第六章方差分析-

第六章方差分析ANOVA（AnalysisofVariance)方差分析的基本原理多重比較單向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換t檢驗(yàn)法只適用于兩個(gè)處理平均數(shù)間差異顯著性檢驗(yàn)。1、計(jì)算工作量大2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏度降低對多個(gè)處理平均數(shù)進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)，不宜采用t檢驗(yàn)法，須采用方差分析法。第一節(jié)方差分析的基本原理方差分析是按照設(shè)計(jì)類型將變量的總變異分解為若干部分，再通過比較各部分的變異做出統(tǒng)計(jì)推斷的檢驗(yàn)方法。自由度和平方和的分解F分布與F測驗(yàn)組別觀察值(xij,i=1,2,…,k;j=1,2,…,n)總和平均均方１x11x12…x1j…x1nT1s12２x21x22…x2j…x2nT2s22………………………ixi1xi2…xij…xinTisi2………………………kxk1xk2…xkj…xknTksk2設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組有n個(gè)觀察值一、自由度和平方和的分解平方和與自由度的分解

在方差分析中是用樣本方差即均方（meansquares）來度量數(shù)據(jù)資料的變異程度。將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方?？傋儺惼椒胶停═otalvariation）：

：分解為處理間（betweengroupvariation）變異平方和與處理內(nèi)（withingroupvariation)變異平方和兩部分；總自由度：分解為處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來。試驗(yàn)數(shù)據(jù)有三個(gè)不同的變異（表5.1）用離均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示變異的大小

自由度和平方和的分解總自由度DFT＝組間自由度DFt＋組內(nèi)自由度DFe總平方和SST＝組間平方和SSt+組內(nèi)平方和SSe總的均方：組間的均方：組內(nèi)的均方：

均方差，均方(meansquare，MS)各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即注意：總均方不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。自由度和平方和的分解

以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種藥劑處理水稻種子，其中Ａ為對照，每處理各得４個(gè)苗高觀察值(cm)，其結(jié)果列于下表，試分解其平方和與自由度藥劑苗高觀察值總和Ti平均Ａ182120137218Ｂ202426229223Ｃ101517145614Ｄ2827293211629T=336=21自由度和平方和的分解總變異自由度：DFT=(nk-1)=(44)-1=15藥劑間自由度：DFt=(k-1)=4-1=3藥劑內(nèi)自由度：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12矯正數(shù)總的平方和：組間平方和：組內(nèi)平方和：

1.總變異:

所有測量值之間總的變異程度，計(jì)算公式校正系數(shù)：二、F分布與F測驗(yàn)變異來源DFSSMSFF臨界值處理間350416820.56**F0.05(3,12)=3.49F0.01(3,12)=5.95處理內(nèi)（誤差）12988.17總15602F>=F0.05,P<=0.05,否定H0，處理間差異（極）顯著S,為大方差，處理間方差；S2為小方差，處理內(nèi)方差某大型連鎖超市為研究各種促銷方式的效果，選擇下屬4個(gè)門店，分別采用不同促銷方式，對包裝食品各進(jìn)行了4個(gè)月的試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果如下：超市管理部門希望了解：⑴不同促銷方式對銷售量是否有顯著影響？⑵哪種促銷方式的效果最好？

【案例1】哪種促銷方式效果最好？促銷方式

與上年同期相比(%)

A1(廣告宣傳)

104.895.5104.2103.0

A2(有獎(jiǎng)銷售)

112.3

107.1

109.2

99.2

A3(特價(jià)銷售)

143.2150.3

184.7

154.5

A4(買一送一)

145.6111.0139.8122.7

可用SPSS軟件的【工具】→“analyze”→camparemean“One-WayANOVA”DependentList：促銷方式Factor：%Contrasts選項(xiàng):多項(xiàng)式比較PostHoc選項(xiàng):Options選項(xiàng):Descriptive描述統(tǒng)計(jì)量，Homogeneity-of-variance方差齊次性檢驗(yàn)，Meansplot均值分布圖結(jié)果除了方差分析表，還有很多選項(xiàng)相應(yīng)的結(jié)果求解單因素方差分析問題。

案例1分析其中：P-value——P值，為檢驗(yàn)中達(dá)到的顯著性水平，其含義與t檢驗(yàn)中“P(T<=t)單尾”相同。

Fcrit——在水平

（默認(rèn)0.05）下拒絕域的臨界值F?！逷-value=0.00014<0.001

故不同的促銷方式對商品銷售額有極高度顯著影響。

進(jìn)一步的分析由SPSS軟件的運(yùn)行輸出結(jié)果還直接可得到對各i的t

檢驗(yàn)結(jié)果如下（

=0.05）：

124(廣告宣傳)1(有獎(jiǎng)銷售)2(買一送一)4**(特價(jià)銷售)3***由SPSS軟件的運(yùn)行輸出結(jié)果還可得：方差分析結(jié)論：

特價(jià)銷售的效果最好，買一送一次之，廣告宣傳和有獎(jiǎng)銷售的效果最差，兩者間無顯著差異。第二節(jié)多重比較為什么要進(jìn)行多重比較怎樣進(jìn)行多重比較如何表示多重比較的結(jié)果如何選擇多重比較的方法第六章一、為什么要進(jìn)行多重比較為什么要進(jìn)行多重比較什么叫多重比較多重比較的優(yōu)點(diǎn)1.為什么要進(jìn)行多重比較？例：水稻不同藥劑處理的苗高(cm)變異來源DFSSMSF顯著F值藥劑處理間藥劑處理內(nèi)（誤差）

31250498168.008.1720.56**F

0.05(3,12)=3.49F

0.01(3,12)=5.92總1560218231429

72925611621201324262215171428272932ABCD平均總和Ti苗高觀察值藥劑經(jīng)方差分析得下表：2.什么叫多重比較

多重比較就是指在F測驗(yàn)的前提下，如果否定了無效假設(shè)，只是表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，這也僅僅說明了k個(gè)處理的平均值有顯著差異，但是并不能說明兩兩平均數(shù)間的顯著差異，這就需要進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的兩兩比較，即多重比較3.多重比較的優(yōu)點(diǎn)比較的精確度增大了所得到的結(jié)論更全面，更可靠了二、怎樣進(jìn)行多重比較常用的有：最小顯著差數(shù)法(Leastsignificantdifference,LSD法)LSD－t檢驗(yàn)（有專業(yè)意義的均數(shù)間比較）最小顯著極差法(Leastsignificantranges,LSR法):這個(gè)方法是不同平均數(shù)間的比較采用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，克服了LSD法的局限性，用于平均數(shù)間的所有相互比較）

☆

新復(fù)極差測驗(yàn)(SSR法)又稱Duncan法（newmultiplerangemethod)☆SNK－q檢驗(yàn)(studentNewmanKeuls)（多個(gè)均數(shù)間全面比較）又q檢驗(yàn)Dunnett檢驗(yàn)（多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與對照組比較）Tukey(真正顯著差法HSD:用單一值作為判斷的標(biāo)準(zhǔn))

、還有Scheffe、Waller、BON等比較方法1.最小顯著差數(shù)法(LSD法)

(2)計(jì)算最小顯著差數(shù)和；

(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

(1)列出平均數(shù)多重比較表比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；

ta:通過附表4：學(xué)生氏t值表可得到MSe為處理間誤差方差2.新復(fù)極差測驗(yàn)(SSR法)計(jì)算LSRα排序比較

LSRa=SE·SSRaSSR通過查附表8求得查表時(shí)：列為誤差自由度行p為測驗(yàn)極差的平均數(shù)個(gè)數(shù)2.新復(fù)極差測驗(yàn)(SSR法)計(jì)算LSRα排序比較

例：水稻不同藥劑處理的苗高(cm)18231429

72925611618212013202426221015171428272932ABCD平均總和Ti苗高觀察值藥劑29231814DBAC平均數(shù)處理2.新復(fù)極差測驗(yàn)(SSR法)計(jì)算LSRα排序比較

6.186.516.694.404.624.764.324.554.683.083.233.33234LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05PD-C=15**D-A=11**B-C=9**

D-B=6*B-A=5*A-C=429231814DBACP=4P=3P=2平均數(shù)處理凡兩極差≥LSRa，則為在a水平上差異顯著；反之，不顯著。3.q測驗(yàn)

與SSR法相似，唯一區(qū)別僅在計(jì)算LSRa時(shí)，不是查SSRa，而是查qa（附表7），查qa后

LSRa=SE·qa

所以不再詳述。第二節(jié)多重比較為什么要進(jìn)行多重比較怎樣進(jìn)行多重比較如何表示多重比較的結(jié)果多重比較方法的選擇三、如何表示多重比較的結(jié)果有三種方法：標(biāo)記字母法列梯形表法劃線法1.標(biāo)記字母法例：水稻不同藥劑處理的苗高(cm)18231429

72925611621201324262215171428272932ABCD平均總和Ti苗高觀察值藥劑1.標(biāo)記字母法差異顯著性

29231814DBAC0.010.05平均藥劑新復(fù)極差測驗(yàn)差異顯著性表aApLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.696A11B1.標(biāo)記字母法差異顯著性

29231814DBAC0.010.05平均藥劑新復(fù)極差測驗(yàn)差異顯著性表aApLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.69AB5B9C4C1.標(biāo)記字母法pLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.69差異顯著性

29231814DBAC0.010.05平均藥劑新復(fù)極差測驗(yàn)差異顯著性表aAABBCCbcc2.列梯形表法處理平均數(shù)差異DBAC2923181415**9**411**5*6*3.劃線法29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)第二節(jié)多重比較為什么要進(jìn)行多重比較怎樣進(jìn)行多重比較如何表示多重比較的結(jié)果多重比較方法的選擇四、多重比較方法的選擇參考以下幾點(diǎn)：試驗(yàn)事先已確定了比較的標(biāo)準(zhǔn)，如所有處理均與對照相比時(shí)，用LSDa法；根據(jù)試驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)選擇。三種方法的顯著尺度不相同，LSD法最低，SSR次之，q法最高。故對于試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大或有嚴(yán)格要求時(shí)，用q測驗(yàn)，一般試驗(yàn)可采用SSR法。第二節(jié)多重比較為什么要進(jìn)行多重比較怎樣進(jìn)行多重比較如何表示多重比較的結(jié)果多重比較方法的選擇第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（completelyrandomdesign）資料的方差分析亦稱單因素方差分析(one-wayANOVA)。用于完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的資料。研究目的是推斷各樣本所代表的總體均數(shù)是否相等。變異分解某軍區(qū)總醫(yī)院欲研究A、B、C3種降血脂藥物

對家兔血清腎素-血管緊張素轉(zhuǎn)化酶（ACE）的

影響，將26只家兔隨機(jī)分為4組，均喂以高

脂飲食，其中3個(gè)實(shí)驗(yàn)組，分別給予不同的降

血脂藥物，對照組不給藥。一定時(shí)間后測定家

兔血清ACE濃度（u/ml），問4組家兔血清ACE

濃度是否相同？

計(jì)算步驟1．建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

0H:4組家兔的血清ACE濃度總體均數(shù)相等，

4321mmmm===

1H:4組家兔的血清ACE濃度總體均數(shù)不等

或不全相等，各im不等或不全相等

05.0=a

2．計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F值

3224.4847726/)68.1122(/)(22==S=nxC

7876.84453224.4847711.569232=-=-S=CxSS總

659.372692.329)(22211+=-SS===CnxSSiijnjkij組間

3224.77.484700.191717.22922-++

3665.5515=

4211.29303665.55157876.8445SS-SS=-==組間總組內(nèi)SS

251261===－－總nn

3141=-=-=k組間n

22426=-=-=kn組內(nèi)n

1838.45553/3665.5515/==＝組間組間組間nSSMS

2010.33122/4211.2930/==＝組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)nSSMS

13.802010.133/4555.1838/===組內(nèi)組間MSMSF

例5.1的方差分析表

變異來源

SS

n

MS

F

總變異

8445.7876

25

組間變異

5515.3665

3

1838.4555

13.80

組內(nèi)變異

2930.4211

22

133.2010

3．

確定P值，并做出統(tǒng)計(jì)推斷

以31=v和222=v查附表4F界值表，得

82.4)22,3(01.0=F，01.0<P，按05.0=a

檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕0H，接受1H，可認(rèn)為4個(gè)

總體均數(shù)不等或不全相等。

注意：經(jīng)方差分析拒絕0H，接受1H時(shí)，尚

不能推斷4個(gè)總體均數(shù)間均不相等。

第三節(jié)單向分組資料的方差分析一、組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析例：研究6種氮肥施用法對小麥的效應(yīng)，每種施肥法種5盆小麥，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)。最后測定它們的含氮量（mg），試作方差分析施氮法12345612.914.012.610.514.614.012.313.813.210.814.613.312.213.813.410.714.413.712.513.613.410.814.413.512.713.613.010.514.413.712.5213.7613.1210.6614.4813.64單向分組資料的方差分析

1.自由度和平方和的分解自由度：總變異的自由度=65-1=29處理間的自由度=6-1=5誤差的自由度=6（5-1）=24平方和：（按照公式進(jìn)行計(jì)算）SST=45.763SSt=44.463SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.3002.F測驗(yàn)(見下表)變異來源DFSSMSFF0.01處理間544.4638.8926164.07**3.90誤差241.3000.0542總變異29單向分組資料的方差分析

3.各處理平均數(shù)的比較p23456SSR0.052.923.073.153.223.28SSR0.013.964.144.244.334.39LSR0.050.3040.3190.3280.3350.341LSR0.010.4120.4310.4410.4500.457單向分組資料的方差分析

多重比較結(jié)果：施氮法平均數(shù)差異顯著性５％１％５14.28aA２13.76bB６13.64bB３13.12cC１12.52dD４10.66eE單向分組資料的方差分析

二、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析例：某病蟲測報(bào)站調(diào)查四種不同類型的玉米田28塊，每塊田所得玉米螟的百叢蟲口密度列于下表，試問不同類型玉米田的蟲口密度是否有顯著差異？田塊類型編號Tiyini1234567811213141515161710214.57721410111314117312.1763921011121312118010.00841211109810127210.297T=32711.6828單向分組資料的方差分析

方差分析結(jié)果：變異來源DFSSMSFF0.01田塊類型396.1332.045.91**4.72誤差24129.985.42總變異27226.11單向分組資料的方差分析第四節(jié)兩向分組資料的方差分析一、組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析例：用生長素處理豌豆，共6個(gè)處理。豌豆種子發(fā)芽后，分別在每一箱中移植4株，每組6個(gè)木箱，每箱1個(gè)處理。試驗(yàn)共有4組24箱，試驗(yàn)時(shí)按組排列于溫室中，使同組各箱的環(huán)境條件一致。然后記錄各箱見第一朵花時(shí)4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，其結(jié)果為：處理組總和平均1234對照6062616024360.8赤霉素6565686526365.8動力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌呤6265626425363.3馬來酸6162626525062.5總和375382377375T=15091自由度和平方和的分解2F測驗(yàn)3各處理平均間比較方差分析結(jié)果為：變異來源DFSSMSFF0.05組間35.451.821處理間565.8713.174.562.90誤差1543.302.89總變異23114.62推斷：組間無顯著差異，不同生長素處理間有顯著差異。因?yàn)橛蓄A(yù)先指定的對照，故用LSD法，DF=15時(shí)，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故；LSD0.05=1.2022.131=2.56，Lsd0.01=1.2022.947=3.54平均數(shù)比較的結(jié)果為：處理平均數(shù)與對照的差數(shù)對照60.8-赤霉素65.85.0**動力精61.30.5吲哚乙酸63.83.0*硫酸腺嘌呤63.32.5馬來酸62.51.7兩項(xiàng)分組資料的方差分析

二、組內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析設(shè)有A、B兩個(gè)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)處理組合，每一組合有n個(gè)觀察值，則該資料共有abn個(gè)觀察值。例：施用A1、A2、A33種肥料于B1、B2、B33種土壤，以小麥為批示作物，每處理組合種3盆，得產(chǎn)量結(jié)果于下表：肥料種類盆土壤種類總和平均B1B2B3A1121.419.617.6169.