D102對坐標曲線積分28339

會計學1D102對坐標曲線積分283391)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在第1頁/共26頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)第2頁/共26頁2.定義.設

L

為xoy

平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數,在L上定義了一個向量函數極限記作第3頁/共26頁若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,第4頁/共26頁3.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第5頁/共26頁二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有第6頁/共26頁對應參數設分點根據定義由于對應參數因為L為光滑弧,同理可證第7頁/共26頁特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有第8頁/共26頁例1.

計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數,則解法2取y

為參數,則從點的一段.第9頁/共26頁例2.

計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數方程為(2)取L的方程為則則第10頁/共26頁例3.

計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第11頁/共26頁例4.

設在力場作用下,質點由沿移動到解:(1)(2)

的參數方程為試求力場對質點所作的功.其中為第12頁/共26頁例5.

求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數方程第13頁/共26頁三、兩類曲線積分之間的聯系設有向光滑弧L

以弧長為參數

的參數方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯系第14頁/共26頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯系是令記A

在t

上的投影為第15頁/共26頁二者夾角為例6.

設曲線段L

的長度為s,證明續(xù),證:設說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連第16頁/共26頁例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周第17頁/共26頁1.定義2.性質(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結第18頁/共26頁3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧第19頁/共26頁4.兩類曲線積分的聯系?

對空間有向光滑弧

:第20頁/共26頁原點O

的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則第21頁/共26頁2.已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:第22頁/共26頁備用題1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質點在力場F

作用下由點第23頁/共26頁2.設曲線C為曲面與曲