常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

會(huì)計(jì)學(xué)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法定理2(比較審斂法)設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，那么(1)若收斂，則收斂；(2)若發(fā)散，則發(fā)散。，第1頁(yè)/共48頁(yè)證(1)記的部分和為的部分和為，即收斂有上界有上界收斂(定理1)(定理1)第2頁(yè)/共48頁(yè)(2)收斂發(fā)散(反證)假設(shè)則由(1)的結(jié)果得：收斂這與已知發(fā)散矛盾！證畢。第3頁(yè)/共48頁(yè)推論1設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。，(1)則收斂。，又若收斂，，(2)則發(fā)散。，又若發(fā)散，第4頁(yè)/共48頁(yè)例1討論的收斂性。解(1)時(shí).發(fā)散發(fā)散(比較)第5頁(yè)/共48頁(yè)(2)時(shí).對(duì)任意自然數(shù)當(dāng)時(shí)，即即即第6頁(yè)/共48頁(yè)即，考察級(jí)數(shù)收斂第7頁(yè)/共48頁(yè)收斂，又收斂(推論1)由(1)(2)得：收斂，發(fā)散，第8頁(yè)/共48頁(yè)發(fā)散。例2證明證又發(fā)散發(fā)散(比較)第9頁(yè)/共48頁(yè)的收斂性。例3判斷級(jí)數(shù)證又收斂收斂(比較)（等比級(jí)數(shù)，）第10頁(yè)/共48頁(yè)定理3設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。時(shí)，(1)當(dāng)(比較審斂法的極限形式)記，那么與的收斂性相同.時(shí)，(2)當(dāng)收斂.若收斂，則時(shí)，(3)當(dāng)發(fā)散.若發(fā)散，則第11頁(yè)/共48頁(yè)證(1)當(dāng)時(shí).按定義得：對(duì)于，使得當(dāng)時(shí)，就有即即第12頁(yè)/共48頁(yè)即,收斂.若收斂，則發(fā)散.若發(fā)散，則上式也可寫(xiě)為,收斂.若收斂，則發(fā)散.若發(fā)散，則(推論1)(推論1)(推論1)第13頁(yè)/共48頁(yè)(2)(3)(自己證)例4判定下列級(jí)數(shù)的收斂性推論2給了正項(xiàng)級(jí)數(shù)和.若，則與的收斂性相同.第14頁(yè)/共48頁(yè)定理4(比值審斂法)給了正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，則(1)收斂；(2)發(fā)散；(3)不能判定。第15頁(yè)/共48頁(yè)證顯然，(1)存在使得記則對(duì)上述存在，使得就有即即第16頁(yè)/共48頁(yè)即收斂收斂(比較)收斂(性質(zhì))第17頁(yè)/共48頁(yè)(2)存在使得記則對(duì)上述存在，使得就有即第18頁(yè)/共48頁(yè)即發(fā)散(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)即這表明：又第19頁(yè)/共48頁(yè)對(duì)存在，使得就有即發(fā)散(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)這表明：又第20頁(yè)/共48頁(yè)(3)例該級(jí)數(shù)發(fā)散例該級(jí)數(shù)收斂第21頁(yè)/共48頁(yè)定理5(根值審斂法)給了正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，則(1)收斂；(2)發(fā)散；(3)不能判定。第22頁(yè)/共48頁(yè)證明：類(lèi)似定理4的證明（略）說(shuō)明定理4和定理5中的條件只是使結(jié)論成立的充分條件，而非必要條件。反例：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂但不存在.第23頁(yè)/共48頁(yè)例5判定下列級(jí)數(shù)的收斂性第24頁(yè)/共48頁(yè)例6證明級(jí)數(shù)收斂，并估計(jì)以部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差。解收斂設(shè)它的和為，(根值審斂法)第25頁(yè)/共48頁(yè)即第26頁(yè)/共48頁(yè)補(bǔ)充內(nèi)容：（不證）柯西積分審斂法如果在區(qū)間非負(fù)、連續(xù)、單調(diào)遞減，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分的收斂性相同。上第27頁(yè)/共48頁(yè)例7判定的收斂性。解設(shè)，則在上，非負(fù)、連續(xù)、單調(diào)遞減。發(fā)散發(fā)散(柯西積分審斂法)練習(xí)：判定的收斂性。第28頁(yè)/共48頁(yè)二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：各項(xiàng)為正負(fù)交錯(cuò)出現(xiàn)的級(jí)數(shù)。即：形如或第29頁(yè)/共48頁(yè)定理6（萊布尼茨定理）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：則(1)該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和(2)第30頁(yè)/共48頁(yè)證設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的部分和為先考察.由條件(1)得：即(*)的子列第31頁(yè)/共48頁(yè)存在，設(shè)極限值為，則有再考察.的子列即收斂，其和為[由條件（2）]第32頁(yè)/共48頁(yè)在(*)式中，令取極限，得即即即第33頁(yè)/共48頁(yè)證畢。第34頁(yè)/共48頁(yè)例8討論交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性，并估計(jì)的值。解又交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，(萊布尼茨定理)且第35頁(yè)/共48頁(yè)三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：正、負(fù)項(xiàng)的出現(xiàn)是任意的級(jí)數(shù)。是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，怎樣判定它的收斂性？是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們會(huì)判定它的收斂性。那么，現(xiàn)在的問(wèn)題是：的收斂性與的收斂性之間有什么關(guān)系？第36頁(yè)/共48頁(yè)定理7若收斂，則收斂。證又，，收斂收斂,收斂(比較)第37頁(yè)/共48頁(yè)收斂(性質(zhì))證畢。注意反之不然。反例：收斂，但發(fā)散。第38頁(yè)/共48頁(yè)定義給了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)如果收斂，則稱(chēng)是絕對(duì)收斂的。(2)如果發(fā)散，則稱(chēng)是條件收斂的。但收斂第39頁(yè)/共48頁(yè)例如：絕對(duì)收斂條件收斂說(shuō)明：由定理7得：絕對(duì)收斂收斂第40頁(yè)/共48頁(yè)例9判定的收斂性。解這是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。先考慮的收斂性，又收斂它是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。收斂(比較)絕對(duì)收斂即收斂第41頁(yè)/共48頁(yè)注意收斂收斂發(fā)散發(fā)散一般地，但是，如果是用比值審斂法或根值審斂法得出發(fā)散,則可斷定發(fā)散。第42頁(yè)/共48頁(yè)例10判定級(jí)數(shù)的收斂性。解這是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。先考慮的收斂性。第43頁(yè)/共48頁(yè)發(fā)散發(fā)散(根值審斂法)第44頁(yè)/共48頁(yè)練習(xí)判定下列級(jí)數(shù)的收斂