D物理應(yīng)用黑白

會計(jì)學(xué)1D物理應(yīng)用黑白2例1.一個單求電場力所作的功.解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r

時(shí),由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

a

處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,第1頁/共22頁3例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點(diǎn)a

處移動到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣第2頁/共22頁4例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,第3頁/共22頁5面積為A的平板二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??第4頁/共22頁6小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為第5頁/共22頁7說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)第6頁/共22頁8三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對質(zhì)點(diǎn)的引力,則需用積分解決.第7頁/共22頁9例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)

M,該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故鉛直分力元素為在試計(jì)算第8頁/共22頁10利用對稱性棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對質(zhì)點(diǎn)的引力的鉛直分力為第9頁/共22頁11說明:2)

若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿y

軸從a

處1)

當(dāng)細(xì)棒很長時(shí),可視

l

為無窮大,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到b

(a<b)處時(shí)克服引力作的功,則有第10頁/共22頁12引力大小為注意正負(fù)號3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí),第11頁/共22頁13四、轉(zhuǎn)動慣量(補(bǔ)充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點(diǎn)系若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量,則需用積分解決.關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為第12頁/共22頁14例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵

求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:

⑴建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應(yīng)于的小圓環(huán)對軸l

的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸l

的轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)有一個半徑為R,質(zhì)量為M

的均勻圓盤,第13頁/共22頁15平行y軸的細(xì)條關(guān)于y

軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細(xì)條質(zhì)量:故圓盤對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量為⑵取旋轉(zhuǎn)軸為

y

軸,建立坐標(biāo)系如圖.第14頁/共22頁16內(nèi)容小結(jié)(1)先用元素法求出它的微分表達(dá)式dQ一般元素的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計(jì)算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力等。條、段、環(huán)、帶、第15頁/共22頁17(1999考研)思考與練習(xí)提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由抓起污x

提升dx

所作的功可分為三部分:

米重50N,第16頁/共22頁18提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時(shí)間:克服抓斗自重:第17頁/共22頁192.設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示:

如圖.在點(diǎn)O處有一單位質(zhì)點(diǎn),求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點(diǎn)的引力.第18頁/共22頁20同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點(diǎn)的引力大小為作業(yè):

P2912,3,5,9,12第19頁/共22頁21銳角取多大時(shí),薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,