天津英華國際學校 2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

天津英華國際學校2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量＝（1，2），＝（－2，1），＝（3，－4），則＝A．(－5,0)

B．(－3,4)

C．(3,－4)

D．(－5,－4)參考答案：C2.函數(shù)f（x）=cos2x的周期是T，將f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x），則g（x）具有性質(zhì)（）A．最大值為1，圖象關于直線x=對稱B．在（0，）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)C．在（，）上單點遞增，為偶函數(shù)D．周期為π，圖象關于點（，0）對稱參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，得出結論．【解答】解：函數(shù)f（x）=cos2x的周期是T==π，將f（x）的圖象向右平移=個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos2（x﹣）=sin2x的圖象，可得g（x）的最大值為1，當x=時，g（x）=0，不是最值，故它的圖象不關于直線x=對稱，故排除A．g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)，故B正確．在（，）上，2x∈（﹣，），sin2x沒有單調(diào)性，故g（x）沒有單調(diào)性，故C錯誤．令x=，求得g（x）=sin2x=，不是最值，故g（x）的圖象不關于點（，0）對稱，故D錯誤，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎題．3.函數(shù)的最小值和最大值分別為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C,因為，所以當時，函數(shù)有最大值，當時，函數(shù)有最小值，選C.4.已知x，y均不為0，則的值組成的集合的元素個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】元素與集合關系的判斷．【專題】計算題．【分析】對由x、y的正負分四種情況去絕對值討論即可．解：xy均正或均負時，=0；x正y負時，=2；x負y正時，=﹣2，故的值組成的集合的元素個數(shù)為3個故選C．【點評】本題考查絕對值的運算，屬基礎知識的考查．5.設函數(shù)f（x）（xR）滿足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且當x［0,1］時，f（x）＝x2，又函數(shù)g（x）＝｜xcos（x）｜，則函數(shù)h（x）＝g（x）－f（x）在上的零點個數(shù)為A、5B、6C、7D、8參考答案：B6.數(shù)列{an}滿足,且．記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則當Sn取最大值時n為（

）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13參考答案：C【分析】分的奇偶討論數(shù)列的奇偶性分別滿足的條件,再分析的最大值即可.【詳解】由題,當為奇數(shù)時,,.故.故奇數(shù)項為公差為1的等差數(shù)列.同理當為偶數(shù)時,.故偶數(shù)項為公差為-3的等差數(shù)列.又即.又.所以.綜上可知,奇數(shù)項均為正數(shù),偶數(shù)項隨著的增大由正變負.故當取最大值時n為奇數(shù).故n為奇數(shù)且此時有,解得.故或.故選：C【點睛】本題主要考查了奇偶數(shù)列的應用,需要根據(jù)題意推導奇偶項數(shù)列的遞推公式,再根據(jù)題意分析相鄰兩項之和與0的大小關系列不等式求解.屬于難題.7.過橢圓C：的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于點M，若，則λ1+λ2=（）A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10參考答案：D【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示，設A（x1，y1），B（x2，y2）．由題意，=2，可得F（2，0）．設直線l的方程為：y=k（x﹣2），則M（0，﹣2k）．利用向量相等可以得到λ1，λ2的表達式，再將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到根與系數(shù)的關系，代入λ1+λ2即可．【解答】解：如圖所示，設A（x1，y1），B（x2，y2）．由題意，=2，∴F（2，0）．設直線l的方程為：y=k（x﹣2），則M（0，﹣2k）．∴，，，=（2﹣x2，﹣y2）．∵，∴x1=λ1（2﹣x1），x2=λ2（2﹣x2）．（*）聯(lián)立，消去y得到（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，∴，．由（*）可得λ1+λ2=====﹣10．故選D．8.已知是圓：內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線：，則A．，且與圓相交

B．，且與圓相交C．，且與圓相離

D．，且與圓相離參考答案：C9.設等比數(shù)列的前項和為，滿足，且，則（A）31

（B）36

(C)42

(D)48參考答案：A【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和D3a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5為方程x2-20x+64=0的兩根，

∵an＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q==2，

∴a1==1，∴S5==31．【思路點撥】利用等比中項的性質(zhì)求得a3a5=a2a6，進而根據(jù)a3+a5=20，構造出一元二次方程求得a3和a5，則a1和q可求得，最后利用等比數(shù)列的求和公式求得答案．10.若橢圓和圓為橢圓的半焦距),有四個不同的交點,則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線所圍成的封閉圖形的面積為參考答案：12.已知數(shù)列滿足：則=

；=

．參考答案：13.設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是____________.（寫出所有真命題的序號）參考答案：①②略14.已知的展開式中沒有常數(shù)項,且，則

.參考答案：5略15.若實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點P(－1,0)在動直線ax＋by＋c＝0上的射影為M，點N(3,3)，則線段MN長度的最大值是__________．參考答案：5＋16.過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線的準線上的射影為C，若，，則拋物線的方程為．參考答案：y2=2x【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】判斷F為A，B的中點，設出B，求出A，C坐標，利用向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線的準線上的射影為C，若，可知F（）是AB的中點，設B（，﹣n）n＞0，則A（），C（﹣，n），=（2p，2n，=（0，2n），，可得：4n2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求拋物線方程為：y2=2x．故答案為：y2=2x．17.已知函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合，B＝{(x，y)|y＝ax＋2，x∈R，y∈R}．(1)若a＝3，求A∩B的子集個數(shù)；(2)若A∩B＝，求實數(shù)a的值．參考答案：(1)若a＝3，則B＝{(x，y)|y＝3x＋2，x∈R，y∈R}．由題意得，解得即A∩B＝，故子集個數(shù)為2.(2)由方程組得(1－a)x＝1.當a＝1時，方程組無解；當a≠1時，x＝，若＝2，即a＝，此時x＝2為增根，所以方程組也無解．從而當a＝1或a＝時，A∩B＝?.19.（本題滿分15分）已知數(shù)列滿足：，，（），，，分別是公差不為零的等差數(shù)列的前三項．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：對任意的，，，不可能成等比數(shù)列.參考答案：（Ⅰ）因為，所以，．………………

２分又因為，所以，解得或．…………5分又因為的公差不為零，所以．……

7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．……………………

10分假如，，成等比數(shù)列，則．…………

12分代入化簡得：，解得．……14分

與矛盾，

故，，不可能成等比數(shù)列．……15分20.函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（Ⅰ）若關于x的函數(shù)h（x）=f（x）+x﹣t在[0，2]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)t的取值范圍；（Ⅱ）求證：對任意的n∈N*，不等式ln（n+2）＜1+++…++ln2都成立．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）利用導數(shù)求h（x）=f（x）+x﹣t在[0，2]上的最大值h（1），由題意可得，求解不等式組得答案；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x在（0，+∞）上為減函數(shù)，可得x2+x≥ln（1+x），x≥0，令x=，然后利用放縮法證明不等式ln（n+2）＜1+++…++ln2．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，則函數(shù)h（x）=f（x）+x﹣t=ln（x+1）﹣x2+﹣t，∴h′（x）==．當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，于是h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；當x∈（1，2）時，h′（x）＜0，于是h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減．依題意有，∴l(xiāng)n3﹣1≤t≤ln2+；（Ⅱ）證明：由f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，得f′（x）==，當x≥0時，f′（x）≤0，則函數(shù)單調(diào)遞減，則f（x）≤f（0）=0，故x2+x≥ln（1+x），x≥0，令x=，得（）2+≥ln（1+）=ln（1+n）﹣lnn，即＞≥ln（1+n）﹣lnn，從而＞ln（1+n）﹣lnn，分別令n=2，3，4，…n，則1+++…++＞ln3﹣ln2+ln4﹣ln3+…+ln（1+n）﹣lnn+ln（2+n）﹣ln（1+n）=ln（n+2）﹣ln2，故ln（n+2）＜1+++…++ln2．21.某銀行柜臺有從左到右編號依次為1，2，3，4，5，6的六個服務窗口，其中1，2，3，4，5號服務窗口辦理A類業(yè)務，6號服務窗口辦理B類業(yè)務．（1）每天12：00至14：00，由于需要辦理A類業(yè)務的顧客較少，現(xiàn)從1，2，3，4，5號服務窗口中隨機選擇2個窗口暫停服務，求“1號窗口或2號窗口暫停服務”的概率；

（2）經(jīng)統(tǒng)計，在6號窗口辦理B類業(yè)務的等候人數(shù)及相應概率如下：排隊人數(shù)012344人及4人以上概率0.10.160.30.30.10.04

求至少2人排隊等侯的概率．參考答案：（1）由題意，有如下基本事件（(i，j)表示第i，j號窗口暫停服務）：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，

因此，共有10個基本事件．記事件A“1號窗口或2號窗口暫停服務”，事件A包括：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，因此，共有7個基本事件，故P(A)＝．答：暫停服務的三個窗口恰有兩個連在一起的概率為．（2）記事件“6號窗口辦理B類業(yè)務的等候人數(shù)為k”記為Bk，（k