期權(quán)定價理論課件

投資學(xué)第13章投資分析（4）：Black-Scholes期權(quán)定價模型1/16/20231概述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎模型基本假設(shè)8個無風(fēng)險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)1/16/20232無交易費(fèi)用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險利率股票交易無限細(xì)分，投資者可以購買任意數(shù)量的標(biāo)的股票對賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價格S的變化為幾何布朗運(yùn)動1/16/2023313.1維納過程根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，這種特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一種。對于隨機(jī)變量w是Wienerprocess，必須具有兩個條件：在某一小段時間Δt內(nèi)，它的變動Δw與時段滿足Δt1/16/20235（13.1）2.在兩個不重疊的時段Δt和Δs,Δwt和Δws是獨(dú)立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨(dú)立?。?3.2）有效市場1/16/20236滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當(dāng)時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨機(jī)變量Δwt的滿足1/16/20237在連續(xù)時間下，由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以，概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過程，稱為維納過程。1/16/2023913.2ITO定理一般維納過程(GeneralizedWienerprocess)可表示為（13.5）顯然，一般維納過程的性質(zhì)為1/16/202310一般維納過程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程1/16/202311ITO定理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標(biāo)t）令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可以表示為（13.7）1/16/202313證明：將（13.7）離散化由（13.1）知利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為（13.8）1/16/202314在連續(xù)時間下，即因此，（13.8）可以改寫為（13.9）從而1/16/202315由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）1/16/202317由于Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當(dāng)Δt→0時，由（13.9）可得■1/16/20231813.3B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為1/16/202319下面將證明該組合為無風(fēng)險組合，在Δt時間區(qū)間內(nèi)收益為1/16/202321注意到此時Δπ不含有隨機(jī)項w，這意味著該組合是無風(fēng)險的，設(shè)無風(fēng)險收益率為r，且由于Δt較小（不采用連續(xù)復(fù)利），則整理得到1/16/202322B-S微分方程的意義衍生證券的價格f，只與當(dāng)前的市價S，時間t，證券價格波動率σ和無風(fēng)險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風(fēng)險中性定價，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動，都可以采用B-S微分方程求出價格f。1/16/202323令則這樣由伊藤引理得到即1/16/202325由（13.1）1/16/202326則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以1/16/202327（1）設(shè)當(dāng)前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，若已經(jīng)當(dāng)前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導(dǎo)（13.13）1/16/202329（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風(fēng)險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風(fēng)險回報，則這表明：在風(fēng)險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風(fēng)險利率。1/16/202330（2）在風(fēng)險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為（13.16）1/16/202331由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為（13.17）第1項第2項將由(13.16)得到1/16/202332（3）化簡（13.17）中的第1、2項，先化簡第1項（13.18）當(dāng)前時刻價格，不是變量1/16/202333（13.19）1/16/202334將（13.19）與（13.18）內(nèi)的第2個指數(shù)項合并，即（13.20）1/16/202335將（13.20）代入（13.18）下面，將利用變量代換來簡化（13.21），不妨令（13.21）1/16/2023361/16/202337y的積分下限為y的積分上限為1/16/202338將dy與y代入（13.21），即有這樣就完成了第1項的證明。（13.22）1/16/202339下面證明B-S公式中的第2項，首先進(jìn)行變量代換，令1/16/202340則z的積分下限z的積分上限1/16/202341將z和dz代入（13.23）1/16/202342則由（13.22）和（13.23）得到其中1/16/202343pr0dN(d)例如:當(dāng)d＝1.96時,N(d)＝913.5%1/16/202344B-S買權(quán)公式的意義N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。1/16/202345其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。假設(shè)兩個N(d)均為1，看漲期權(quán)價值為St-Xe-rT，則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì)1/16/202346Factor

EffectonvalueStockprice increasesExerciseprice decreasesVolatilityofstockprice increasesTimetoexpiration increasesInterestrate increasesDividendRate decreasesFactorsInfluencingOptionValues:CallsSo=100 X=95r=0.10 T=0.25(quarter)=0.50d1=[ln(100/95)+(0.10+(052/2))]/(05×0.251/2) =0.43d2=0.43+((050.251/2) =0.18N(0.43)=0.6664，N(0.18)=0.5714CallOptionExample1/16/202348Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100X.6664-95e-.10X.25X.5714Co=13.70P=Xe-rT[1-N(d2)]-S0[1-N(d1)]CallOptionValue1/16/20234913.6看跌期權(quán)的定價利用金融工程的原理來看待期權(quán)平價關(guān)系考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)1/16/202350組合A到期時刻T的收益組合B到期時刻T的收益兩個組合具有相同的價格，且由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，則在t時刻兩個組合價值相等，否則就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價公式。1/16/202351從幾何圖性上看，二者對影響期權(quán)的關(guān)鍵指標(biāo)都進(jìn)行了負(fù)向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。1/16/202352標(biāo)的資產(chǎn)價格期權(quán)價值1/16/20235313.7有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（St－I）代替B-S公式中的St當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將1/16/202354對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為其中：F為到期日期貨的價格，即付出X，得到一個價值為F的期貨1/16/202355根據(jù)泰勒公式對期權(quán)價格進(jìn)行二階展開，忽略高階項DeltaThetaVegaRhoGamma13.8B-S公