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山東省東營市陳莊鎮(zhèn)中學2021-2022學年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是()A. B. C. D.0參考答案:B2.已知的實根個數(shù)是(
)A.1個
B.2個
C.3個
D.4個參考答案:B略3.設是公比為q的等比數(shù)列,是它的前n項和,若是等差數(shù)列,則q的值等于(
)A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:答案:A4.已知雙曲線的漸近線方程為,若頂點到漸近線的距離為,則雙曲線的方程為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B漸近線方程化簡為,頂點坐標,頂點到漸近線的距離為,解得,根據(jù)漸近線方程的斜率,可得,所以雙曲線的方程為.選B.5.m是一條直線,α,β是兩個不同的平面,以下命題正確的是(
)
A.若m∥α,α∥β,則m∥β B.若m∥α,∥β,則α∥β
C.若m∥α,α⊥β,則m⊥β D.若m∥α,m⊥β,則α⊥β參考答案:D略6.設,,則在上的投影的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B7.用數(shù)學歸納法證明“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數(shù)是(
)A.2k﹣1 B.2k﹣1 C.2k D.2k+1參考答案:C【分析】考查不等式左側(cè)的特點,分母數(shù)字逐漸增加1,末項為,然后判斷n=k+1時增加的項數(shù)即可.【解答】解:左邊的特點:分母逐漸增加1,末項為;由n=k,末項為到n=k+1,末項為=,∴應增加的項數(shù)為2k.故選C.【點評】本題是基礎題,考查數(shù)學歸納法證明問題的第二步,項數(shù)增加多少問題,注意表達式的形式特點,找出規(guī)律是關鍵.8.函數(shù)的圖像大致為A
B
C
D參考答案:A9.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5.若存在兩項am,an使得,則的最小值為()A. B. C. D.參考答案:B【考點】等比數(shù)列的性質(zhì).【分析】根據(jù)a7=a6+2a5,求出公比的值,利用存在兩項am,an使得,寫出m,n之間的關系,結(jié)合基本不等式得到最小值.【解答】解:設等比數(shù)列的公比為q(q>0),則∵a7=a6+2a5,∴a5q2=a5q+2a5,∴q2﹣q﹣2=0,∴q=2,∵存在兩項am,an使得,∴aman=16a12,∴qm+n﹣2=16,∴m+n=6∴=(m+n)()=(10+)m=1,n=5時,=;m=2,n=4時,=.∴的最小值為,故選B.10.給出下列四個結(jié)論:(1)如圖Rt△ABC中,|AC|=2,∠B=90°,∠C=30°.D是斜邊AC上的點,|CD|=|CB|.以B為起點任作一條射線BE交AC于E點,則E點落在線段CD上的概率是;(2)設某大學的女生體重y(kg)與身高x(cm)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的線性回歸方程為=0.85x﹣85.71,則若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg;(3)為調(diào)查中學生近視情況,測得某校男生150名中有80名近視,在140名女生中有70名近視.在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時,應該用獨立性檢驗最有說服力;(4)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79,則P(ξ≤﹣2)=0.21;其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:C【考點】兩個變量的線性相關;正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.【分析】對四個命題分別進行判斷,即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)由題意,|CD|=|CB|,∠C=30°,所以∠CBD=75°,所以E點落在線段CD上的概率是=,故不正確;(2)設某大學的女生體重y(kg)與身高x(cm)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的線性回歸方程為=0.85x﹣85.71,則若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg,正確;(3)為調(diào)查中學生近視情況,測得某校男生150名中有80名近視,在140名女生中有70名近視.在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時,應該用獨立性檢驗最有說服力,正確;(4)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),圖象關于x=1對稱,因為P(ξ≤4)=0.79,則P(ξ≤﹣2)=0.21,正確;故正確結(jié)論的個數(shù)為3,故選:C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓錐底面半徑為1,高為,點P是底面圓周上一點,則一動點從點P出發(fā),繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點P,則繞行的最短距離是
.參考答案:12.設p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是________.[來源:學,科,網(wǎng)]參考答案:p:|4x-3|≤1?≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)≤0?a≤x≤a+1由pq,得解得:0≤a≤.
13.采用系統(tǒng)抽樣方法從600人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機編號為001,002,…,600,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽得的號碼為003,抽到的50人中,編號落入?yún)^(qū)間[001,300]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[301,495]的人做問卷B,編號落入?yún)^(qū)間[496,600]的人做問卷C,則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為.參考答案:8考點:系統(tǒng)抽樣方法.專題:概率與統(tǒng)計.分析:由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以3為首項、以12為公差的等差數(shù)列,求得此等差數(shù)列的通項公式為an=12n﹣9,由496≤12n﹣9≤600,求得正整數(shù)n的個數(shù),即為所求.解答:解:∵600÷50=12,∴由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以3為首項、以12為公差的等差數(shù)列,且此等差數(shù)列的通項公式為an=3+12(n﹣1)=12n﹣9.落入?yún)^(qū)間[496,600]的人做問卷C,由496≤12n﹣9≤600,即505≤12n≤609解得42≤n≤50.再由n為正整數(shù)可得
43≤n≤50,∴做問卷C的人數(shù)為50﹣43+1=8,故答案為:8點評:本題主要考查等差數(shù)列的通項公式,系統(tǒng)抽樣的定義和方法,根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列是解決本題的關鍵,比較基礎.14.設函數(shù)f(x)=,則方程f(x)=的解集為
.參考答案:{﹣1,}【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)的零點.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用.【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),解方程即可.【解答】解:若x≤0,由f(x)=得f(x)=2x==2﹣1,解得x=﹣1.若x>0,由f(x)=得f(x)=|log2x|=,即log2x=±,由log2x=,解得x=.由log2x=﹣,解得x==.故方程的解集為{﹣1,}.故答案為:{﹣1,}.【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應用,利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運算是解決本題的關鍵.15.設定義在R上的函數(shù)有5個不同實數(shù)解,則的取值范圍為:___。參考答案:16.將正整數(shù)1,2,3,……,n,……,排成數(shù)表如圖所示,即第一行3個數(shù),第二行6個數(shù),且后一行比前一行多3個數(shù),若第i行、第j列的數(shù)可用(i,j)表示,則2015可表示為
第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123
第2行987654
第3行1011121314151617…………
參考答案:17.函數(shù)的圖象恒過定點A,若點A在直線上,則的最小值為
.參考答案:9略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)設函數(shù),函數(shù)(其中,e是自然對數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若在上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)設,求證:(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
參考答案:解答
(Ⅰ),函數(shù),,當時,;當時,,故該函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值.····························································································································4分(Ⅱ)由題在上恒成立,∵,,∴,若,則,若,則恒成立,則.不等式恒成立等價于在上恒成立,·····6分令,則,又令,則,∵,.①當時,,則在上單調(diào)遞減,∴,∴在上單減,∴,即在上恒成立;··7分②當時,.?。┤簦磿r,,則在上單調(diào)遞減,∴,∴在上單調(diào)遞減,∴,此時在上恒成立;························8分ⅱ)若,即時,若時,,則在上單調(diào)遞增,∴,∴在上也單調(diào)遞增,∴,即,不滿足條件.················································9分綜上,不等式在上恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是.·····10分(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當時,則,當時,,令,則,∴,∴,∴,······12分又由(Ⅰ)得,即,當x>0時,,∴,,綜上得,即.
13分19.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P在C上且其橫坐標為1,以F為圓心,|FP|為半徑的圓與C的準線l相切.(1)求p的值;(2)設l與x軸交點E,過點E作一條直線與拋物線C交于A、B兩點,求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍.參考答案:【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【專題】直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】(1)由直線和圓相切的條件:d=r,結(jié)合條件,即可求得p=2;(2)求出拋物線的方程,設出A,B的坐標,以及垂直平分線與x軸的交點的橫坐標,由垂直平分線的性質(zhì),解得橫坐標,再由直線和拋物線方程聯(lián)立,運用韋達定理和判別式大于0,即可得到所求范圍.【解答】解:(1)因為以F為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準線l相切,所以圓的半徑為p,即|FP|=p,所以FP⊥x軸,又點P的橫坐標為l,所以焦點F的坐標為(1,0),從而p=2;(2)由(1)知拋物線C的方程為y2=4x,設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的垂直平分線與x軸的交點D(x0,0),則由|DA|=|DB|,y12=4x1,y22=4x2,得(x1﹣x0)2+y12=(x2﹣x0)2+y22,化簡得x0=+2①設直線AB的方程為x=my﹣1,代入拋物線C的方程,得y2﹣4my+4=0,由△>0得m2>1,由根與系數(shù)關系得y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)﹣2=4m2﹣2,代入①得x0=2m2+1>3,故線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(3,+∞).【點評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),考查直線和拋物線的位置關系,注意正確設出直線方程,聯(lián)立拋物線的方程,運用韋達定理和中點坐標公式,考查運算能力,屬于中檔題.20.已知函數(shù)f(x)=(x2﹣ax﹣a)ex.(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a∈(0,2),對于任意x1,x2∈[﹣4,0],都有恒成立,求m的取值范圍.參考答案:【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最大值,問題轉(zhuǎn)化為m>(e﹣2+1)恒成立,令g(x)=,x∈(0,2),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.【解答】解:(1)當a=1時,f(x)=(x2﹣x﹣1)ex,∴f′(x)=(x2+x﹣2)ex,當f′(x)=(x2+x﹣2)ex>0時,解得x>1或x<﹣2,函數(shù)單調(diào)遞增,當f′(x)=(x2+x﹣2)ex<0時,解得﹣2<x<1,函數(shù)單調(diào)遞減,∴f(x)在(﹣∞,﹣2),(1,+∞)上為增函數(shù),在(﹣2,1)上為減函數(shù);(2)f′(x)=(x+2)(x﹣a)ex,a∈(0,2)時,f(x)在(﹣4,﹣2)上單調(diào)遞增,在(﹣2,0)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(﹣2)=(a+4)e﹣2,f(﹣4)=(3a+16)e﹣4>﹣a=f(0),故|f(x1)﹣f(x2)|max=|f(﹣2)﹣f(0)|=a(e﹣2+1)+4e﹣2,|f(x1)﹣f(x2)|<4e﹣2+mea恒成立,即a(e﹣2+1)+4e﹣2<4e﹣2+mea恒成立,即m>(e﹣2+1)恒成立,令g(x)=,x∈(0,2),易知g(x)在其定義域上有最大值g(1)=,所以m>.21.已知函數(shù)(m、n為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是.
(Ⅰ)求m、n的值;
(Ⅱ)求f(x)的最大值;
(Ⅲ)設(其中為f(x)的導函數(shù)),證明:對任意x>0,都有.
(注:)參考答案:(Ⅰ)解:由,得 2分
由已知得,解得m=n 3分
又,∴n=2,m=2. 4分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得:
當x∈(0,1)時,
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