上海市浦東新區(qū)教育學(xué)院實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

上海市浦東新區(qū)教育學(xué)院實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則=（

）

A．-2i

B．2i

C．-i

D．i參考答案：A略2.圓的圓心到直線的距離

（

）

A．2

B．

C．3

D．參考答案：C3.設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A畫出可行域，由題意只需要可行域的頂點(diǎn)在直線的下方即可，得到，解得.故選D.4.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù)y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的圖象，把平移過程逆過來可得結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù)y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的圖象，故要得到函數(shù)y=sin2x的函數(shù)圖象，可將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向左至少平移個單位即可，故選：B．5.將單位正方體放置在水平桌面上（一面與桌面完全接觸），沿其一條棱翻動一次后，使得正方體的另一面與桌面完全接觸，稱一次翻轉(zhuǎn)．如圖，正方體的頂點(diǎn)，經(jīng)任意翻轉(zhuǎn)二次后，點(diǎn)與其終結(jié)位置的直線距離不可能為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】一是借助于中間值1，二是化為同底數(shù)的對數(shù)比較可得．【詳解】，，，∴，即．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)和冪的比較大小，比較大小時，同是對數(shù)的能化為同底數(shù)的化為同底數(shù)，同是冪的化為同底數(shù)或者化為同指數(shù)，不能轉(zhuǎn)化的借助中間值如1，0等等比較．8.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x＝－2的距離之和等于5，則這樣的直線

()A．有且僅有一條；

B．有且僅有兩條；C．有無窮多條；

D．不存在；參考答案：9.

設(shè)，則二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為

A.-20

B.20

C.-160

D.160參考答案：C10.設(shè)是空間兩條直線，，是空間兩個平面，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．當(dāng)時，“”是“∥”成立的充要條件

B．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時，“”是“”的必要不充分條件D．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)x，恒有，則______．參考答案：【分析】由函數(shù)取得最值的條件，可求得，再由三角恒等變換求的值.【詳解】對任意實(shí)數(shù)，恒有，則為最小值，為最大值.因?yàn)?，而，所以?dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值.所以.所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值和三角恒等變換，解題的突破口是由不等式恒成立得出函數(shù)的最值.12.已知則在方程有實(shí)數(shù)根的條件下，又滿足m≥n的概率為

參考答案：略13.橢圓兩焦點(diǎn)之間的距離為

．參考答案：14.在△ABC中，，，當(dāng)角A最大時，則△ABC的面積為

▲

．參考答案：315.一個三棱錐S—ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度均為1，已知該三棱錐的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積為 。參考答案：

答案:

16.已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：（

）略17.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為

，的值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓的圓心C。

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)且|PA|=|PB|，求直線的方程。參考答案：（1）由圓C的方程可知：圓心C（1，-2）

———2分設(shè)橢圓的方程為

橢圓過圓心C，可得：另，且。解得：即橢圓的方程為：

————6分（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元可得：

設(shè)法一：設(shè)AB中點(diǎn)M其中，

————8分若，則有：，解得：

————10分若，顯然滿足題意。故直線的方程為：

或

或

————13分法二：由,代入可得方程：可解出或略19.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，，數(shù)列{bn}滿足：對每個成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記證明：參考答案：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．從而．所以Sn=n2－n，n∈N*由成等比數(shù)列得．解得．所以．（Ⅱ）．我們用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n=1時，c1=0<2，不等式成立；（2）假設(shè)時不等式成立，即．那么，當(dāng)時，．即當(dāng)時不等式也成立．根據(jù)（1）和（2），不等式對任意成立．

20.（本小題滿分14分）已知雙曲線離心率為直線

（I）求；（II）證明：參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)知，即，故.

所以C的方程為.將y=2代入上式，求得，.由題設(shè)知，，解得，.所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程為.

①由題意可設(shè)的方程為，，代入①并化簡得，.設(shè)，，則，，，.于是，由得，，即.故，解得，從而.由于，，故，.因而，所以、、成等比數(shù)列.21.某山體外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為開發(fā)山體資源，修建一條連接兩條公路沿山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為L．如圖所示，M，N為C的兩個端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和80千米，點(diǎn)N到l1的距離為100千米，以l1，l2所在的直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=模型（其中a為常數(shù)）．（1）設(shè)公路L與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t．①請寫出公路L長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②當(dāng)t為何值時，公路L的長度最短？求出最短長度．（2）在公路長度最短的同時要求美觀，需在公路L與山體之間修建綠化帶（如圖陰影部分），求綠化帶的面積．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）①由題知M（5，80）代入y=，則a=400，進(jìn)而求出y=，得出坐標(biāo)N（100，4），利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，得出直線的方程，進(jìn)而求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②運(yùn)用基本不等式可得最小值，注意求出等號成立的條件；（2）山體與x=5，x=100之間的面積為，得出山體與L1、L2圍成的面積是400+400ln20，進(jìn)而得出綠化帶的面積是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由題意M（5，80）代入y=，則a=400，∴y=，N（100，4），∴定義域?yàn)閇5，100]．∴P（t，），∵，則公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，當(dāng)且僅當(dāng)t=20∈[5，100]時等號成立，所以當(dāng)t為20時，公路l的長度最短長度是3200千米；（2）山體與x=5，x=100之間的面積為dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山體與L1、L2圍成的面積是400+400ln20，L與y，x軸交點(diǎn)分別是A（0，40），B（40，0），公路與L1、L2圍成的面積是800，所以綠化帶的面積是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：當(dāng)t為20時，公路L的長度最短，最短長度是3200