的定義嗎？預(yù)設(shè)：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，雖然函數(shù)關(guān)系不同，但都包括了非空集合A、B,對應(yīng)關(guān)系，并且盡管f表達(dá)方式不同，但都滿足，對于數(shù)集A中任意一個數(shù)x，通過對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過分析四個函數(shù)的共同特點(diǎn)，有助于認(rèn)識到函數(shù)的本質(zhì)，為后面函數(shù)概念的引入奠定基礎(chǔ)。（E）教師：將共同要素進(jìn)行歸總，就可以歸納出函數(shù)的概念，一般的設(shè)A是非空的數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f：A→R，都有唯一確定的實(shí)數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→R為一個函數(shù)，并且利用對應(yīng)關(guān)系的符號f，我們可以將函數(shù)記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，可以表示為{f(x)|x∈A}或{y|x∈A}（三）、概念辨析，演繹應(yīng)用1、辨析新的函數(shù)表達(dá)形式：教師：進(jìn)一步說明y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，充分體現(xiàn)出了函數(shù)的三要素，并且突出了對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心。強(qiáng)調(diào)f(x)不是y等于f與x的乘積，f(x)表示變量y，一般情況下也可以將y=f(x)簡寫為f(x)，當(dāng)x取某一個特殊值a時，就可以將y值表示為f(a)，此時f(a)就是一個確定的數(shù)。問題七：已知2是一個無理數(shù)，表示為小數(shù)形式是無限不循環(huán)小數(shù)，借助計(jì)算器可以得到小數(shù)點(diǎn)后任意一位的值。此時每當(dāng)我們確定一個位數(shù)時，可以發(fā)現(xiàn)該位數(shù)上的值也是確定的，那么此時，位數(shù)與位數(shù)上的值是否是函數(shù)關(guān)系？定義域是什么？對應(yīng)關(guān)系是什么？值域是什么？【設(shè)計(jì)意圖】通過對于新的函數(shù)的表達(dá)形式進(jìn)行辨析，明確對應(yīng)關(guān)系f的含義，理解對應(yīng)關(guān)系f引入的必要性。同時通過問題七進(jìn)一步明確函數(shù)的三要素。（R）2、利用新的函數(shù)定義，與實(shí)際問題進(jìn)行聯(lián)系：例題一：構(gòu)建問題情境，是其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來描述。教師：嘗試通過爬山法，逐步引導(dǎo)學(xué)生夠構(gòu)建情景。首先思考生活中哪些關(guān)系是二次函數(shù)；這些關(guān)系在什么情況下是開口向下的二次函數(shù)；針對二次函數(shù)y=x（10-x）的最大值以及對稱軸，你能夠?qū)㈤_口向下的二次函數(shù)情境賦予具體的數(shù)值嗎。追問：你所構(gòu)建的情境中的自變量，定義域，函數(shù)值以及值域是什么？是否能夠利用函數(shù)的定義進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的描述？【設(shè)計(jì)意圖】例題一屬于表現(xiàn)性任務(wù)，不同的學(xué)生通過對自己所熟悉的情境進(jìn)行運(yùn)用，體會到函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，通過追問讓學(xué)生能夠自查自己所構(gòu)建的情境是否符合函數(shù)定義，更加明確了函數(shù)三要素以及函數(shù)的本質(zhì)。（R，E-2，T）區(qū)間：對于有限區(qū)間的表示方法進(jìn)行介紹，包括閉區(qū)間，開區(qū)間，半開半閉區(qū)間以及端點(diǎn)的概念，并結(jié)合數(shù)軸表示進(jìn)行演示。對于無限區(qū)間介紹無窮的表示方法，結(jié)合數(shù)軸舉例說明。（四）、課堂練習(xí)練習(xí)1：用新的函數(shù)定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、以及反比例函數(shù)，找到三要素?！驹O(shè)計(jì)意圖】體會對應(yīng)關(guān)系f的一般性，并且與舊知進(jìn)行聯(lián)系，幫助學(xué)生熟悉函數(shù)的三要素。練習(xí)2：下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

(1)y=x2(2)u=3u【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生理解，對于函數(shù)y=f(x)，x∈A和函數(shù)u=g(v)，v∈B，如果A=B且a∈A，都有f(a)＝g(a)，那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)，稱它們相等，使學(xué)生明白，函數(shù)的本質(zhì)就是對應(yīng)關(guān)系，兩個函數(shù)相等的充要條件是對應(yīng)關(guān)系一致、定義域相同，這里“對應(yīng)關(guān)系一致”的含義是“任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值相等”，可以嘗試舉出案例，例如y=1與y=s