Ch 古典概型與幾何概型

會(huì)計(jì)學(xué)1Ch古典概型與幾何概型一、古典概型1.定義古典概型是指滿足下列兩個(gè)條件的概率模型：

（1）（有限樣本空間）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能結(jié)果，即基本事件總數(shù)為有限個(gè)；（2）（等可能性）每一個(gè)可能結(jié)果發(fā)生的可能性相同，即各基本事件發(fā)生的概率相同。

用數(shù)學(xué)語言可表述為：

（1）樣本空間有限，即；（2）。第三節(jié)古典概型與幾何概型第2頁/共56頁第1頁/共56頁

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

說明計(jì)算古典概型中事件A的概率，關(guān)鍵是要計(jì)算出樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，這些數(shù)目的計(jì)算要用到排列組合的知識(shí)。第3頁/共56頁第2頁/共56頁第一類方法有

種方法第二類方法有

種方法

第

類方法有

種方法……做一件事共有

類方法完成這件事的方法總數(shù)：加法原理第4頁/共56頁第3頁/共56頁第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有個(gè)步驟完成這件事的方法總數(shù)：乘法原理第5頁/共56頁第4頁/共56頁（1）排列（從n個(gè)元素中取m個(gè)不同元素）排列選排列全排列不可重復(fù)選排列(不放回)可以重復(fù)選排列(有放回)不可重復(fù)(不放回)可以重復(fù)(有放回)【注】關(guān)于排列組合知識(shí)的簡(jiǎn)要回顧第6頁/共56頁第5頁/共56頁

(2)元素的分類將n個(gè)元素分為m類，每類分別有k1,k2,…km

個(gè)，總共的分類方式有：k1個(gè)元素k2個(gè)元素km個(gè)元素……n個(gè)元素第7頁/共56頁第6頁/共56頁因?yàn)?上式稱為多項(xiàng)系數(shù)。它是的展開式中的系數(shù)。第8頁/共56頁第7頁/共56頁

(3)環(huán)排列

從n個(gè)不同元素中，選出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)圓圈的排列，共有：(4)組合從n個(gè)不同元素中取m個(gè)而不考慮其次序的組合共有種.4123412311242343每個(gè)排列重復(fù)了4次排列數(shù)為第9頁/共56頁第8頁/共56頁常用組合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式來證明規(guī)定：0!=1,第10頁/共56頁第9頁/共56頁總結(jié)：從n個(gè)不同的元素中摸取m個(gè)元素(m≤n)（1）有放回摸取計(jì)序：不計(jì)序：（2）不放回摸取計(jì)序：不計(jì)序：第11頁/共56頁第10頁/共56頁從n個(gè)球中有放回不計(jì)序地摸取m個(gè)球：m個(gè)01234……m-5m-4m-3m-2m-1+11122……n-1n-1n-1n

n12356……n+m-6n+m-5n+m-4n+m-2n+m-1變換為所有摸取方法總數(shù)為：

從n個(gè)數(shù)中有放回地（即可以重復(fù)或不計(jì)序）取出m個(gè)數(shù)的一個(gè)組合相當(dāng)于從1到n+m-1個(gè)不同的數(shù)中不放回取出m個(gè)數(shù)的一個(gè)組合變換是一一的第12頁/共56頁第11頁/共56頁111213222333

例如：從1，2，3中有放回不計(jì)序地摸取2個(gè)數(shù)，共有種：+010101010101

121314232434相當(dāng)于從1,2,3,4中不放回地取出2個(gè)不可重復(fù)的數(shù)第13頁/共56頁第12頁/共56頁

例1.9

把10本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率。

解將10本書放到書架上相當(dāng)于將10個(gè)元素作一次排列，其所有可能的放法相當(dāng)于10個(gè)元素的全排列數(shù)10！，由于書是按任意的次序放到書架上去，因此，這10！種排列中出現(xiàn)任意一種的可能性相同，這是古典概型。用A表示事件“指定的三本書放在一起”，則事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為8！?3！，所以第14頁/共56頁第13頁/共56頁

例1.10

把1，2，3，4，5，6共6個(gè)數(shù)各寫在一張紙片上，從中任取三張紙片排成一個(gè)三位數(shù)。問：（1）所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？（2）所得三位數(shù)不小于200的概率是多少？

解從6個(gè)數(shù)中任取三個(gè)，可以排列成6×5×4=120個(gè)三位數(shù)，故基本事件總數(shù)為120。

(1)設(shè)A表示事件“三位數(shù)是偶數(shù)”，則A包含的基本事件數(shù)為3×5×4=60,故第15頁/共56頁第14頁/共56頁（2）設(shè)B表示事件“所得三位數(shù)不小于200”，只要百位數(shù)取2，3，4，5，6其中之一，所組成的三位數(shù)必定不小于200，所以，B包含的基本事件數(shù)為5×5×4=100，故

例1.11

從6個(gè)男人和9個(gè)女人組成的小組中選出5個(gè)人組成一個(gè)委員會(huì)，假定選取是隨機(jī)的，問委員會(huì)正好由3男2女組成的概率是多少？

解基本事件總數(shù)為，事件包含的基本事件數(shù)為,所求概率為：第16頁/共56頁第15頁/共56頁

例1.12（分房問題）設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去住(N≥n)，求下列事件的概率：（1）指定的n個(gè)房間各住有一人；（2）恰好有n個(gè)房間，其中各住有一人（或每個(gè)房間最多住一人）；（3）指定的一個(gè)房間不空；（4）指定的一個(gè)房間恰好住k個(gè)人(k≤n)。第17頁/共56頁第16頁/共56頁

解將n個(gè)人隨意地分配到N個(gè)房間，共有Nn種分配方法，記（1），（2），（3），（4）的事件分別為A,B,C,D。則第18頁/共56頁第17頁/共56頁

例1.13（抽簽問題）箱中有a根紅簽，b根白簽，除顏色外，這些簽的其它方面無區(qū)別，現(xiàn)有a+b個(gè)人依次不放回地去抽簽，求第k人抽到紅簽的概率。

解1

把a(bǔ)根紅簽b根白簽看作是不同的(設(shè)想對(duì)它們進(jìn)行編號(hào))，若把所抽出的簽依次排成一列，其排列總數(shù)為此即為基本事件總數(shù)。用Ak表示事件“第k人抽到紅簽”，因第人抽到紅簽有a種抽法，其余的次抽簽，相當(dāng)于個(gè)元素的全排列，有種，故事件Ak包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，從而第19頁/共56頁第18頁/共56頁

解2

把a(bǔ)根紅簽看成是沒有區(qū)別的，把b根白簽也看作是沒有區(qū)別的，把所抽出的簽依次放在排成一直線的a+

b個(gè)位置上，因若把a(bǔ)根紅簽的位置固定下來則其余位置必然是放白簽的位置，我們以a根紅簽的所有不同放法作為樣本點(diǎn)，則基本事件總數(shù)為。

由于第k次抽到紅簽，所以第k個(gè)位置必須放紅簽，剩下a-1根紅簽可以放在a+

b-1個(gè)位置的任意a-1個(gè)位置上，第20頁/共56頁第19頁/共56頁故事件Ak包含的樣本點(diǎn)數(shù)為。所以所求概率為

解3

把a(bǔ)

根紅簽b根白簽看作是不同的（設(shè)想對(duì)它們進(jìn)行編號(hào)），以第k次抽出的簽的全部可能結(jié)果作為樣本空間，則樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為a+b，事件Ak包含的樣本點(diǎn)數(shù)為a，故所求概率為第21頁/共56頁第20頁/共56頁

這個(gè)例子告訴我們，計(jì)算隨機(jī)事件的概率與所選取的樣本空間有關(guān)。在計(jì)算基本事件總數(shù)（樣本點(diǎn)總數(shù)）及事件A所包含的基本事件數(shù)時(shí)，必須對(duì)一確定的樣本空間考慮，若其中一個(gè)考慮順序，則另一個(gè)也必須考慮順序，否則結(jié)果一定不正確。

抽簽問題是我們?cè)趯?shí)際中經(jīng)常遇到的問題，由此例我們可以看出，每個(gè)人抽到紅簽的概率相同，與抽簽的先后次序無關(guān)，這也與我們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)相同。第22頁/共56頁第21頁/共56頁

例1.1415名新生中有3名優(yōu)秀生，將這15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，求下列事件的概率：（1）每一個(gè)班級(jí)各分配到一個(gè)優(yōu)秀生；（2）3名優(yōu)秀生分配到同一班。

解記（1），（2）的事件分別為A,B。（1）將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí)使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共3！種。對(duì)于每種分法，其余12名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法共有種，因此事件A包含的基本事件數(shù)為，所以第23頁/共56頁第22頁/共56頁

（2）將3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)內(nèi)的分法共有3種，對(duì)于這每一種分法，其余12名新生的分法有種，由乘法原理知事件B包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故第24頁/共56頁第23頁/共56頁

【例】

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.

64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解第25頁/共56頁第24頁/共56頁

【例】

從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少?解：A={4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙}={4只鞋子中沒兩只鞋子配成一雙}第26頁/共56頁第25頁/共56頁

【例】

有n個(gè)人排隊(duì)，排成一圈，求甲、乙兩人相鄰的概率是多少?

解：(2)排成一圈是環(huán)排列，n個(gè)人的環(huán)排列有(n－1)!種，甲、乙相鄰占一個(gè)位置的環(huán)排列有(n一2)!種，考慮互換性，有利事件有2×(n一2)!種．故：

更為簡(jiǎn)單的想法是：設(shè)想一個(gè)圓周上：有n個(gè)位置，甲占了一個(gè)位置后，乙還有n一1個(gè)位置可選，其中與甲相鄰的位置有2個(gè)．所以:第27頁/共56頁第26頁/共56頁

【例】

某人將三封寫好的信隨機(jī)裝入三個(gè)寫好地址的信封中，問沒有一封信裝對(duì)地址的概率是多少？這是一個(gè)配對(duì)問題第28頁/共56頁第27頁/共56頁解：設(shè)Ai={第i封信裝入第i個(gè)信封}i=1,2,3

A={沒有一封信裝對(duì)地址}直接計(jì)算P(A)不易，我們先來計(jì)算={至少有一封信裝對(duì)地址}則其中：第29頁/共56頁第28頁/共56頁于是:推廣到n封信,用類似的方法可得:把n

封信隨機(jī)地裝入n個(gè)寫好地址的信封中,沒有一封信配對(duì)的概率為:第30頁/共56頁第29頁/共56頁

【練習(xí)】從自然數(shù)列1，2，…，30中不放回地任取10個(gè)數(shù)，按大小排列成求事件A={x5=16}的概率。

解基本事件總數(shù)為，事件A發(fā)生相當(dāng)于有4次取到小于16的數(shù)，有5次取到大于16的數(shù)，故有利于A的基本事件數(shù)為，所求概率為第31頁/共56頁第30頁/共56頁

例

k個(gè)盒子中各裝有n個(gè)球，編號(hào)為1，2，…，n，從每個(gè)盒子中各取一個(gè)球，計(jì)算所得到的k個(gè)球中最大編號(hào)為m的概率（1≤m≤n

）。

分析：本題所求概率也可敘述為“從裝有編號(hào)為1,2,…,n共n個(gè)球的袋中有放回地取k次，計(jì)算所得到的k個(gè)球中最大編號(hào)為m的概率（1≤m≤n

）”。

解基本事件總數(shù)為nk，有利場(chǎng)合數(shù)可以這樣考慮：先考慮最大編號(hào)不大于m的取法，共有mk種。第32頁/共56頁第31頁/共56頁

再考慮最大編號(hào)不大于m-1

的取法，共有(m-1)k

種,因此最大編為m的取法為mk

-(m-1)k

則所求概率為

思考：若本題是不放回取球，結(jié)果又如何？

同樣的問題：擲n顆骰子，得最小的點(diǎn)數(shù)為2的概率是多少？(“最小的點(diǎn)數(shù)≥2”-“最小的點(diǎn)數(shù)≥3”).第33頁/共56頁第32頁/共56頁【練習(xí)

】利用概率模型證明恒等式（1）（2）證（1）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中只有1個(gè)紅球，其余全是黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出r個(gè)球。記事件A=“摸出的r個(gè)球中有紅球”，則由可得到等式（1）。第34頁/共56頁第33頁/共56頁

（2）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中有m個(gè)紅球，n-m個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出r個(gè)球。記事件Ai=“摸出的r個(gè)球中有i個(gè)紅球”，則而所以，即第35頁/共56頁第34頁/共56頁

【例*】一個(gè)人把6根繩子緊握在手中，僅露出繩子的頭和尾。然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，6個(gè)尾也兩兩相接。求放開手以后6根繩子恰好連成一個(gè)環(huán)的概率。

【解】

取定一個(gè)頭，它可以與其它的5個(gè)頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個(gè)之一相接，最后將剩下的兩個(gè)頭相接，故對(duì)頭而言有種接法，同樣對(duì)尾也有種接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。第36頁/共56頁第35頁/共56頁

用A表示“6根繩子恰好連成一個(gè)環(huán)”，這種連接，對(duì)頭而言仍有種連接法，而對(duì)尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根繩子的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根繩子的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是第37頁/共56頁第36頁/共56頁【例*】甲、乙兩人擲均勻的硬幣，其中甲擲n+1次，乙擲n次，求“甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)”這一事件的概率?！窘狻?/p>

本題若直接計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜，下面我們利用對(duì)稱性來考慮。

因?yàn)檎媾c反面所處的地位是對(duì)稱的，所以事件“甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)”與事件“甲擲出反面的次數(shù)大于乙擲出反面的次數(shù)”的概率相等。第38頁/共56頁第37頁/共56頁注意到，{甲擲出正面的次數(shù)>乙擲出正面的次數(shù)}={甲擲出反面的次數(shù)>乙擲出反面的次數(shù)}所以,={甲擲出正面的次數(shù)≤乙擲出正面的次數(shù)}P{甲擲出正面的次數(shù)>乙擲出正面的次數(shù)}=.第39頁/共56頁第38頁/共56頁

【例*】將均勻的硬幣擲n次，求“出現(xiàn)正面的次數(shù)多于反面的次數(shù)”的概率。

【解】

以A表示事件{正面的次數(shù)＞反面的次數(shù)}，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正面的次數(shù)與反面的次數(shù)不會(huì)相等，此時(shí)={正面的次數(shù)≤反面的次數(shù)}={正面的次數(shù)＜反面的次數(shù)}={反面的次數(shù)＞正面的次數(shù)},

由于正面與反面所處的地位是對(duì)稱的，則第40頁/共56頁第39頁/共56頁P(yáng){正面的次數(shù)＞反面的次數(shù)}=P{反面的次數(shù)＞正面的次數(shù)}所以，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，={正面的次數(shù)≤反面的次數(shù)}={正面的次數(shù)=反面的次數(shù)}+{正面的次數(shù)＜反面的次數(shù)}第41頁/共56頁第40頁/共56頁所以，P{正面的次數(shù)＞反面的次數(shù)}==1-P{正面的次數(shù)=反面的次數(shù)}-P{正面的次數(shù)＜反面的次數(shù)}=P{正面的次數(shù)＜反面的次數(shù)}

由于正面與反面所處的地位是對(duì)稱的，則P{正面的次數(shù)＞反面的次數(shù)}=P{反面的次數(shù)＞正面的次數(shù)}第42頁/共56頁第41頁/共56頁于是，P{正面的次數(shù)＞反面的次數(shù)}=第43頁/共56頁第42頁/共56頁二、幾何概型

定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為其中，是事件A的度量，是樣本空間的度量。上式所定義的概率通常稱為幾何概率。第44頁/共56頁第43頁/共56頁

例1.15(會(huì)面問題)甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.

解以x,y分別表示甲、乙到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)刻，以A表示事件“兩人能會(huì)面”，則樣本空間可表示為:事件A可表示為:第45頁/共56頁第44頁/共56頁

這是一個(gè)幾何概率問題（如圖所示），所求概率為:第46頁/共56頁第45頁/共56頁

類似問題：甲乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)?？?jī)伤逸喆拇a頭停泊，它們等可能地在一晝夜內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)。如果甲船的停泊時(shí)間是一小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是兩小時(shí)，求它們中的任何一艘都不須等候碼頭空出的概率。第47頁/共56頁第46頁/共56頁

【例】從區(qū)間(0,1)中任取兩個(gè)數(shù)，