數(shù)學物理方法-優(yōu)第7章

第二篇數(shù)學物理方程1.這些問題的幾種常用解法這往往導致以時間為自變數(shù)的常微分方程(質(zhì)點的運動方程、電路微分方程但是以及它怎樣隨著時間而變化這些問題中的自變數(shù)就不僅僅是時間,而且還有空間坐標解決這些問題在空間中的分布規(guī)律和在時間中的變化規(guī)律例如在半導體擴散工藝中在這兩種情況下定義邊界條件例如一根在薄刀背敲擊下發(fā)出比較刺耳另一根在寬錘敲擊下或手指的彈撥下發(fā)出比較和諧,定義初始條件不過是物理量u它是物理量uu在任意地點(x,y,z)和任意時刻t的值u(x,y,z,t).它的直接表現(xiàn)只能是u首先當然要確定研究哪一個物理量它們分別屬于三種類型,對應著數(shù)學的三類偏微分方程 實際上振動總是到整根弦,弦的各處都振動起來就取這直線作為x軸(圖7-1).把弦上各點的橫向位移記作這樣,橫向位移u是和t的函數(shù),記作要推導的就是u機械運動的基本定律是質(zhì)點力學的所以F=ma對每個質(zhì)點即每個小段可以應用拿區(qū)間(x,x+dxBB它就只受到鄰段AC的拉力T1和弦的每小段都沒有縱向(即x所以作用于B的縱向合力應為零,弦的橫向加速度記作utt(這是記號2ut2按照F=ma,小段B的縱向和橫向運動方程分別為T2cosα2T1cosα1 ds為小段B的弧長,

這時α1,α2為小量, 如果忽略α2,α2以上的高階小 1 cosα11α2/2!1,cosαsinα1α1α3/3!α1tanα1,sinα2α1

ds

1(ux)2dxdx(其中uxuxtanαα又tanα1ux|x,tanα2ux這樣,T2cosα2T1cosα1 T2sinα2T1sinα1 簡化 TT簡化 T2ux|xdxT1ux|xuttρdx.因此T2T1X在振動過程中的每個時刻都有長度ds即長度ds所以作用于B弦中張力既跟x無關,又跟t無關,T2ux|xdxT1ux|xuttρdx(7.1.4)成為T(ux|xdxux|x由于dxx(其中uxxux2ux22x這樣,BρuttTuxx0其實,作為代表的B所以方程ρuttTuxx07.1.5)適用于弦上各處,對于均勻弦,ρρuttTuxx07.1.5)通常改寫為utta2uxx0其中a2T/p.以后會看到a就是振動在弦上的速度質(zhì)點的運動方程也就是以時間t而弦的位移u是時間t和坐標x兩個自變數(shù)的函數(shù),弦的運動方程那么是以x和t質(zhì)點之間的牽連反映在uxx每單位長度弦所受橫向力F(xt),那么應將T2

T1sinα1

T2sinα2T1sinα1F(xt)dx(ρds)uttutta2uxx0(7.1.6)修改為u

f(x,t). 式中f(x,tF(x,tρ為tx這里要推導的是桿上各點沿桿長方向的縱向位移u(x,t) 拿區(qū)間(x,x+dxB7-2在振動過程中,B兩端的位移分別記作u(x,t)和u(xdxtudu|tB段的伸長即是u(xdxtu(xtdu|tu而相對伸長那么是[u(xdxtu(xtdxdu|t/dxuxdxdxu相對伸長ux還隨地點而異在B分別是ux|x和ux|xdx.如果桿的材料的楊氏模量是根據(jù)胡克定律,BEux|x和Eux|xdx于是,寫出B段的運動方程ρ(Sdx)uttESux|xdxESux|xESux式中ρ為桿的密度,SSdxputtEuxx0對于均勻桿,E和ρputtEuxx0.(7.1.8)可以改寫成u 0,(7.1.9)其中a2E/ρ 這跟弦振動方程utta2uxx0(7.1.6a也就是縱振動在桿中的速度桿的受迫縱振動方程也跟弦的受迫振動方程utta2uxxf(xt(7.1.7只是其中F(x,t)____7-取x與x+dx分別記作R,G,C和L.我們所研究的小段可以看作是分立的電阻Rdx和自感Ldx串接路中,分立的電容Cdx和漏電電阻(1/G)dx跨接在兩線之間,7-還有兩線之間的電容Cdx這是由于導線電阻Rdx和兩線之間的電感Ldx上的感生電動勢(Ldx)j 即jxGvCvtvxRjL亦即

j(GC)v

(RLt)Jxv以x作用于(7.1.11的第一式,以GC/t)作用于第二式,兩者相減就消去v,得j(x,t)的方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0以(RLt作用于

j(GC)v

(7.1.11 (RLt)Jxv以/x作用于其第二式兩者相減就消去入得v(x,t)的方程LCvttvxx(LGRC)vtRGv0導線電阻RGLCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12LCvttvxx(LGRC)vtRGv0.jtta2jxx0和vtta2vxx0其中a21LC14.23,1/LC方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0和LCvttvxx(LGRC)vtRGv0以及它們的特例vtta2vxx0(7.1.14)傳輸線方程vtta2vxx07.1.14)跟弦振動方程utta2uxx07.1.6桿縱振動方程(7.1.9是完全一樣,xyxy膜上各點的橫向位移記為u(x,y,t).如果在膜上劃一直線(參看圖7-4a),直線上任一點的張力T記張力Txyα7-α0所以,張力T的橫向分量TsinαTtanαTunTxy即直線在xy平面的投影的法線方向,拿x與x+dx之間,y與y+dy7-4b先看x和x+dx張力的橫向分力分別是Tux|x和Tux這樣,這小塊膜在x和x+dx[Tux|xdxTux|x]dy同理,在y和y+dy兩邊所受橫向作用力是用ρ即ρuttT(uxxuyy02/x22/y2叫作二維拉斯算符,通常記作或者為了強調(diào)二維而記作

7.1.15puttTΔ2uρuttT(uxxuyy0(7.1.15utta2Δ2u0式中常數(shù)a2T/ρ,a為膜上振動的速度記單位面積上的橫向外力為那么得薄膜的受迫振動方程utta2Δ2uf(xy,t其中f(xytF(xytρ流體力學中研究的物理量是流體的流動速度v、壓強p和,密度ρ相應地要研究空氣質(zhì)點在平衡位置附近的振動速度vp和密度ρ這種疏密相間狀態(tài)向周圍的形成聲波記空氣處于平衡狀態(tài)時的壓強和密度分別為p0并把聲波中的空氣密度相對變化量(ρρ0)/ρ0記為sρρ0,ρρ(1ρ0ρ0由于空氣的振動速度|v|聲速,v是很小的量,且假定：聲振動不過分劇烈,s也是很小的量在不受外力的情況下,略去v和s的二次以上的小量可以導出聲波方程(其推導本書從略sa2Δs0(a2γρ0)(7.1.18 其中γ為空氣定壓比熱容與定容比熱容的比假設在聲波過程中,空氣是無旋的,即v由于對任何存在二階偏導數(shù)的標量函數(shù)φ(xy,z),有φ總可以找到一個標量函數(shù)u(x,y,z,t滿足v(x,y,z,t)u(x,u稱為速度勢進而可得u從的聲波方程為ua2Δu0(a2γρ0ρ ρ0跟方程

a2Δs0(a2γρ0

7.1.18)形式相同 (六)電磁波方在國際單位制下,方程為Etta2Δ3E0和Htta2Δ3H0其中a21μ0ε0光速平方E、H為真空中電場強度和磁場強度,(七)擴散方這種現(xiàn)象叫作擴散擴散現(xiàn)象廣泛存在于氣體、液體和固體中制做半導體器件就常用擴散法把硅片放在擴散爐里,雜質(zhì)就向硅片里面擴散這種只沿某一方向進行的擴散叫作一維的擴散,在擴散問題中研究的是濃度u在空間中的分布和在時間中的變化u(x,擴散運動的是濃度的不均勻濃度不均勻的程度可用濃度梯度u表示,擴散運動的強弱可用擴散流強度q,即單位時間里通過單位橫截面積的原子數(shù)或分子數(shù)或質(zhì)量表根據(jù)實驗結(jié)果,擴散現(xiàn)象遵循的擴散定律即斐克定律是qDu.或?qū)懗煞至啃问絨Du

,Du,qDu

比例系數(shù)D叫作擴散系數(shù),不同物質(zhì)的擴散系數(shù)備不一樣拿x與x+dx之間,y與y+dy之間,z與z+dz7-5先單位時間內(nèi)x方向的擴散流在左表面,流量qx|xdydz是流入平行六面體的；在右表面,流量qx|xdxdydz那么是流出的,由于dx取得很小,q q|qxdx.出入相抵x x 單位時間內(nèi)x方向凈流入流量(qx|xdxqx|xx(Dyz單位時間內(nèi)y方向凈流入流量

(D 單位時間內(nèi)z方向凈流入流量

(D 即udxdydvar(Du

(Du)

(D

其中ut于是得三維擴散方程u[(Du

(Du)

(Du)]0.

如果僅在x那么一維擴散方程為uta2uxx0(a2D現(xiàn)在說一說有源或匯的擴散問題,兩種情況擴散源的強度(單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù))為F(xy,z,t與濃度u無關,

[(Du)

(Du)

tuta2ΔuF(x,y,z,t)(a2D).擴散源的強度與濃度u例如235U原子核的鏈式反應使中子數(shù)增

中子濃度增殖的時間變化率為b2ub2即與中子濃度u一維和三維擴散方程應分別修改為uta2uxxb2u

ua2Δub2u0uueλtλ(λ00即u02ueλτ所以λ(ln2τ00于是uue(ln2)t/τ0對t但比例系數(shù)別修改為λ(ln2τu ln2u相應地,一維和三維擴散方程應分別修改為 2

tuaΔut

τu在熱傳導問題中研究的是溫度在空間中的分布和在時間中的變化熱傳導的是溫度的不均勻溫度不均勻的程度可用溫度梯度u示,熱傳導的強弱可用熱流強度q,即傅里葉定律是qku,比例系數(shù)k可導出沒有熱源和熱匯的一維和三維熱傳導方程

(ku)0,

[(ku)

(ku)

(ku)]0,

其中c是比熱容,ρ對于均勻物體,k,c,p上式成為uta2uxx0,(a2k

ua2Δu 跟擴散方程uta2uxx0(a2D熱源強度(單位時間在單位體積中產(chǎn)生的熱量)為F(x熱傳導方程cρu(ku)0,tcρu[(ku)

(ku)

(ku0,(7.1.32應修改為

(ku)F(x,t),

[(ku)

(ku)

(ku)]F(x,y,z,t).

cρu(ku)F(x,t), 和

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36

uta2uxx (a2k

ua2Δuf(x,y,z, 其中f(xt)F(xtcρ,f(xyzt)F(xyzt如果擴散源強度F(xy,z空間中各點的濃度不再隨時間變化,即ut如D是常數(shù),有DΔuF(xy,z(7.1.39這是泊松方程,如沒有源,那么是拉斯方程Δu0.(7.1.40)DΔuF(xy,z(7.1.39Δu07.1.40如果熱源強度F(xy,z空間中各點的溫度不再隨時間變化,即ut0,

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36成為(kuF(xy

如kkΔuF(xyx(7.1.41也是泊松方程,如沒有熱源,也簡化為拉斯方程Δu0.kΔuF(xyx(7.1.41)和Δu0(7.1.42高斯定理可以表述為：穿過閉合曲面向外的電場強度通量等于閉合曲面所圍空間T中電量的1/ε0ε0為真空介電常數(shù)EdS1 ε0EdV1 ε0上式對任意的空間TE1ρ.E是無旋的,即E0(7.1.44)E1ρ7.1.43E07.1.44)DεoE,B0Dρ和EBt由E1ρ(7.1.43存在電勢函數(shù)V(x使EV將EV.(7.1.45)代入E1ρ(7.1.43ΔV1ρ 這就是靜電場的電勢函數(shù)VE是矢量,而V求解方程ΔV1ρ(7.1.46如果在靜電場的某一區(qū)域里沒有電荷,即ρ那么電勢函數(shù)V的靜電場方程ΔV1ρ在該區(qū)域上簡化為拉斯方程ΔV0其中EIρ方程中出現(xiàn)關于空間坐標x如果單位長度桿上外加橫向力是F(x那么相應的方程為utta2uxxxxF(x,tρf(x,t其中f(x,t)微觀粒子在勢場V(xy,z,t中,波函數(shù)u這里用u滿足薛定諤方程

勢能V不顯含時間t對于定態(tài),方程的

ΔuVu(7.1.65)簡化為定態(tài)薛定諤方程

ΔuVuEu對于隨著時間而發(fā)展變化的問題對于輸運過程(擴散、熱傳導u的初始分布(初始濃度分布、初始溫度分布).因此,初始條件是u(xyzt|t=0φ(xyz)(7.2.1)其中φ(xy,z)是已知函數(shù)對于振動過程(弦、桿、膜的振動,較高頻率交變電流沿傳輸線u(xyzt|t0φ(xyz(7.2.2)是不夠的ut(xyzt|t0ψ(xyz從數(shù)學的角度看,t這個自變數(shù)而言輸運過程的泛定方程只出現(xiàn)一階的導數(shù)ut是一階微分方程所以只需一個初始條件u(xyzt|t=0φ(xyzutt是二階微分方程,需要兩個初始條件u(xyzt|t0φ(xyz)(7.2.2)_和ut(xyzt|t0ψ(xyz_例如,l而兩端固定的弦h(7-然后放手任其振動所謂初始時刻就是放手的那個瞬間初始速度顯然為零,即ut(xt|t00,至于初始位移如寫成u(xt|t0那就錯了,h只是弦的中點的初始位移,其他各點的位移并不是h.考慮到弦的初始形狀是由兩段直線銜接而成初始位移應是x的分段函數(shù)u(x,t) (2h/

(在[ l/2]上

l]上自由輸運就衰減到可以認為已沒有外加力只是由于初始偏離或初始速度引起的振動叫作自由振動上節(jié)推導自由振動方程時沒有計及阻尼作用(3要求計及阻尼作用),初始條件引起的自由輸運或自由振動衰減到可以認為已我們完全可以忽略初始條件的影響這類問題也就叫作沒有初始條件的問題用表示邊界,第二類un

第三類(uHun

f(M,t),其中M代表區(qū)域邊界f,H例如長方體的長、寬、高分別為a,b,c各自沿xyz如果Mx軸的表面x=0x=a上,M點的x坐標已確定,于是已知函數(shù)f(M,t)僅是yz,t的函數(shù),比待解函數(shù)u(rt少一個自變數(shù),例如弦的兩端x=0x=l那么邊界條件是u|x=00,u|x=l=0.x=auf(t)那么該端點的邊界條件是u(xt|xaf(t7.2.7特別是如果該端點處于恒溫u0那么邊界條件成為u(xt|xau0硅片的邊界就是它的表面x=0和x邊界上的物理狀況則是雜質(zhì)濃度坫保持為常數(shù)u(x,t)|x0N0,u(x,t)|xl例如作縱振動的桿的某個端點x=a根據(jù)胡克定律,該端點的張應力Eun|xa與外力的關系為(Eun|x=aSf(t其中Sf(t0,則un|xa當f(t0對x=l端點,ux|xlf(t對x=0ux|x=lf(t如果桿的某個端點x=a那么根據(jù)熱傳導定律,邊界條件為kun|x=af(t如果熱流f(t是流入,那么邊界條件為kun|xa如果端點絕熱,那么un|xa如果桿的某一端點x=a即桿端和周圍介質(zhì)(溫度θ從“自由冷卻”這個條件既不能推斷在該端點的溫度u也不能推斷在該端點的溫度梯度ux的值,但是,自由冷卻規(guī)定了從桿湍流出的熱流強度(kunu|xaθ即(uHun|xaθ(Hk對于兩端x=0x=l7-在x=ln就是x所以自由冷卻條件可表為(uHux|xl在x=0n就是-x所以自由冷卻條件可表為(uHux|x0如果桿端跟周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)h遠遠大于桿的熱傳導系數(shù)那么Hkh上述邊界條件 為第一類邊界條件u|x0θu|Ul如果某一端點x=a從“彈性連接”既不能推斷在該端點的位移u也不能推斷在該端點的相對伸長ux的值, 性力(ESun等于彈性連接物中的彈性恢復力(-ku,k于是有(uESu) n其中f≡0的邊界條件又叫作齊次的,桿的一端掛有重物而作縱振動(圖7-10).桿端所受的力有重力(mg)和慣性力(-mutt)所以ESux|xlmgmutt|xl在這個邊界條件中不僅出現(xiàn)對x的偏導數(shù)ux還出現(xiàn)了對t的偏導數(shù)的utt以弦振動為例,就x弦振動方程中出現(xiàn)二階導數(shù)uxx,是二階微分方程,桿的橫振動方程中出現(xiàn)四階偏導數(shù)uxxxx,例如,端點x=a7-11a),即u|xa0,ux|xa0又如端點x=a7-即u|xa0,uxx|xa0(支撐端即uxx即uxx|xa0,uxxx|xa0(自由端例如,長為l車子以速度v07-x=0端固定而x=1可用"u|x00ux|xl0而想到什么x=0端在突然停止時有某個沖力,x=l既然"u|x00"ux|xl0能夠確切說明x=0端固定而x=l端自由,如果在某一端點x=a流的強度q是已知的,即Dun|xaq.uta2uxxqcρ.其強度處處是q.這樣,有限長的真實的弦抽象成的弦在1100℃左右,用擴散法制做超導材Nb3Sn線,硅片或鈮芯的厚度l很小,不到一毫米,如果著重研究邊界x=0棚、磷、錫原子來不及達到另一邊界x=l,x=l我們不妨認為不存在另一邊界認為硅片或鈮芯從x=0_構(gòu)成半的問題_如果有橫向力F(t)集中地作用于xx07-在折點x0,斜率ux的左極限值ux(x00t跟右極限值ux(x00t不同,即ux有躍變,因而uxx不存在,弦振動方程utta2uxx0在這一點沒有意義,這樣,我們只能把xx0和xx0兩段分別考慮,對于xx0的一段,無法列出xx0處的邊界條件對于xx0的一段,無法列出xx0處的邊界條件；xx0即u(x00tu(x00t7.2.9其次,在折點,力F(t)應同張力T即F(tTsinα1Tsinα20.由于sinα1tanα1ux(x00sinα2tanα2ux(x00,上式即Tux(x00tTux(x00tF(t).(條件u(x00tu(x00t(7.2.9和Tux(x00tTux(x00tF(t).(7.2.107.4不必詳細過渡區(qū)上的變化情況把所有自變數(shù)(把所有自變數(shù)(包括空間坐標和時間坐標)依次記作x1,x2 , i二階偏微分方程如果可以表為aijuxxbiuxicufij=1 其中aj,bi,c,f只是x1,x2 ,xn的函數(shù),就叫作線性的方程7.1如f0那么方程稱為齊次的,否則叫非齊次的,從7.1導出的各方程來看,

ln2u例如,擴散方程utauxxbu

(7.1.29

(7.1.30ua2Δub2u

t uaΔut

τu本書將經(jīng)常疊加原理先研究兩個自變數(shù)x和ya11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0,其中假定a11,a12,a22b1,b2,c,f只是x和y我們假定a11,a12,a22bl,b2,c,f試作自變數(shù)的代換xx(ξ,η即ξξ(xy),y(ξ,η)(x,

ηη(x,ηη(x,通過代換ξξ(xy(7.3.3u(xηη(x,這里,還應把方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)改用新的自變數(shù)ξ和η為此,作如下計算uxuξξxuηηx,uxx(uξ2uξ

uξξyuηηyuξ)(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηx ξ ηξx ηη η ξξ ξηx ηη ξ η

(uξξξxξyuξηξxηyuξξxy)(uηξηxξyuηηηxηyuηηxy)uξξξxξyuξη(ξxηyξyηx)uηηηxηyuξξxyuηηxy

(uξ2uξ

u )(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηy ξ ηξy ηη η把(7.3.4)和(7.3.5)代入(7.3.2)

ξξ ξηy ηη ξ η采用新自變數(shù)ξ和η后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0A11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2其中系數(shù)

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6仍然是線性的,從(7.3.7可以看到,如果取一階偏微分方程az22azzaz20(7.3.8),它的一個特解作為新自變數(shù)11 12x 22那么aξ22aξξaξ20,從而 11 12x 22 如果az22azzaz20(7.3.8的另一特解作為新自變數(shù)11 12x 22那么A22這樣,方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6一階偏微分方程az22azzaz20(7.3.811 12x 22

az22azzaz20(7.3.8)可改寫為a(zx)22a(zx

0. 12x 22

如果把z(x,y)=常數(shù)當作定義隱函數(shù)y(x那么dydxzx從而a(zx)22a(zx

0.(7.3.9正是a(dy)2

dy

11

常微分方程a(dy)2

dy

11 12 叫作二階線性偏微分方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)特征方程的一般積分"ξ(xy常數(shù)"和"η(xy)=特征方程a(dy)2

dy

11

12a12

a2a

1122 a12 a2a 1122, 通常根據(jù)(7.3.127.3.137.3.2)a2a

11a2a

0,拋物型. 11a2a

0, 11方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)的系數(shù)a11,a12和a22可以是x和yA11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2用

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 容易驗證A2A (a2aa)(ξηξη)2 11 11 x y 11 a12 a2 11

11 a 11

a2a

,(7.3.13ξ(xy)=常數(shù),η(x,y 取ξξ(xyηη(x,y)作為新的自變數(shù),那么A110A220從而自變數(shù)代換后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[B

B

1 2

α1(ξ在作自變數(shù)代換ξαβ,即 ηα

1(ξ2那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2Cu2F]

如弦振動方utta2uxx0(7.1.6)和u

f(x,

桿的縱振動方程utta2uxx0電報方程

a12

a2a

1[B B F7.1.14) 11

ξη

ξ

2η

由于a2a

11 11特征方程

a12

a2a

7.3.12

a

(7.3.13 11 11dya12, 它們只能給出一族實的特征線ξ(xy常數(shù)那么ξξ(xy)(7.3.9取ξ作為新的自變數(shù)

取與ξxy)無關的函數(shù)ηη(x,ya11a22將ξxξydydxa12a11a11a22

代入 ξ2[a(x)2 xa] y[a2

a] 11

12 ξx

η)aη]ξyηy[a2

a] ξy[a11(

)

22

ηx2

ηy[a11(η

12

a22]ηy[a11(η) a22 可見,只要取η(x,y)使ηx/ηy 即ηdya12 則A220A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[BuB

A 1 2A 11 a 11

a2a

(7.3.12

a

,(7.3.13 11各給出一族復數(shù)的特征線ξ(xy 11而且ηξ*取ξξ(xy和ηη(xyξ*(xy)作為新的自變數(shù)那么A110A220從而自變數(shù)代換后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6為 1[B

B

1 2這方程不同于 1[B

B

1 2αReξ1(ξ通常又作代換ξαiβ,即 ηα

βImξ

1(ξη)那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2CuF]

(7.3.18或(7.3.19是橢圓型方程的標準形式平面穩(wěn)定場方程如穩(wěn)定濃度分布DΔuF(xy,z穩(wěn)定溫度分布kΔuF(xyx靜電場方程ΔV1ρ(7.1.46和ΔV0旋恒定電流場方程(7.1.54)和無旋定常流動方程(7.1.61和(7.1.62等在二維情況下,都是 1

B)ui(BB

2CuF(7.3.19形式的橢圓型方程

(三)n 線性方程aijuxxbluxcuf0i j=1 試作自變數(shù)的代換ξkξk(x1,x2 ,xn),k 代換的雅可俾式(ξ1,ξ2 ,ξn)(x1,x2 ,xn ,xn)成為ξ1,ξ2,,ξ的函數(shù)n 這里,還應把方程aijuxxbluxcuf

7.3.1改用新的自變教ξk表出i j=1 n n

u(ξ

k

uξξ(ξk)x(ξl

uξ(ξk)x i

k1

k

in 把(7.3.21代入aijuxxbluxcuf0i j=1

得到采用新自變數(shù)ξ1,ξ2,,ξn后的方程Akluξ

CuF0,n n

a(ξ)(ξ

k n=1 n其中系數(shù)

j1

k

x

Bkbi(ξk

aij(ξk)x

ij1 方程Akluξ

CuF0(7.3.22仍然是線性的k k=1 值得注意的是n二階偏導數(shù)的系數(shù)變換公式恰恰是二次齊次式aijyiyj(7.3.24)j1nl在自變數(shù)代換(y1,y2 ynη1,η2 ηn)yi(ξk)xη(7.3.25)lkn二次齊次式aijyiyj(7.3.24)可以用適當?shù)拇鷵Q而對角化j1 在相應的代換下,方程Akluξξ

CuF0(7.3.22)即Aij0(i

k k=1 AA

1或二次齊次式對角化時有一條慣性定律An之為正或為負或為零的個數(shù)亦各為一定,所有n個Att0且全為同號有某些Att所有n個 0,其中n1個同號,另一反號所有n個 0,兩種符號都不止一個

橢圓型;拋物型;雙曲型;超雙曲型 ux

CuF0i ux

CuF0l ux

uxx,

CuF01 i uxx

ux

CuF0超雙曲型i i 量子力學的薛定諤方程(7.1.65雖是拋物型的,但于系數(shù)中有i 1所以并不代表輸運過程,應當除非自變數(shù)的個數(shù)n二階線性偏微分方程(7.3.1)只能逐點(x1,x2, ,xn)化為上述標準形式,即使方程在某個區(qū)域上各點屬于同一類型一般還是不能在該區(qū)域上各點同時化為標準形式道理是這樣的：非“對角的”系數(shù)Aij)有n(n1)(7.3.27個 n(n-1)/2個條件n)可供選擇的代換ξk(kn)

如果n>3,那么(7.3.23總是小于7.3.27),因而不可能選擇一種代換使所有非“對角的”系數(shù)全為零n=3,那么(7.3.28等于7.3.27),可選一代換便所有非“對角的”系數(shù)為零,因此,必須n2,才有可能在某一區(qū)域上(四)如果線性方程的系數(shù)都是常數(shù)那么按上述方法化成標準形式之后還可以進一步簡化以傳輸線方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12或LCvttvxx(LGRC)vtRGv0(7.1.13為試作函數(shù)變換u(xt)v(xt),u(xt)eλxμtv(xt),(7.3.30)λμ是尚待確定的常數(shù), eλxμt(vλv) t

eλxμt

uLt (vu2μvt把u(xteλxμtv(xt(7.3.30和(7.3.31代入LCu

RGu0約去公共因子eλxμt

得LCvttvxx2λvx[2μLC(LGRC)]vt[LCμ2λ2μ(LGRCRG]vλ0μ(LGRC2LC,即u(xte那么一階偏導數(shù)vt和vx的項

v(x,方程簡化為

tt

(LGRC)2v0.然后利用附加條件確定這些常數(shù)(一)試研究均勻弦的橫振動方程utta2uxx0均勻桿的縱振動方程utta2uxx0vtta2vxx07.1.14它們具有同一形式

即aa)u0 (1方程(aa)u

(7.4.1)的形式提示我們作代換xa(ξηtξη

x

a ξ ξ tx

(a η

η

方程(aa)u0(7.4.1)就成為(2ξη)u x

ηxηx把代換(7.4.2)修改為t

1(ξη),

即ξx方程(7.4.1

07.4.3)先對η積分,得uf(ξ(7.4.4其中f再對ξ積分,就得到通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(ηf1(xat)f2(x其中f1和f2都是任意函數(shù)式uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η就是偏微分方程(aa)u0(7.4.1 通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5具有鮮明物理意義,以f2(xat)而論,改用以速度a沿x正方向移動的坐標軸X,T那么新舊坐標和時間之間的關系為XT而f2(xat與時間T亦即是隨著動坐標系以速度ax

f1(xat)是以速度ax這樣,偏微分方程(a

a)u0.(7.4.1)描寫以速度a向x正負兩個方 的行波(2)函數(shù)f1與f2的確

通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5中函數(shù)f1與f22設初始條件是u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x以一般解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5 f(x)f(x) 即f(x)f(x) ψ(ξ)dξf(x)f(x2ax f(x)1φ(x)1 [f(x)f(x1122ax2 f2(x) φ(x)1112x0 [f1(x0)f2(x02即得滿足初始條件u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x22a設初速為零即ψ(x于x(x1x222u07-14a

xx1

xx1x2 0x φ(x)

xx2x1x

x1

2xx2 2 (xxlxx2達朗貝爾公式(7.4.7給出u(xt1φ(xat1φ(x 即初始位移(7-l4b最下一圖的粗線所描畫)分為兩半(該圖細線a移動(7-14b由下而上各圖的細線所描畫_這兩個行波的和(7-14b由下而上各圖的粗線所描畫)給出各個時刻的波形_作為第二個例子設初始位移為零即φ(x)而且初始速度ψ(x)也只在區(qū)間(x1x2上不為零

[x不在(x,x)上 達朗貝爾公式u(xt1[φ(xatφ(xat

xatψ(ξ)dξ.給出u(xt1xatψ(ξ)dξ

xat2a-

2aΨ(xatΨ(xat這里Ψ(x指的是(7- (xx1Ψ(x) xψ(ξ)dξ1(xx)φ(xxx(xx)φ(x 于是,作出Ψ(x和Ψ(x兩個圖形a分別向左右兩方移動(7-16由下而上各圖的細線所描畫兩者的和(7-16由下而上各圖的粗線所描畫)就描畫出各個時刻的波形7-14b中,波已“通過”的地區(qū),在圖7- 中,波已“通過”的地區(qū),雖然振動 (二)半無限長的弦具有一個端點先utta2uxx0,0x

___u|t0___ut|t0

0xu|x00.注意初始條件(7.4.9)里的φ(x和ψ(x)必須宗量x0才有意義,這是因為在x<0的區(qū)域上弦并不存在,也就談不上初始條件__5.2不妨把這根半無限長弦當作某根無限長弦的x0的部分,按照u|x00.(7.4.10),這無限長弦的振動過程中,x=0必須保持