明-材料力學(xué)彎曲應(yīng)力

黃海明工程力學(xué)附錄A

截面幾何性質(zhì)

截面的幾何性質(zhì)：與截面形狀和幾何尺寸有關(guān)的量。拉壓：扭轉(zhuǎn)：彎曲：A,IP,WP,Iz,Wz——表征截面幾何性質(zhì)的量

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些截面的幾何性質(zhì)？A-1靜矩與形心一、靜矩zyoyzdA積分分別稱為對坐標(biāo)軸x和y的靜矩或一次矩。靜矩的量綱：二.形心回顧理論力學(xué)的質(zhì)心計算公式：zyoyzdA●Czcyc均質(zhì)等厚薄板質(zhì)心位于中面形心靜矩：或如果截面對某軸的靜矩為零，則該軸為形心軸。

形心軸：通過截面形心的坐標(biāo)軸。三、組合截面的靜矩與形心zyoA1A2A3zyoA1A2負(fù)面積法例：

確定下圖所示截面的形心位置60105050yzA1A2解：將截面分為兩部分，利用組合截面的公式：A-2極慣性矩·慣性矩·慣性積zyoyzdAr一、截面對o點(diǎn)的極慣性矩或二次極矩二、截面對z軸或y軸的慣性矩或二次軸矩三、一個恒等式zyoyzdAr五、截面對z軸或y軸的慣性半徑四、截面對z軸與y軸的慣性積六、慣性矩與慣性積的組合截面公式zyoA1A2A3A-3慣性矩與慣性積的平行移軸定理一、慣性矩的平行移軸定理Cy0z0－形心直角坐標(biāo)系Oyz－任意直角坐標(biāo)系二者平行同理:Cy0z0－形心直角坐標(biāo)系Oyz－任意直角坐標(biāo)系二者平行二、慣性積的平行移軸定理例：求下圖所示截面對z方向形心軸的慣性矩yz100100101020201、求全截面形心軸位置2、求對個部分自身形心軸的慣性矩A4A1A2A3z0解：方法一，如圖將截面劃分四塊3、求對全截面形心軸慣性矩方法二：負(fù)面積法。自行完成思考：下列計算是否正確？其中C是截面形心。解：不正確。

因?yàn)?/p>

Z1

不是形心軸Caa：始邊-y軸，為正A-4轉(zhuǎn)軸公式與慣性矩一、轉(zhuǎn)軸公式一、主軸與主慣性矩令主形心軸主形心軸結(jié)論：在以o點(diǎn)為原點(diǎn)的所有坐標(biāo)系中，一定存在一直角坐標(biāo)系，截面對其坐標(biāo)軸的慣性積為零。主軸:滿足慣性積為零的坐標(biāo)軸

主慣性矩:對主軸的慣性矩

主形心軸與主形心慣性矩§6-2純彎曲正應(yīng)力第六章彎曲應(yīng)力§6-1

引言§6-3橫向彎曲正應(yīng)力/切應(yīng)力§6-4梁的強(qiáng)度條件§6-5梁的合理強(qiáng)度設(shè)計§6-6彎拉(壓)組合與截面核心FBCA伽利略：關(guān)于力學(xué)和局部運(yùn)動的兩門新科學(xué)的對話和數(shù)學(xué)證明，1638.一、歷史回顧§6-1

引言建立了“實(shí)驗(yàn)觀測——假設(shè)——分析與推導(dǎo)”的現(xiàn)代科學(xué)研究方法

無中性軸概念——受當(dāng)時實(shí)驗(yàn)觀測的局限

靜力不平衡——19世紀(jì)初才由L.Poinsot以靜力學(xué)公理明確闡明剛體上力系的簡化與平衡伽利略開創(chuàng)性研究的評述1.局限性2.開創(chuàng)性FBCA錯誤原因：下圖公式中S應(yīng)由代替。已意識到中性軸的概念，離正確結(jié)論僅一步之差。錯誤結(jié)論：中性軸位置無關(guān)緊要。馬略特（1680）的研究F設(shè)，以B點(diǎn)為矩心中圖：

下圖：

D為矩心，F(xiàn)BFD

相關(guān)梁應(yīng)力研究歷史：1620，荷蘭I.Beeckman：梁一側(cè)纖維伸長，一側(cè)縮短1678，Hooke:梁凸面纖維伸長，凹面縮短1702，P.Varignon:纖維拉力沿截面曲線變化（同樣忽略壓縮變形）1654-1705，Bernoull:中性軸位置無關(guān)緊要1713，Parent.A:指出應(yīng)靜力平衡，學(xué)說長期埋沒

……1813，Navier:中性軸位置無關(guān)緊要1826，Navier:正確應(yīng)用靜力平衡方程，中性軸過形心三、梁橫截面上的彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力四、對稱彎曲對稱截面梁具有對稱截面，且在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力（或外力的合力）時的受力與變形形式。二、組合變形桿件的一般變形通常可分解為拉壓、扭轉(zhuǎn)與彎曲變形的兩種或三種基本變形的組合。五、純彎曲與橫力彎曲六、對稱純彎曲

梁或梁段各橫截面剪力為零、彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)稱為純彎曲；既有剪力又有彎矩則稱為橫力彎曲。七、問題靜不定性質(zhì)連續(xù)體的靜不定問題八、分析方法從簡單到復(fù)雜，即從對稱純彎曲、到一般橫力彎曲、再到組合變形進(jìn)行研究。連續(xù)體的靜不定問題，綜合幾何、物理和靜力學(xué)三方面進(jìn)行研究剪切彎曲（橫力彎曲）：

AB、CD段純彎曲：BC段QMPPPa(+)(+)(-)PPaaABCDPP請學(xué)生畫出剪力圖/彎矩圖?一、實(shí)驗(yàn)觀測與假設(shè)（動畫）縱向線：成圓弧線,上方縱向線縮短，下方伸長橫向線：保持直線，與橫線正交頂與底部縱、橫線變形比：符合單向受力泊松效應(yīng)單向受力假設(shè)平面假設(shè)：變形后橫截面保持平面，仍與縱線正交2.內(nèi)部變形假設(shè)§6-2

純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1.外部變形觀測3.重要推論縱向纖維縮短縱向纖維伸長

梁內(nèi)存在一長度不變的過渡層－中性層

中性軸⊥截面縱向?qū)ΨQ軸

變形過程中橫截面間繞中性軸相對轉(zhuǎn)動1.幾何方面考察線段ab的變形：變形前：變形后：yz中性軸二、彎曲正應(yīng)力一般公式dqra’b’dx中性層aby2.物理方面由胡克定律和單向受力假設(shè)：y

—坐標(biāo)原點(diǎn)位于中性軸，r

—中性層的曲率半徑中性軸位置？r的大小?3.靜力學(xué)方面MsdA定義中性軸過形心確定r三、最大彎曲正應(yīng)力定義（抗彎截面系數(shù)）正應(yīng)力沿截面如何分布？截面典型截面的慣性矩與抗彎截面系數(shù)

小結(jié)中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應(yīng)力公式：中性層曲率：

應(yīng)用條件：§6-3橫力彎曲時的正應(yīng)力當(dāng)：按純彎曲理論得出的正應(yīng)力計算公式計算剪切彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力誤差不超過1%,滿足工程要求.剪切彎曲時,彎矩不是常量,隨截面位置而變.梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式：例題1：簡支梁受力如圖所示求：m--m截面上點(diǎn)1、點(diǎn)2處的正應(yīng)力180180+M900N.m30601220zy+M900N.m601220zy例題2：梁橫截面為空心圓截面，承受正彎矩60KN作用。試求：橫截面上點(diǎn)a、b和c處的彎曲正應(yīng)力解：由正應(yīng)力計算公式：1505015050例題3：T型截面梁尺寸如圖所示，若該梁危險截面承受正彎矩3.1kn.m。試求：該梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。75125z定形心2截面對中性軸的慣性矩：75125zy150501505075125zy§6-3橫力彎曲時的切應(yīng)力引言：問題的提出19世紀(jì)，鐵路開始發(fā)展，人們很不理解，枕木為什么沿縱向中截面開裂？§6-3

彎曲切應(yīng)力D.JJourawski(1821－1891)是俄國橋梁與鐵路工程師，發(fā)展了現(xiàn)在廣泛應(yīng)用的梁的剪切近似理論§6-3

彎曲切應(yīng)力假設(shè):t

(y)

//

截面?zhèn)冗?，并沿截面寬度均勻分布思?

能否假設(shè)t

(y)沿截面高度均勻分布?一、矩形截面梁(h>b)的彎曲切應(yīng)力由圖示微體平衡：Sz(w)－面積

w

對中性軸

z

的靜矩llll截面靜矩與慣性矩l最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸lAFSmax23=t

截面翹曲與非純彎推廣平截面假設(shè)不再嚴(yán)格成立矛盾解法切應(yīng)力利用純彎正應(yīng)力公式推導(dǎo)純彎正應(yīng)力公式依據(jù)平截面假設(shè)切應(yīng)力非均勻分布引起截面翹曲但當(dāng)l

?h時，純彎正應(yīng)力公式用于橫力彎曲仍然相當(dāng)精確仍然相當(dāng)精確截面彎曲切應(yīng)力的有限元計算當(dāng)

l>>h時，smax>>tmax橫截面上各點(diǎn)假設(shè)：t//側(cè)邊，或t//剪力

t沿截面寬度方向均勻分布D

h/b值對解的影響：F

h/b越大，解越精確。(h/b>2時，足夠精確)

彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較例題4：由三塊木板膠合而成的懸臂梁，如圖所示，試求：膠合面上的1、2點(diǎn)處剪應(yīng)力和總剪力。12P=3KNz150100y11m12P=3KNz150100y11m剪應(yīng)力互等定律：截面對稱：膠合面上的總剪力：z150100y112P=3KN1m例題5:試計算1-1截面A-A位置上1、2兩點(diǎn)處的正應(yīng)力，(2)此截面最大正應(yīng)力,(3)全梁最大正應(yīng)力、最大剪應(yīng)力。12解：12CB12二、對稱薄壁梁的彎曲切應(yīng)力(1).切應(yīng)力方向與分布假定(2)、計算的大小沿截面中心線1.問題分析沿截面厚度均勻依據(jù)：切應(yīng)力互等定理同樣依據(jù)切應(yīng)力互等定理，將橫向截面上的切應(yīng)力計算轉(zhuǎn)化為縱向截面上的切應(yīng)力計算。二、對稱薄壁梁的彎曲切應(yīng)力2.的計算利用剪流概念，可以形象地確定方向3、剪流——截面中心線單位長度上的剪力問題：定性分析下述截面在B點(diǎn)的切應(yīng)力，畫截面剪流的方向例：畫下述薄壁截面剪流，確定剪流方向注意A處剪流的方向。工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力解：§6-4梁的強(qiáng)度條件1.彎曲正應(yīng)力公式梁應(yīng)力公式回顧2.矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力3.對稱薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力梁的強(qiáng)度條件

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：

s,t

聯(lián)合作用強(qiáng)度條件（詳見第9章強(qiáng)度理論）smax：最大彎曲正應(yīng)力；[s]

：材料單向應(yīng)力許用應(yīng)力tmax

：最大彎曲切應(yīng)力；[t]：材料純剪切許用應(yīng)力討論題：1.強(qiáng)度條件通常解決哪幾類問題？強(qiáng)度校核、截面形狀尺寸設(shè)計、確定許用載荷2.如何確定梁的危險截面與危險點(diǎn)？例簡易吊車梁，F(xiàn)=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，選擇工字鋼型號關(guān)于危險截面的討論關(guān)于[s]與[t]兩個強(qiáng)度條件的討論梁的強(qiáng)度條件應(yīng)用問題討論(1)討論：如何確定可能危險截面畫剪力彎矩圖或列剪力彎矩方程分別確定剪力彎矩最大截面結(jié)論：關(guān)于正應(yīng)力的危險截面是梁中截面關(guān)于切應(yīng)力的危險截面是梁端截面注意：正應(yīng)力與切應(yīng)力危險截面不一定重合。討論：如何確定可能危險點(diǎn)分析思路：畫截面應(yīng)力分布圖。可能正應(yīng)力危險點(diǎn)：a,d；可能切應(yīng)力危險點(diǎn)：c?？赡苷龖?yīng)力和切應(yīng)力聯(lián)合作用危險點(diǎn)：b,b’（第九章討論）解：1.內(nèi)力分析

(確定危險截面）2.危險截面應(yīng)力分析

(確定危險點(diǎn)）可能正應(yīng)力危險點(diǎn)：a或d可能切應(yīng)力危險點(diǎn)：c正應(yīng)力的危險截面是梁中截面切應(yīng)力的危險截面是梁端截面3.設(shè)計（選擇）

截面通常按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計截面，由切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核思考：可否按t設(shè)計截面，由s校核，為什么？查教材P367,附錄F型鋼表：選№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切強(qiáng)度№22a滿足要求

矩形截面梁的可能危險點(diǎn)可能危險點(diǎn)：a,d點(diǎn)，單向應(yīng)力；c點(diǎn)，純剪切思考：為什么工字形截面須考慮s,t都較大的b點(diǎn)？小結(jié)：梁強(qiáng)度條件的選用F

細(xì)長非薄壁梁：F

短粗梁、薄壁梁與

M小

FS大的梁：M

有時需考慮s,t

聯(lián)合作用的強(qiáng)度條件梁強(qiáng)度問題的分析步驟：1、內(nèi)力分析——確定危險截面2、應(yīng)力分析——確定危險點(diǎn)3、根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度校核等。例：已知校核梁的強(qiáng)度。討論：材料拉壓強(qiáng)度不相等問題的危險截面與危險點(diǎn)梁的強(qiáng)度條件應(yīng)用問題討論(2)分析：危險截面是否一定是彎矩絕對值最大截面？C截面：彎矩絕對值最大。a點(diǎn)拉應(yīng)力，b點(diǎn)壓應(yīng)力都可能達(dá)危險值。B截面：彎矩絕對值不是最大，但b點(diǎn)拉應(yīng)力可能達(dá)危險值。畫剪力彎矩圖解：計算截面形心與慣性矩為校核梁的強(qiáng)度，需計算B截面a點(diǎn)的拉應(yīng)力與b點(diǎn)壓應(yīng)力，C截面b點(diǎn)拉應(yīng)力C截面：B截面：·

強(qiáng)度足夠討論：將截面b端換成朝上是否合理？（1）矩形截面（2）圓形截面討論：對于矩形與圓形截面，分析有何不同？梁的空間兩向?qū)ΨQ彎曲問題討論例：已知，校核圖示懸臂梁的強(qiáng)度。

在H點(diǎn)，兩外力引起的最大拉應(yīng)力疊加，在H’點(diǎn)，兩外力引起的絕對值最大的壓應(yīng)力疊加，故為危險點(diǎn)。解：對于矩形和圓形截面，危險截面均為A（1)矩形截面，危險點(diǎn)分析：解：（2）圓形截面危險截面亦為A思考：下述解答是否正確？

判斷關(guān)鍵：兩向最大應(yīng)力是否能疊加？圓形截面分析：

力F1最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面頂端，F(xiàn)2最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面右側(cè)，不能疊加，故不正確！問題研究：最大應(yīng)力不能疊加，怎么辦？O圓的關(guān)于任意直徑的對稱性，彎矩可以合成最大應(yīng)力發(fā)生在圓截面的右上一點(diǎn)§6-5梁的合理強(qiáng)度設(shè)計引言：梁合理強(qiáng)度設(shè)計的理論依據(jù)與設(shè)計思路合理設(shè)計基本原則增大W、Iz與降低M中國古代建筑的斗拱結(jié)構(gòu)讓材料遠(yuǎn)離中性軸：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等一、梁的合理截面形狀增大W、Iz措施：為防止切應(yīng)力破壞，腹板也不能太薄通過截面設(shè)計充分利用材料力學(xué)性質(zhì)：如脆性材料拉壓強(qiáng)度不相等的性質(zhì)截面等強(qiáng)設(shè)計脆性材料梁由Iz與Wz的區(qū)別看強(qiáng)度與剛度設(shè)計的不同去掉陰影部分可提高強(qiáng)度，不能提高剛度二、變截面梁與等強(qiáng)度梁（與載荷分布匹配的合理截面形狀）－彎曲等強(qiáng)條件等強(qiáng)度梁－各截面具有同樣強(qiáng)度的梁－剪切等強(qiáng)條件變寬度等強(qiáng)度梁工程應(yīng)用實(shí)例變寬度等強(qiáng)梁不方便工程應(yīng)用，切成條后沿高度疊放變寬度等強(qiáng)度梁工程應(yīng)用實(shí)例——汽車鋼板彈簧三、梁的合理受力（降低彎矩M）

a=?[F]最大.Q

合理安排約束Q

合理安排加載方式—盡量分散載荷Q

加配重趣味小問題：兩人帶了一塊長度超過溝寬的板，但一人在溝中點(diǎn)時的彎矩已剛好超過板強(qiáng)度，這兩人能想出辦法過溝嗎？辦法：一人作配重

配重降低最大彎矩作用分析laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+--laaFlaMPaPa-答:位置1合理。例1：從拉壓強(qiáng)度考慮,圖示鑄鐵工字梁截面,跨中腹板鉆一個孔,哪一個是合理位置?問題分析：因?yàn)殍T鐵抗壓不抗拉，合理的位置是使最大拉應(yīng)力減小，最大壓應(yīng)力可增加。應(yīng)用三例例2：中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析例2：中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析例3：在成都132廠11K車間里，技術(shù)員和工人正面臨著一個問題，如何用現(xiàn)有的起吊重量只有5T的吊車吊起10T的重