電磁場-概述、矢量分析

電磁場與電磁波2023年1月16日張瑞峰zhangruifeng@教材&參考書自編教材“電磁場與電磁波”畢德顯，“電磁場理論”盧榮章，“電磁場與電磁波基礎”謝處方，“電磁場與電磁波”P.勞蘭，D.R.考森，陳成鈞譯，“電磁場與電磁波”網(wǎng)易公開課，MIT，WalterLewin

，“電與磁”/special/opencourse/electricity.html學習態(tài)度和方法電磁場難學，但無法回避，整個民族不能永遠停留在為發(fā)達國家代工的水平上，需要在高科技領域有自己的知識產(chǎn)權?！霸陂蠙烨驁錾希覀兛偸钦f其他隊戰(zhàn)勝不了我們。我們必須堅信我們不能打垮我們自己。所有人都必須這么做，確保自己不要被自己打垮。你會發(fā)現(xiàn)，來得容易的東西總是一文不值。事實上，我從來沒有看到哪位橄欖球運動員帶著微笑完成阻截的。從來沒有。”（伍迪?海耶斯，大學橄欖球教練，1986年在俄亥俄州立大學的畢業(yè)典禮演講）本課的學習方法掌握整個電磁場理論的知識體系結構:場和波，場分為靜態(tài)場和時變電磁場，靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場和恒定磁場。波只涉及最簡單的均勻平面電磁波。另外還可以從電磁學的發(fā)展歷史入手，關注幾個里程碑式的大科學家，建立發(fā)展脈絡。對于每一種場的描述都遵循亥姆霍茲定理，即需要了解場的旋度、散度方程和邊界條件，矢量場可唯一確定。然后是其對應的能量和力，再者是其對應的工程物理量。如何面對數(shù)學問題復習高等數(shù)學和場論查字典式，用什么找什么，無需全盤重來在數(shù)學推導過程中強化物理概念，不要把本課程當成大學物理和高數(shù)的混合升級，數(shù)學只是工具，一種描述語言，重要的是物理思想和邏輯，不能由于數(shù)學的復雜牽扯了我們太多精力，就忽略電磁場的意義。電磁場理論的應用領域軍用航空航天衛(wèi)星通信移動互聯(lián)網(wǎng)（平板電腦PAD智能手機SmartPhone）物聯(lián)網(wǎng)（IternetofThings）無線傳感網(wǎng)（WSN）（UWB和空白電視頻段:超級WiFi，16Mbps,10Km）無線供電(電磁感應無線電波電磁共振)，能量獲取微波能近距離無線通信（NFC），手機錢包電子產(chǎn)品的EMC靜電放電（ESD）問題太赫茲波2023/1/167標量場和矢量場矢量與矢量場的不變特性矢量的通量散度矢量的環(huán)流旋度標量場的梯度亥姆霍茲定理小結矢量分析2023/1/16

JinJie8單位矢量：表示矢量的方向

一、

標量場和矢量場標量：實數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量。（-∞~+∞）矢量：三維空間內(nèi)既有大小又有方向特性的量，稱矢量，記為，為的模。線段表示模，箭頭是的方向。具有物理涵義的矢量：被賦予“物理單位”，含兩個變量，模與方向。物理量：任意代數(shù)量被賦予“物理單位”，具有物理意義，例如電壓，電流。其中是任意取向的單位矢量。2023/1/16

JinJie9

矢量乘法：

矢量間的除法無意義2023/1/1610?靜態(tài)場：與時間無關.?動態(tài)場或時變場：與空間和時間有關。?標量場：只需用標量函數(shù)描繪的場。例：?矢量場：需要物理矢量描繪的場。例：力場，流速場。

場：物理量數(shù)值的無窮集合表示一種場。例溫度場與空間、時間有關。場重要屬性：占有空間；除有限個點和面而外，場量處處連續(xù)2023/1/1611矢量場可以分解為三個分量場其中為位置矢量，從坐標原點指向空間位置點，為三個標量場。?場圖：研究標量場和矢量場在空間逐點演變情況的直觀方法。圖0.1.1等值線矢量分析2023/1/16

12場線微分方程：：力線切向微分矢量，矢量分析方向為切向方向。2023/1/16

JinJie13二、

矢量與矢量場的不變特性（指與坐標系關系）(1)空間點的曲線坐標與坐標系

空間中任一點與有序數(shù)一一對應，則稱為空間點的曲線坐標。坐標曲線相互正交，且符合右手定則，即三種常用的坐標系：

2023/1/16

JinJie14圓柱坐標（特點見附錄1）2023/1/16

JinJie15圓柱坐標中的體積元2023/1/16

JinJie16球坐標（特點見附錄1）2023/1/16

JinJie17球坐標中的線元2023/1/16

JinJie18(3)矢量不變性：(2)唯一：當一定時，、是唯一的。與所選坐標系無關。矢量與矢量場的不變特性2023/1/16

JinJie19例1有一個二維矢量場，求：力線方程，繪制場圖。力線微分方程即力線方程為圓方程。兩邊同時積分，整理得再觀察矢量的特點，有解：2023/1/16

JinJie20單位矢量即：，定性描述場圖為圖1.2.2，密度正比于r。若在圓柱坐標下：2023/1/16

JinJie21三、

矢量的通量和散度

(面元方向)⑴面元矢量：2023/1/1622矢量分析⑵通量：矢量垂直穿過一個曲面的總量注意：通量是標量穿過任意閉合面上的通量有特殊意義：其中為矢量與的夾角2023/1/1623矢量分析⑶散度：研究矢量場在一個點附近的通量特性。表示從該點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的通量，表征通量源強度，又稱散度源（稱矢量場通量源）與大小形狀無關，與沿空間位置變化有關。直角坐標系下：圓柱坐標系下：球坐標系下：2023/1/1624

引入拉梅系數(shù)使三種坐標系中矢量散度用統(tǒng)一表達式描述。直角坐標中的拉梅系數(shù)值：1，1，1球坐標中的拉梅系數(shù)值：圓柱坐標中的拉梅系數(shù)值：拉梅系數(shù)：矢量散度統(tǒng)一表達式2023/1/1625矢量分析例3：矢量場,計算穿過一個球心原點、半徑為a的球面的通量，并求散度。解：采用球坐標球坐標直角坐標與坐標系無關。2023/1/1626矢量分析⑷散度定理：(高斯定理）由可得：揭示了散度與通量關系。上題：已知，則球面的通量2023/1/16271、線積分：四、

矢量的環(huán)流、旋度若為流體速度矢量環(huán)流是描述矢量場的重要物理量2、環(huán)流：矢量沿閉合曲線的線積分2023/1/16283、旋度：環(huán)流的面密度，表征每個點附近的環(huán)流狀態(tài)，其值與面元及環(huán)流矢量有關，其中最大值為旋度。記為（即旋渦面與面元矢量相重合時）公式：直角坐標系下其中為任意面元，在矢量上投影為。2023/1/1629

圓柱坐標系下：球坐標系下：2023/1/1630

引入拉梅系數(shù)使三種坐標系中矢量旋度用統(tǒng)一表達式描述。矢量旋度統(tǒng)一表達式2023/1/1631例1.4.1求矢量場沿面內(nèi)的積分及。

矢量分析∴解：∵代入得：2023/1/16

JinJie32矢量分析4、旋度的性質(zhì)：旋度的散度恒等于零，即證明：利用此性質(zhì)，若，可令滿足：2023/1/16

JinJie335、斯托克斯定理斯托克斯定理

是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為由右圖可知2023/1/1634

斯托克斯定理提供了計算環(huán)流的又一方法。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。

該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關系在電磁場理論中，散度定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。斯托克斯定理2023/1/1635

1、標量場的梯度

梯度的模是的最大增加率，方向是等值面的法線方向，即增加率最大方向且指向u值增加方向。五、

標量場的梯度

引入拉梅系數(shù)用統(tǒng)一表達式描述梯度。拉梅系數(shù)：直角坐標中的拉梅系數(shù)值：1，1，1球坐標中的拉梅系數(shù)值：圓柱坐標中的拉梅系數(shù)值：2023/1/16362023/1/16372、梯度性質(zhì)：①表征標量的增量2023/1/1638③梯度的旋度恒為零（重要性質(zhì)）

矢量分析②梯度是與等值面垂直的量應用：若在場中各點有，則可用某一標量場的梯度表示，即：2023/1/16

JinJie39例1.5.1求二維標量場的梯度，并取任一回路，證明解：選aoca

閉合回路為證畢ac2023/1/1640矢量分析六、

亥姆霍茲定理

當散度源、旋度源分布確定，矢量場就唯一確定了。

矢量場有兩種不同性質(zhì)的場：若矢量場：1、無旋場（具有散度源）：

標量場的性質(zhì)完全由它的梯度來表明。則為無旋場，即：可用標量場的梯度表示，標量場稱為位場或勢場，具有保守性。即2023/1/1641例如:靜電場為無旋場，2023/1/1642

若矢量場僅由旋度源產(chǎn)生，則3、亥姆霍茲定理任一矢量場都可以表示為一標量場的梯度與另一矢量場的旋度之和。即無旋場與無散場之和。即空間各點散度為0。此時2、無散場（具有旋度源）

即可用矢量的旋度表示。亥姆霍茲定理：若矢量場在無限空間中處處單值，且導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為：2023/1/1643矢量分析式中：

由亥姆霍茲定理，在無界空間中，當矢量連續(xù)，散度、旋度給定，就可通過積分計算出任一點的矢量場。2023/1/1644小結

矢量場在閉合面S的通量定義為，它是一個標量；矢量場的散度也是一個標量，定義為

我們討論的電磁場是具有確定物理意義的矢量場，這些矢量場在一定的區(qū)域內(nèi)具有一定的分布規(guī)律，除有限個點或面以外，他們都是空間坐標的連續(xù)函數(shù)。矢量場在閉合路徑C的環(huán)流定義為，它是一個標量 矢量場的旋度是一個矢量，它定義為2023/1/1645標量場u(r)中，梯度的定義為 ， 其中 為 變化