線性代數(shù)精品課件

線性代數(shù)（LinearAlgebra）是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學和社會科學中。線性代數(shù)是理工類、經(jīng)管類數(shù)學課程的重要內(nèi)容。在考研中的比重一般占到22%左右。在數(shù)學中的地位線性代數(shù)是討論矩陣理論、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》）。①線性代數(shù)在數(shù)學、力學、物理學和技術(shù)學科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；②在計算機廣泛應(yīng)用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設(shè)計、密碼學、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；③該學科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學訓練，增益科學智能是非常有用的；④隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。

一、引言

1995年國家教委頒布的教學大綱中指出：線性代數(shù)是高等工科本科各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。

本課程的重要性在于：

1.涉及變量之間線性關(guān)系的問題大量存在；

2.許多非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題；

3.隨著計算機的普及，人們處理多變量、多方程的能力大大提高；

4.與其它學科相互滲透，是許多學科的基礎(chǔ)。線性代數(shù)二、課程特點：時間緊、進度快；內(nèi)容較為抽象。

三、教學安排：共32學時，計劃講授前5章；期末總評成績按：平時占20%左右，期末考試占

80%左右計算。

1.要注意預(yù)習、復(fù)習；

2.及時獨立完成作業(yè)（每一章交一次作業(yè)）課代表將作業(yè)按照學號排好順序；

3.多思考、多做習題；

4.注意培養(yǎng)自己的解理論證明題的能力。五、參考書目：王子亭等編《線性代數(shù)》典型題目分析與學習指導相關(guān)的考研輔導書。四、幾點要求：本章介紹排列的一些性質(zhì)；逆序數(shù)的計算

n階行列式的定義、性質(zhì)和計算；克萊姆法則。學習重點：

行列式的性質(zhì)和計算第一章n階行列式§1全排列及其逆序數(shù)1．全排列及其逆序數(shù)引例用1，2，3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：百位1××，2××，3××231312323121

∴可以組成6個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)注：在數(shù)學上，我們把考察的對象，例如數(shù)字1，2，3稱為元素。那么，把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法呢？這就是全排列。定義：把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列。

問題：任取一個排列，怎么來描述這個排列呢？這里我們可以引進一個次序，例如：對自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序。記作：

定義：當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱為一個逆序;一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)，記作t。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。（標準排列的逆序數(shù)為0,故為偶排列。）例如是自然數(shù)1，2，…，n的一個全排列，前面比它大的數(shù)字個數(shù)為個,則元素的逆序數(shù)為，則這個排列的逆序數(shù)為：例1：求排列32514的逆序數(shù)。解：方法一：3排在首位，逆序數(shù)為0；

2前面只有3比它大，所以2的逆序數(shù)為1；

5前面沒有比它大的數(shù)字，逆序數(shù)為0；

1前面有三位數(shù)字比它大，所以1的逆序數(shù)為3；

4前面只有5比它大，所以它的逆序數(shù)為1.

整個排列的逆序數(shù)為：0+1+0+3+1=5，這是一個奇排列。方法二：按從小到大的順序，依次求出1到5的逆序數(shù)，然后相加。追問：還有別的方法嗎？(練習)例2：求排列n(n-1)(n-2)…21的逆序數(shù)。解：t=0+1+2+…+(n-2)+(n-1)=當k為偶數(shù)時，這是一個偶排列，當k為奇數(shù)時，這是一個奇排列。的逆序數(shù)。例3求排列解:思考題：n個自然數(shù)的全排列中，偶排列共有多少個？奇排列共有多少個？2.排列的對換及其性質(zhì)

定義：在排列中，將其中任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動,就得到另一個排列，這樣一個變換叫做對換,如將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。

對換后，我們首先要考慮的是排列的逆序數(shù)變沒變？那么奇偶性呢？當時，對換后，的逆序數(shù)增加1，而的逆序數(shù)不變，其余元素的逆序數(shù)不變；當時，對換后，的逆序數(shù)不變，而定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。證明：先證相鄰對換的情形。設(shè)原排列為相鄰對換原排列變?yōu)榈钠媾夹圆煌?，即相鄰對換改變排列的奇偶性。

再證一般對換的情形：的逆序數(shù)減少1，其余元素的逆序數(shù)不變。故知，這可看成是經(jīng)過一系列相鄰對換而得到：注意相鄰對換的次數(shù)共2m+1次，故排列的奇偶性發(fā)生改變。證畢推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，

偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)?！?n階行列式的定義1.二階、三階行列式引例：二元線性方程組消元法得：分析：（1）分子，分母都是四個數(shù)分兩對相乘，再作差得到的。（2）分母相同且這四個數(shù)恰好是方程組中，未知量的系數(shù)。把這四個數(shù)按照它們在方程組中的位置排列出來：稱此為一個兩行兩列的數(shù)表，其中橫排為行，豎排為列。在這個數(shù)表兩側(cè)加上兩條豎線：稱為由上述數(shù)表所確定的二階行列式，用D表示。行列式的值就是分母的值：記作：其中數(shù)（i,j分別代表這個數(shù)所在的行與列，稱為行標與列標）由二階行列式的定義有以下結(jié)論：（1）行列式的行數(shù)與列數(shù)是相等的，稱為行列式的階數(shù)。同理有三元線性方程組可以得到三階行列式：稱為行列式的元素或元。上述計算二階與三階行列式的方法叫做對角線法則。注：（1）對角線法則只適用于二階和三階行列式，對更高階行列式不再適用。(后面解釋為什么)（2）三階行列式共有6項，每一項都是位于不同行不同列的元素相乘得到的，其中三項為正三項為負。（2）應(yīng)用對角線法則，前面的分子可以記作：的分子可以記作：方程組的解：同理對于三元線性方程組有：例1用二階行列式解方程組解：

例2.計算三階行列式解：例3.解方程（練習）解：例4.用三階行列式解三元線性方程組：解：例5.求一個二次多項式f（x),使：f（1）=0,f(2)=3,

f(-3)=28.解：設(shè)則：即：a=2,b=-3,c=12.n階行列式的定義分析三階行列式：（1）這里，每一項都是按照先寫第一行的元素，再寫第二行的元素，最后寫第三行的元素的順序來寫的，所以右端每一項的行標排列都是123.（2）列標排列：取正號的項：123；231；312.“偶排列”取負號的項：321；132；213.“奇排列”其中t為列標排列的逆序數(shù)，∑表示對1，2，3三個數(shù)的所有排列取和。其中為自然數(shù)1,2,…,n的一個排列，t為這個排列的逆序數(shù)，∑表示對1，2，…，n的所有排列取和。注:以上定義式也稱為行列式的行順序表示法。這是n階行列式的第一種表示方法。一階行列式推廣到n階行列式：定義：關(guān)于定義,提請注意以下幾點：①n階行列式一共有n!項，結(jié)果是一個數(shù)。②右端每一項都是n個元素的乘積（稱為一個乘積項）,這n個元素是由行列式的不同行、不同列的元素構(gòu)成的。③任一乘積項符號的確定：先把該項的n個元素按行標排成標準順序，然后由列標所成排列的奇偶性來決定這一項的符號。n階行列式的定義分三步走：取項，冠符，求和。數(shù)稱為行列式的元素。下面是幾種特殊類型的行列式，大家要記住這些例子的結(jié)論。常記例6證明對角行列式證明：第一式是顯然的，為證第二式，我們記除對角線上元素可能不為零外，其它元素皆為零

于是

其中t為排列的逆序數(shù)，故于是例7：證明下三角行列式對角線上方的元素全為零。證明：D中可能不為0的項只有所以此項的符號注：同理，上三角行列式：上三角行列式與下三角行列式統(tǒng)稱為三角行列式。3.行列式的列順序表示任取一項：是標準排列，t為的逆序數(shù)新的行標排列為新的列標排列為則它的逆序數(shù)r為奇數(shù)，即記它的逆序數(shù)為，則結(jié)論調(diào)換行列式的乘積項中兩元素的次序，標排列與列標排列的逆序數(shù)之和不改變奇偶性。（調(diào)換若干次以后，列表排列為標準排列）定理2(列順序表示法)n階行列式也可定義為注：n階行列式的第三種表示方法：其中s為行標排列的逆序數(shù)；的逆序數(shù)。t為列標排列其中s為行標排列的逆序數(shù)。練習：已知f（x）=求f（x）中的系數(shù)。解將按行標排列成標準順序得，此時列標排列為431265，它的逆序數(shù)t=0+1+2+2+0+1=6

故本項應(yīng)帶正號。例1.在6階行列式中，項應(yīng)帶什么符號？注：（1）本題還有其它解法嗎？（2）練習：