2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題理科數(shù)學(xué)(天津)卷

2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔天津〕卷數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，共150分，考試用時(shí)120分鐘第一卷〔選擇題共60分〕考前須知：1.答第一卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫在答題卡上2.每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)答在試卷上的無效參考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互獨(dú)立，那么柱體〔棱柱、圓柱〕的體積公式其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一.選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，=〔〕A.B.C.D.2.不等式的解集為〔〕A.B.C.D.3.假設(shè)平面向量與向量的夾角是，且，那么＝〔〕A. B. C. D.4.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)，那么〔〕A.1或5 B.6 C.7 D.95.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，那么a=〔〕A.B.C.D.6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于〔〕A.B.C.D.7.假設(shè)為圓的弦AB的中點(diǎn)，那么直線AB的方程是〔〕A.B.C.D.8.數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線上〞是“為等差數(shù)列〞的〔〕A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是〔〕A.B.C.D.10.如圖，在長(zhǎng)方體中，AB=6，AD=4，分別過BC、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三局部，其體積分別記為，，假設(shè)，那么截面的面積為〔〕A.B.C.D.1611.函數(shù)〔〕的反函數(shù)是〔〕A.B.C.D.12.定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，假設(shè)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，那么的值為〔〕A.B.C.D.第二卷〔非選擇題共90分〕考前須知：1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上2.答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚二.填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分把答案填在題中橫線上13.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件那么此樣本的容量n=14.如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是15.假設(shè)，那么〔用數(shù)字作答〕16.從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有個(gè)〔用數(shù)字作答〕三.解答題：本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.〔本小題總分值12分〕，〔1〕求的值；〔2〕求的值18.〔本小題總分值12分〕從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)〔1〕求的分布列；〔2〕求的數(shù)學(xué)期望；〔3〕求“所選3人中女生人數(shù)〞的概率19.〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F〔1〕證明PA//平面EDB；〔2〕證明PB⊥平面EFD；〔3〕求二面角C—PB—D的大小20.〔本小題總分值12分〕函數(shù)在處取得極值〔1〕討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；〔2〕過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程21.〔本小題總分值12分〕定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足以下條件：，，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)〔1〕令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；〔2〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕當(dāng)時(shí)，求22.〔本小題總分值14分〕橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F〔c，0〕〔〕的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)〔1〕求橢圓的方程及離心率；〔2〕假設(shè)，求直線PQ的方程；〔3〕設(shè)〔〕，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明參考解答一.選擇題：此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算，每題5分，總分值60分1D2A3A4C5A6B二.填空題：此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算，每題4分，總分值16分13.80 14.15.2004 16.300 三.解答題：17.本小題考查兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等根底知識(shí)，考查根本運(yùn)算能力，總分值12分〔1〕解：由，有解得〔2〕解法一：解法二：由〔1〕，，得∴∴于是，代入得18.本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力總分值12分〔1〕解：可能取的值為0，1，2所以，的分布列為012P〔2〕解：由〔1〕，的數(shù)學(xué)期望為〔3〕解：由〔1〕，“所選3人中女生人數(shù)〞的概率為19.本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等根底知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力，總分值12分方法一：〔1〕證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中，EO是中位線，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB〔2〕證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而平面PDC，∴②由①和②推得平面PBC而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD〔3〕解：由〔2〕知，，故是二面角C—PB—D的平面角由〔2〕知，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，那么，在中，在中，，∴所以，二面角C—PB—D的大小為方法二：如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)〔1〕證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且∴，這說明PA//EG而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB〔2〕證明；依題意得，又，故∴由，且，所以平面EFD〔3〕解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，那么從而所以由條件知，，即，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C—PB—D的大小為20.本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力總分值12分〔1〕解：，依題意，，即解得∴令，得假設(shè)，那么，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)假設(shè)，那么，故在上是減函數(shù)所以，是極大值；是極小值〔2〕解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的方程為注意到點(diǎn)A〔0，16〕在切線上，有化簡(jiǎn)得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為21.本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，總分值12分〔1〕證明：由，可得由數(shù)學(xué)歸納法可證由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí)因此，數(shù)列是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列〔2〕解：由〔1〕知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而所以，當(dāng)時(shí)上式對(duì)也成立所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)上式對(duì)也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，〔2〕解：當(dāng)時(shí)22.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)