音叉受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)

音叉的受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)、預(yù)備問題1、 實(shí)驗(yàn)中策動(dòng)力的頻率為200Hz時(shí)，音叉臂的振動(dòng)頻率為多少？2、 實(shí)驗(yàn)中在音叉臂上加砝碼時(shí)，為什么每次加砝碼的位置要固定？二、實(shí)驗(yàn)原理1、音叉的電磁激振與拾振將一組電磁線圈置于鋼質(zhì)音叉臂的上下方兩側(cè)，并靠近音叉臂。對(duì)驅(qū)動(dòng)線圈施加交變電流，產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，使音叉臂磁化，產(chǎn)生交變的驅(qū)動(dòng)力。接收線圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感應(yīng)出音叉臂的振動(dòng)信號(hào)。由于感應(yīng)電流I*dB/dt,dB/dt代表交變磁場(chǎng)變化的快慢,其值大小取決于音叉振動(dòng)的速度,速度越快,磁場(chǎng)變化越快,產(chǎn)生的電流越大,從而使測(cè)得的電壓值越大。所以,接收線圈測(cè)量電壓值獲得的曲線為音叉受迫振動(dòng)的速度共振曲線相應(yīng)的輸出電壓代表了音叉的速度共振幅值。1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)與阻尼振動(dòng)物體的振動(dòng)速度不大時(shí)，它所受的阻力大小通常與速率成正比，若以F表示阻力大小，可將阻力寫成下列代數(shù)式：dxF二一丫卩=—丫 （1）dt式中Y是與阻力相關(guān)的比例系數(shù)，其值決定于運(yùn)動(dòng)物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)等的性質(zhì)。物體的上述振動(dòng)在有阻尼的情況下，振子的動(dòng)力學(xué)方程為：d2xdxm=———dt2dt其中m為振子的等效質(zhì)量，k為與振子屬性有關(guān)的勁度系數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k y令①2= ,2§=，代入上式可得：0m m竺+25竺+e2x=0dt2 dt0式中?0是對(duì)應(yīng)于無阻尼時(shí)的系統(tǒng)振動(dòng)的固有角頻率，5為阻尼系數(shù)。當(dāng)阻尼較小時(shí)，式（2）的解為：x二Aecos（①t+9） （3）00式中①二?2-62。勺0由公式（3）可知，如果6=0,則認(rèn)為是無阻尼的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)x二A0cos（①t+9o），成為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在6工0,即在有阻尼的振動(dòng)情況下，此運(yùn)動(dòng)是一種衰減運(yùn)動(dòng)。從公式①=-62可知，相鄰兩個(gè)振幅最大值之間的時(shí)間間隔為：T=2乞一廠2冗 ⑷?J?2-62''02兀與無阻尼的周期T二 相比，周期變大。?02、受迫振動(dòng)實(shí)際的振動(dòng)都是阻尼振動(dòng)，一切阻尼振動(dòng)最后都要停止下來．要使振動(dòng)能持續(xù)下去，必需對(duì)振子施加持續(xù)的周期性外力，使其因阻尼而損失的能量得到不斷的補(bǔ)充．振子在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)，而周期性的外力又稱驅(qū)動(dòng)力．實(shí)際發(fā)生的許多振動(dòng)都屬于受迫振動(dòng)．例如聲波的周期性壓力使耳膜產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，電磁波的周期性電磁場(chǎng)力使天線上電荷產(chǎn)生的受迫振動(dòng)等。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)驅(qū)動(dòng)力有如下的形式：F=Fcos?t0式中F為驅(qū)動(dòng)力的幅值，?為驅(qū)動(dòng)力的角頻率。0振子處在驅(qū)動(dòng)力、阻力和線性回復(fù)力三者的作用下，其動(dòng)力學(xué)方程成為TOC\o"1-5"\h\zd2x dx(5)(6)m =一丫 一kx+Fcos?(5)(6)\o"CurrentDocument"dt2 dt 0k y仍令①2二，26二，得到：0m md2x+26dt2\o"CurrentDocument"dx Fd2x+26dt2+?2x=—ocos?t

dt0m微分方程理論證明，在阻尼較小時(shí)，上述方程的解是：x=Ae-6tcos(J?2-621+p)+Acos(?t+p)000

式中第一項(xiàng)為暫態(tài)項(xiàng)，在經(jīng)過一定時(shí)間之后這一項(xiàng)將消失，第二項(xiàng)是穩(wěn)定項(xiàng)．在振子振動(dòng)一段時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定后，其振動(dòng)式即成為：x=Acos(①t+Q) (8)應(yīng)該指出，上式雖然與自由簡(jiǎn)諧振動(dòng)式(即在無驅(qū)動(dòng)力和阻力下的振動(dòng))相同，但實(shí)質(zhì)已有所不同.首先其中①并非是振子的固有角頻率,而是驅(qū)動(dòng)力的角頻率，其次A和9不決定于振子的初始狀態(tài)，而是依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和驅(qū)動(dòng)力的特征。事實(shí)上，只要將式(8)代人方程(6)，就可計(jì)算出F0 ==—3門2+實(shí)上，只要將式(8)代人方程(6)，就可計(jì)算出F0 ==—3門2+(3m-匕)23m>-Ytg9= k3m——3k其中：32= ,丫=28-m0m在穩(wěn)態(tài)時(shí)，振動(dòng)物體的速度dx / 兀、v= =v cos(3t+9——)dtmax 2其中vmaxF=a(9)(10)(11)12)72+(3m-土)2J 33、共振在驅(qū)動(dòng)力幅值F固定的情況下，應(yīng)有怎樣的驅(qū)動(dòng)角頻率3才可使振子發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng)?0這是個(gè)有實(shí)際意義的問題。下面分別從振動(dòng)速度和振動(dòng)位移兩方面進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。3.1速度共振從相位上看，驅(qū)動(dòng)力與振動(dòng)速度之間有相位差9+?！?,—般地說，外力方向與物體運(yùn)動(dòng)方向并不相同，有時(shí)兩者同向，有時(shí)兩者反向。同向時(shí)驅(qū)動(dòng)力做正功，振子輸人能量；反向時(shí)驅(qū)動(dòng)力做負(fù)功，振子輸出能量。輸人功率的大小可旳-v計(jì)算。設(shè)想在振子固有頻率、阻尼大小、驅(qū)動(dòng)力幅值F均固定的情況下，僅改變驅(qū)動(dòng)力的頻率3，則不0難得知，如果滿足最大值3m—k3=0時(shí)，振子的速度幅值v就有最大值。max由3m—k：3=0可得：I1k F F 、亠口」 兀3=3= ，V=o=—，這時(shí)tg9T8，9=-—0m max丫 28m 2

由此可見，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于振子固有頻率時(shí)，驅(qū)動(dòng)力將與振子速度始終保持同相，于是驅(qū)動(dòng)力在整個(gè)周期內(nèi)對(duì)振子做正功，始終給振子提供能量，從而使振子速度能獲得最大的幅值。這一現(xiàn)象稱為速度共振。速度幅值V隨①的變化曲線如圖1所示。max顯然丫或S值越小，V??關(guān)系曲線的極值越大。描述曲線陡峭程度的物理量一般max13)13) 0——①一①21其中f為3其中f為30對(duì)應(yīng)的頻率為Vmax下降到最大值的0.707倍時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率值。圖1速度共振曲線圖2位移共振曲線3.2、位移共振驅(qū)動(dòng)力的頻率①為何值時(shí)才能使音叉臂的振幅A有最大值呢？對(duì)式（9）求導(dǎo)并令其一階導(dǎo)為零，即可求得A的極大值及對(duì)應(yīng)的①值為：14)F14) 0—2m§1.①2-82015)由此可知，在有阻尼的情況下，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的圓頻率3=3時(shí)，音叉臂的位移振幅Ar有最大值，稱為位移共振，這時(shí)的?<?0o位移共振的幅值A(chǔ)隨?的變化曲線如圖2所示。由（14）式可知，位移共振幅值的最大值與阻尼8有關(guān)。阻尼越大，振幅的最大值越??；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多場(chǎng)合，由于阻尼8很小，發(fā)生共振時(shí)位移共振幅值過大，從而引起系統(tǒng)的損壞，這是我們需要十分重視的。

比較圖1和圖2可知，速度共振和位移共振曲線不完全相同。對(duì)于有阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)速度發(fā)生共振時(shí)，位移并沒有達(dá)到共振。其原因在于，對(duì)于作受迫振動(dòng)的振子在平衡點(diǎn)有最大幅值的速度時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力也達(dá)到最大，于是在平衡點(diǎn)上的最大動(dòng)能并沒有能全部轉(zhuǎn)變?yōu)榛剞D(zhuǎn)點(diǎn)上的勢(shì)能，以致速度幅值的最大并不對(duì)應(yīng)位移振幅的最大.這就是位移共振與速度共振并不發(fā)生在同一條件下的原因.顯然，如果阻尼很小，兩種共振的條件將趨于一致，這一點(diǎn)也可從圖2的位移共振曲線清楚地看出來。4、音叉的振動(dòng)周期與質(zhì)量的關(guān)系從公式(4)T=竺二竺可知，在阻尼8較小、可忽略的情況下有:3Ai'ro2-82

'02兀 小:m(16)q =2兀一(16)3 k0這樣我們可以通過改變質(zhì)量m,來改變音叉的共振頻率。我們?cè)谝粋€(gè)標(biāo)準(zhǔn)基頻為256Hz的音叉的兩臂上對(duì)稱等距開孔，可以知道這時(shí)的T變小，共振頻率f變大；將兩個(gè)相同質(zhì)量的物塊mX對(duì)稱地加在兩臂上，這時(shí)的T變大，共振頻率f變小。從式(16)可知這時(shí)：T2= -(m+m) (17)k0x '，其中k為振子的勁度系數(shù)，為常數(shù)，它與音叉的力學(xué)屬性有關(guān)。m0為不加質(zhì)量塊時(shí)的音叉振子的等效質(zhì)量，mX為每個(gè)振動(dòng)臂增加的物塊質(zhì)量。由式(17)可見，音叉振動(dòng)周期的平方與質(zhì)量成正比。由此可由測(cè)量音叉的振動(dòng)周期來測(cè)量未知質(zhì)量，并可制作測(cè)量質(zhì)量和密度的傳感器。三、實(shí)驗(yàn)儀器音叉受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀包括260Hz左右基頻的鋼質(zhì)音叉，2個(gè)電磁激振線圈、阻尼裝置、4對(duì)加載質(zhì)量塊(由小到大為5g一對(duì)、10g兩對(duì)、15g—對(duì)，其中一對(duì)10g的可以作為未知質(zhì)量塊)、測(cè)試架、音頻信號(hào)發(fā)生器、三位半2V交流數(shù)字電壓表等。音叉受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀四、實(shí)驗(yàn)步驟1、 將實(shí)驗(yàn)架上的驅(qū)動(dòng)器連線接至實(shí)驗(yàn)儀的驅(qū)動(dòng)信號(hào)的“輸出”端，實(shí)驗(yàn)架上的接收器接至實(shí)驗(yàn)儀的測(cè)量信號(hào)“輸入”端。驅(qū)動(dòng)波形和接收波形的輸出可以連接到示波器觀測(cè)。測(cè)量信號(hào)“輸入”端內(nèi)部與交流電壓表相連。連接好儀器后接通電源，使儀器預(yù)熱10分鐘。2、 測(cè)量不同狀態(tài)下音叉的速度幅頻特性、以及相應(yīng)的共振頻率和輸出電壓Umaxmax音叉的不同狀態(tài)包括自由（無阻尼）狀態(tài)和不同阻尼狀態(tài)（要求至少測(cè)量?jī)煞N不同的阻尼狀態(tài)）。測(cè)量時(shí)應(yīng)先找到大概的共振頻率，同時(shí)選擇一個(gè)合適的驅(qū)動(dòng)信號(hào)輸出幅度（選定后整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中保持不變），然后按照頻率由低到高，測(cè)量數(shù)字電壓表示值U與驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率f之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)表格如下圖所示），注意在共振頻率附近數(shù)據(jù)應(yīng)密集一些，確保找準(zhǔn)共振頻率。驅(qū)動(dòng)信號(hào)輸出幅度： 阻尼大小：f(Hz)U（V）3、在無阻尼狀態(tài)下，將不同質(zhì)量塊（5g、10g、15g、20g、25g）分別加到音叉雙臂指定的位置上，并用螺絲旋緊。測(cè)