山西省忻州市原平育才高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市原平育才高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角弧度數(shù)為（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】弧度制的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線AB所對(duì)的圓心角∠AOB=，求出AB的長度（用r表示），就是弧長，再由弧長公式求圓心角弧度數(shù)．【解答】解：如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線AB所對(duì)的圓心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足為M，在rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，∴AM=r，AB=r，∴l(xiāng)=r，由弧長公式l=|α|r，得，α===．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角的弧度數(shù)的意義，以及弧長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于()A．[－3,4]

B．[－5,2]

C．[－4,3]

D．[－2,5]參考答案：A略3.已知實(shí)數(shù)m、n滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A4.等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為S，則數(shù)列項(xiàng)之和為（

）

A．

B．S

C．

D．參考答案：答案：C5.已知函數(shù)y＝x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝(

)A．-2或2

B．-9或3

C．-1或1

D．-3或1參考答案：A略6.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D,所以,選D.7.已知，函數(shù)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象可能為參考答案：B8.如圖所示，已知，，，，則下列等式中成立的是（）A．

B． C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】利用向量的三角形法則，把作為基底進(jìn)行加法運(yùn)算．【解答】解：===．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加法運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．9.已知數(shù)列，若利用如圖所示的程序框圖計(jì)算并輸出該數(shù)列的第10項(xiàng)，則判斷框內(nèi)的條件可以是A. B.C. D.參考答案：C略10.執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的S等于

A．162

B．165

C．195

D．198參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某市的5所學(xué)校組織聯(lián)合活動(dòng)，每所學(xué)校各派出2名學(xué)生．在這10名學(xué)生中任選4名學(xué)生做游戲，記“恰有兩名學(xué)生來自同一所學(xué)校”為事件，則

．參考答案：； 12.運(yùn)行如圖所示程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出s屬于．參考答案：[﹣3，4]【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】根據(jù)程序框圖的功能進(jìn)行求解即可．【解答】解：本程序?yàn)闂l件結(jié)果對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為s=，則當(dāng)輸入的t∈[﹣1，3]，則當(dāng)t∈[﹣1，1）時(shí)，s=3t∈[﹣3，3），當(dāng)t∈[1，3]時(shí)，s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4∈[3，4]，綜上s∈[﹣3，4]，故答案為：[﹣3，4]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件結(jié)構(gòu)，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，的面積為，則的值為______．參考答案：

考點(diǎn)：正、余弦定理解三角形.14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為M，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率___________．參考答案：

如圖所示漸近線OM的方程為右焦點(diǎn)為，因此，過點(diǎn)向ON作垂線，垂足為P，則.又因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以，故在三角形OMN中，，所以,所以，即所以雙曲線的離心率為.15.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

.參考答案：416.已知A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為16π，則三棱錐A一BCD的體積是________.參考答案：2【分析】由球的表面積求球的半徑，利用直角三角形計(jì)算AB長，可得AB恰為球的直徑，可得AD長，得到，推證平面,利用三棱錐的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為，又，，，可得，故為球的直徑，所以，由勾股定理得，在三角形中，，所以，又，所以平面，又在三角形中，，所以，所以三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積是2．【點(diǎn)睛】本題空間幾何體的體積計(jì)算，組合體的關(guān)系，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.17.已知，且，則

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)g（x）=x2﹣2x，若對(duì)任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)，知（x＞0）．由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）對(duì)任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等價(jià)于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)，∴（x＞0）．∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，ax﹣1＜0，在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間（0，2）和上，f'（x）＞0；在區(qū)間上f'（x）＜0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和，單調(diào)遞減區(qū)間是③當(dāng)時(shí)，，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．④當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在區(qū)間上f'（x）＜0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，綜上所述，a＞ln2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的最大值與最小值問題中的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是分類不清導(dǎo)致致出錯(cuò)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．19.某電子商務(wù)平臺(tái)的管理員隨機(jī)抽取了1000位上網(wǎng)購物者，并對(duì)其年齡（在10歲到69歲之間）進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)情況如下表所示.年齡[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人數(shù)100150a200b50

已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購物的人數(shù)依次構(gòu)成遞減的等比數(shù)列.（1）求a，b的值；（2）若將年齡在[30,50)內(nèi)的上網(wǎng)購物者定義為“消費(fèi)主力軍”，其他年齡段內(nèi)的上網(wǎng)購物者定義為“消費(fèi)潛力軍”.現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費(fèi)潛力軍的概率.參考答案：（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)人數(shù)和為100及人數(shù)的等比關(guān)系列方程組求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消費(fèi)主力軍，分別記為，，，有2人是消費(fèi)潛力軍，分別記為，，利用列舉法及古典概型的公式求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，.（2）由題意可知，在抽取的5人中，有3人是消費(fèi)主力軍，分別記為，，，有2人是消費(fèi)潛力軍，分別記為，.記“這2人中至少有一人是消費(fèi)潛力軍”為事件.從這5人中抽取2人所有可能情況為，，，，，，，，，，共10種.符合事件的有，，，，，，，共7種.故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)的簡單應(yīng)用，考查了古典概型的求解，屬于基礎(chǔ)題.20.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為：，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)方程為：.（Ⅰ）求出曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C1與曲線C2相交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.參考答案：解：(Ⅰ)，的直角坐標(biāo)方程為: 的普通方程為

………5分（Ⅱ）將代入得：由的幾何意義可得：

………10分21.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，是它的一個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線PT，T為切點(diǎn)，且.(1)求橢圓C1及圓C2的方程；(2)過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l1，l2，其中l(wèi)1與橢圓的另一交點(diǎn)為D，l2與圓交于A，B兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值.參考答案：解：（1）由a=2，e=，得c=,所以b=，故所求橢圓方程為.由已知有r=,圓C2的方程為C2：x2+y2=2.(4分)（2）設(shè)直線l1方程為y=k（x+2），由得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，所以xP+xD=，又xD=，所以==.直線l2的方程為即x+ky+2=0，，所以==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)，k=時(shí)取等號(hào)，因此△ABD的面積的最大值為.(12分)

22.為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)