專題18空間幾何體的表面積與體積小題專練-高三數(shù)學二輪專題復習

第=page1717頁，共=sectionpages1717頁專題18空間幾何體的表面積與體積小題專練一、單選題1.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)單位：，那么該壺的最大盛水量為(

)A. B. C. D.2.棱長為的正方體中，為棱的中點，平面將該正方體分成兩部分，則較小部分的體積是(

)A. B. C. D.3.已知斜三棱柱的體積為，是上的一點，的體積為，則三棱錐的體積為(

)

A. B. C. D.4.已知圓錐的母線長與底面半徑長之比為，一個正方體有四個頂點在圓錐的底面上，另外的四個頂點在圓錐的側(cè)面上如圖，則圓錐與正方體的表面積之比為(

)

A. B. C. D.5.正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，，分別為，上靠近，的三等分點，則三棱錐的體積為(

)A. B. C. D.6.擬柱體所有點均在兩個平行平面內(nèi)的多面體可以用辛普森公式求體積，其中是高，是上底面面積，是下底面面積，是中截面到上、下底面距離相等的截面面積如圖所示，在五面體中，底面是邊長為的正方形，，且直線到底面的距離為，則該五面體的體積為(

)

A. B. C. D.7.已知圓錐的底面半徑為，高為，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是(

)A. B. C. D.8.已知三棱柱中，所有棱長均為，且，則該三棱柱的側(cè)面積等于(

)A. B. C. D.9.在九章算術商功中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭．在方亭中，，四個側(cè)面均為全等的等腰梯形且面積之和為，則該方亭的體積為(

)A. B. C. D.10.在下圖所示的三棱錐容器中，，，分別為三條側(cè)棱上的小洞，，，若用該容器盛水，則最多可盛水的體積是原三棱錐容器體積的．(

)A. B. C. D.11.“迪拜世博會”于年月日至年月日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為

的球面上．此模型的體積為(

)A. B. C. D.12.如圖，已知正四面體的棱長為，過點作截面分別交側(cè)棱，于，兩點，且四面體的體積為四面體體積的，則的最小值為(

)A. B. C. D.二、多選題13.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征如圖圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖扇形的一部分，若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是和，且，則該圓臺的(

)A.高為

B.體積為

C.表面積為

D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為14.如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則(

)

A. B. C. D.15.如圖，已知四棱錐中，底面，，，分別是，的中點，且，記三棱錐，，的體積分別為，，，則(

)A. B.

C. D.三、填空題16.用一個不平行于底面的平面截一個圓柱，得到如圖幾何體，若截面橢圓的長軸長為，離心率為，這個幾何體最短的母線長為，則此幾何體的體積為

．

世紀英國數(shù)學家辛卜森運用定積分，推導出了現(xiàn)在中學數(shù)學教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統(tǒng)一體積公式其中，，，分別為的上底面面積、下底面面積、中截面面積和高，我們也稱為“萬能求積公式”例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為類似地，運用該公式求解下列問題：如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為

．18.已知正方體的棱長為，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點，，，，如圖，則四棱錐的體積為______．19.埃及金字塔中有三大金字塔：胡夫金字塔、階梯金字塔、彎曲金字塔，金字塔因為建筑精細、宏偉還有它的神秘被譽為是世界七大奇跡之一．現(xiàn)代世界各地有許多建筑模仿金字塔造型而建，如圖是某處一建筑物，仿階梯金字塔結(jié)構(gòu)建造，該建筑的頂部為一個正四棱錐結(jié)構(gòu)，若頂部的正四棱錐的底面邊長為，高為，現(xiàn)要將頂部側(cè)面安裝彩色玻璃，則需要安裝的玻璃的面積為

20.如圖為某企業(yè)的產(chǎn)品包裝盒的設計圖，其設計方案為：將圓錐截去一小圓錐作包裝盒的蓋子，再將剩下的圓臺挖去以為頂點，以圓為底面的圓錐若圓半徑為，，不計損耗，當圓錐的體積最大時，圓的半徑為

，此時，去掉蓋子的幾何體的表面積為

．

答案和解析1.【答案】

【解答】解：由題可知圓臺的上、下底面半徑分別為，，圓臺的高，

根據(jù)圓臺體積公式得

，

故該壺的最大盛水量為，

2.【答案】

解：因為為棱的中點，

則根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征知，平面截正方體所得截面為等腰梯形，

設與交于點，則根據(jù)平面的基本性質(zhì)知，在上，

所以較小部分是一個棱臺，上、下底面積分別為、，高是正方體的棱長，故體積為，

故選C．

3.【答案】

解：設三棱柱的底面積為，高為，

則，，

再設點到底面的距離為，則，得，

，

則點到上底面的距離為，

三棱錐的體積為．

故選C．

4.【答案】

解：作出幾何體的軸截面如圖，

由題意設圓錐的底面半徑為，則母線長，則圓錐的高，

設正方體的棱長為，由軸截面，

得，即，

解得，

所以圓錐與正方體的表面積之比為，

故選D．

5.【答案】

解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．

，分別是，上靠近，的三等分點，且四邊形是矩形，

，，，

四邊形是矩形，

，

點到平面的距離等于點到平面的距離，即為的底邊上的高，

由等體積公式得．

6.【答案】

解：因為擬柱體的所有頂點均在兩個平行平面內(nèi)，所以可將正方形視為下底面，線段視為上底面，如圖所示：

由已知，該擬柱體的中截面為矩形，

其中，，

其面積，

而，，

因為直線到底面的距離為，所以高，

于是由公式，

得．

故選D．

7.【答案】

解：設內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，全面積為，則有

，

，

，

當時，取最大值．

故本題選B．

8.【答案】

解：三棱柱中，所有棱長均為，且，

在平面內(nèi)的射影是的角平分線，

作平面，延長交于點，

是邊長為的等邊三角形，，

，，

平面，又平面，

，又，

，

四邊形是矩形，面積為，

平行四邊形中，，，

平行四邊形的面積為，

同理，平行四邊形的面積為，

該三棱柱的側(cè)面積等于，

故選：．

9.【答案】

解：如圖，過作，垂足為，

由四個側(cè)面的面積之和為知，側(cè)面的面積為，

梯形的面積公式，則

由題意得：，在中，，

連接，，過作，垂足為，易知四邊形為等腰梯形且，，則，，

該方亭的體積棱臺的體積公式

故選B．

10.【答案】

解：：：：，：：：，則：：，

，：：設點，到平面的距離分別為，，

：：，則：．

故當置于水平面時，該容器即為幾何體，它最多可盛原來水的．

故本題選：．

11.【答案】

解：由題意可知，實心模型由兩個圓柱構(gòu)成，

實心模型的體積內(nèi)層圓柱的體積外層幾何體的體積，

因為內(nèi)層圓柱的底面直徑，所以，

所以內(nèi)層圓柱的底面積為，

外層底面直徑為，所以，

所以外層圓柱的底面面積為，

又內(nèi)外層的底面圓周都在一個直徑為的球上，即，

如圖，以內(nèi)層圓柱為例，

因為內(nèi)層圓柱的底面圓周在球面上，

所以球心與內(nèi)層圓柱的底面圓心的連線垂直于底面圓，即，

所以，

根據(jù)球的對稱性可得，內(nèi)層圓柱的高為，

所以內(nèi)層圓柱的體積為，

同理可得，外層圓柱的高為，

所以外層圓柱的體積為，

由題意可得，外側(cè)幾何體的體積等于外層圓柱體的體積減去高為的內(nèi)層圓柱體的體積，

故，

所以該幾何體的體積為

故本題選C．

12.【答案】

解：正四面體的棱長為，則，

由得．

又由于，，

得．

在中，由余弦定理得，當且僅當時等號成立，

的最小值為．

故選D．

13.【答案】

解：設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，

則，，

解得，，

圓臺的母線長，圓臺的高為，則A正確

圓臺的體積，則B錯誤

圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，

則圓臺的表面積為，則C正確

上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為，則D錯誤．

故選AC．

14.【答案】

解：設，則，連結(jié)交于

，連結(jié)、，則，，，故，

，，．

15.【答案】

解：因為是的中點，所以，不妨設點到面的距離為，

則，

即，故A正確，B錯誤；

因為是的中點，所以，故，

所以，故C正確；

由等底等高易得，所以，，

所以，

即，，

，故D選項正確．

故選：．

16.【答案】

解：過最短母線的端點向最長母線作垂線，設最長母線的頂端為，連結(jié)，如圖所示：

則，由橢圓離心率為，得，則，即，

所以；

所以把兩個形狀相同的幾何體拼接成一個底面直徑為，高為的圓柱，

計算該幾何體的體積為

故答案為：．

17.【答案】

解：

如圖，設上下截面小圓圓心分別為，，上底面截面小圓上一點，連接，

球的表面積為，球的半徑，，

又，，截面小圓半徑，

根據(jù)“萬能求積公式”可得所求幾何體的體積為：

．

故答案為．

18.【答案】

解：正方體的棱長為，除面外，

該正方體其余各面的中心分別為點，，，，如圖，

，四棱錐是正四棱錐，

正四棱錐的底正方形的邊長為，高為，

四棱錐的體積為：

．

故答案為：．

19.【答案