常微分方程數(shù)值解法歐拉法

會計學(xué)1常微分方程數(shù)值解法歐拉法解析解法：（常微分方程理論）只能求解極少一類常微分方程；實際中給定的問題不一定是解析表達(dá)式，而是函數(shù)表，無法用解析解法。如何求解計算解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節(jié)點(diǎn)間距為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取hi=h

(常數(shù))。數(shù)值解法:求解所有的常微分方程步進(jìn)式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值計算當(dāng)前節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，一步一步向前推進(jìn)。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的遞推公式即可。第1頁/共32頁第2頁/共32頁第3頁/共32頁--------Euler’sMethod§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/§1Euler’sMethodTaylor展開法第4頁/共32頁幾何意義亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

幾何直觀是幫助我們尋找解決一個問題的思路的好辦法哦第5頁/共32頁定義在假設(shè)yn=y(xn)，即第

n

步計算是精確的前提下，考慮公式或方法本身帶來的誤差:Rn=y(xn+1)

yn+1,稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。說明

顯然，這種近似有一定誤差，而且步長越大，誤差越大，如何估計這種誤差y(xn+1)

yn+1

？§1Euler’sMethod第6頁/共32頁截斷誤差:實際上，y(xn)

yn，yn也有誤差，它對yn+1的誤差也有影響，見下圖。但這里不考慮此誤差的影響，僅考慮方法或公式本身帶來的誤差，因此稱為方法誤差或截斷誤差。局部截斷誤差的分析：由于假設(shè)yn=y(xn)

，即yn準(zhǔn)確，因此分析局部截斷誤差時將y(xn+1)和

yn+1都用點(diǎn)xn上的信息來表示，工具：Taylor展開。

歐拉法的局部截斷誤差：Rn+1

的主項/*leadingterm*/§1Euler’sMethod第7頁/共32頁定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。歐拉法具有1階精度。在xn點(diǎn)用一階向前差商近似一階導(dǎo)數(shù)

在第2章討論牛頓插值公式時介紹了差商的概念和性質(zhì)，各階差商可以近似各階導(dǎo)數(shù)，具有不同的精度，且可以用函數(shù)值來表示。上一章中數(shù)值微分的方法之一就是用差商近似導(dǎo)數(shù)Euler’smethod§1Euler’sMethod第8頁/共32頁§1Euler’sMethod

歐拉公式的改進(jìn)：隱式歐拉法或后退歐拉法

/*implicitEulermethodorbackwardEulermethod*/xn+1點(diǎn)向后差商近似導(dǎo)數(shù)隱式或后退歐拉公式第9頁/共32頁由于未知數(shù)yn+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。隱式公式不能直接求解，一般需要用Euler顯式公式得到初值，然后用Euler隱式公式迭代求解。因此隱式公式較顯式公式計算復(fù)雜，但穩(wěn)定性好收斂性§1Euler’sMethod第10頁/共32頁

見上圖，顯然，這種近似也有一定誤差，如何估計這種誤差y(xn+1)

yn+1

？方法同上，基于Taylor展開估計局部截斷誤差。但是注意，隱式公式中右邊含有f(xn+1

,yn+1),由于yn+1不準(zhǔn)確，所以不能直接用y'(xn+1)代替f(xn+1

,yn+1)設(shè)已知曲線上一點(diǎn)Pn(xn,yn),過該點(diǎn)作弦線，斜率為(xn+1

,yn+1)點(diǎn)的方向場f(x,y)方向,若步長h充分小，可用弦線和垂線x=xn+1的交點(diǎn)近似曲線與垂線的交點(diǎn)。幾何意義xnxn+1PnPn+1xyy(x)§1Euler’sMethod第11頁/共32頁

隱式歐拉法的局部截斷誤差：§1Euler’sMethod第12頁/共32頁§1Euler’sMethod第13頁/共32頁

隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度?！?Euler’sMethod第14頁/共32頁比較尤拉顯式公式和隱式公式及其局部截斷誤差顯式公式隱式公式§1Euler’sMethod第15頁/共32頁

若將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分/*leadingterm*/而獲得更高的精度,稱為梯形法§1Euler’sMethod梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截斷誤差，即梯形公式具有2

階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第16頁/共32頁梯形法的迭代計算和收斂性收斂性§1Euler’sMethod第17頁/共32頁梯形法的簡化計算

迭代計算量大，且難以預(yù)測迭代次數(shù)。為了控制計算量，通常只迭代一次就轉(zhuǎn)入下一點(diǎn)的計算。用顯式公式作預(yù)測，梯形公式作校正，得到如下預(yù)測校正系統(tǒng)，也稱為改進(jìn)尤拉法：改進(jìn)歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1nnnnyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+ny)],(),([2111+++++=nnnnnnyxfyxfhyy§1Euler’sMethod第18頁/共32頁注：此法亦稱為預(yù)測-校正法/*predictor-correctormethod*/?？梢宰C明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法?！?Euler’sMethod其它形式第19頁/共32頁幾何解釋xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2尤拉法后退尤拉法梯形法§1Euler’sMethod第20頁/共32頁令x=x1,得Anotherpointofview對右端積分采用左矩形、右矩形、梯形積分公式，即可得尤拉顯式、隱式、梯形公式§1Euler’sMethod第21頁/共32頁中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式也具有2階精度，且是顯式的。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/?！?Euler’sMethod第22頁/共32頁幾何解釋xnxn+1尤拉法后退尤拉法中點(diǎn)法xn-1令x=x2,得Anotherpointofview對右端積分采用中矩形公式即得中點(diǎn)公式§1Euler’sMethod第23頁/共32頁公式局部截斷誤差精度顯隱穩(wěn)定性步數(shù)尤拉顯式公式1階顯差單步尤拉隱式公式1階隱好單步梯形公式2階隱差單步中點(diǎn)法2階顯好二步summary第24頁/共32頁第25頁/共32頁第26頁/共32頁

算例

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法解初值問題解：取

h=0.1，梯形方法為：續(xù)第27頁/共32頁

算例

分別用顯式Euler方法，梯形方法和預(yù)估－校正Euler方法解初值問題解：取

h=0.1，梯形方法為：預(yù)估－校正Euler方法：續(xù)第28頁/共32頁

Euler方法

梯形方法

預(yù)估－校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.8×10－31.0047627.5×10－51.0050001.6×10－40.21.0100008.7×10－31.0185941.4×10－41.0190252.9×10－40.31.0290001.2×10－21.0406331.9×10－41.0412184.0×10－40.41.0561001.4×10－21.0700962.2×10－41.0708004.8×10－40.51.0904901.6×10－21.1062782.5×10－41.1070765.5×10－40.61.1314411.7×10－21.1485372.7×10－41.1494045.9×10－40.71.1782971.8×10－21.1962952.9×10－41.1972106.2×10－40.81.2304671.9×10－21.2490193.0×10－41.2499756.5×10－40.91.2874201.9×10－21.3062643.1×10－41.3072286.6×10－41.01.3486781.9×10－21.3675733.1×