能量法-第九章

材料力學第九章能量法2第九章能量法§9-1概述§9-2桿件變形能的計算§9-3互等定理§9-6單位載荷法莫爾積分§9-4卡氏定理§9-7

計算莫爾積分的圖乘法§9-5虛功原理習題解答3§9-1概述

一、能量法利用與功和能有關(guān)的一些定理（能量原理）求解可變形固體的位移、變形等的方法.對于彈性體，不考慮其他能量的損失，外力作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.二、功能原理

U=W三、外力功固體在外力作用下變形，引起力作用點沿力作用方向位移，外力因此而做功，則成為外力功.在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性變形能，簡稱變形能.四、變形能4§9-2桿件變形能的計算1、軸向拉壓的變形能當軸力或截面發(fā)生變化時：當軸力或截面連續(xù)變化時：當軸力不變且為等直桿時：52、扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能3、彎曲變形的變形能純彎曲橫力彎曲變形能等于內(nèi)力的平方乘以構(gòu)件的長度再除以2倍的剛度，若內(nèi)力或剛度為變量時，將長度取為微量再積分64、組合變形的變形能截面上存在幾種內(nèi)力，力獨立作用原理成立，各個內(nèi)力只對其相應(yīng)的位移做功.5、變形比能（J/m3)單位體積的應(yīng)變能.記作u

7例9－1、試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFl解：由U=W得x8例9-2、試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面的撓度。ABCFabl解：x1x2由U=W得9例9-3、試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI為常量。ABFOR解：θ由U=W得10注意：1、注意常力做功與變力做功的區(qū)別2、多個外力引起的同種變形能不能簡單疊加而是要算出合內(nèi)力后，再用變形能公式計算；4、功能原理只能計算構(gòu)件只作用一個力，力的作用點沿作用方向的位移。mF2F1TTFFABF2F1C3、如果各外力相互獨立，即引起的變形互不相同，此時不同的變形能可以疊加。11例題9-4、拉桿在線彈性范圍內(nèi)工作.抗拉剛度EA，受到F1和F2兩個力作用.若先在B截面加F1，然后在C截面加F2；若先在C截面加F2，然后在B截面加F1.分別計算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能.ABCabF1F212(1)先在B截面加F1，然后在C截面加F2ABCabF1在B截面加F1，變形能為再在C上加F2，變形能為：F2在加F2

后，B截面有位移F1作功常力作功所以變形能為13(2)若先在C截面加F2，然后B截面加F1.在C截面加F2，變形能為：在B截面加F1，

變形能為：ABCabF1F2加

F1引起C截面的位移在加F1過程中F2作功（常力作功）所以變形能為變形能只與外力的最終值有關(guān)與加載過程和加載次序無關(guān)14兩力作用點沿力作用方向的位移分別為F1，F(xiàn)21、設(shè)在線彈性結(jié)構(gòu)上作用力1，2一、功的互等定理§9-3互等定理12F1F215F1F212F1和F2完成的功應(yīng)為2、在結(jié)構(gòu)上再作用有力F3，F(xiàn)4沿F3和F4方向的相應(yīng)位移為3,4F334F4F3和F4完成的功應(yīng)為163、在F3和F4的作用下，F(xiàn)1

和F2的作用點又有位移F1和F2在1′和2′上完成的功應(yīng)為F1F212F334F4，因此，按先加F1，F(xiàn)2后F3，F(xiàn)4的次序加力，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為17F1F21234F4F3若按先加F3，F(xiàn)4后加F1，F(xiàn)2的次序加力，又可求得結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為由于應(yīng)變能只決定于力和位移的最終值，與加力的次序無關(guān),故18功的互等定理:第一組力在第二組力引起的位移(沿第一組力的方向)上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移(沿第二組力的方向)上所作的功。二、位移互等定理若第一組力只有F1，第二組力只有F3，則如果F1=

F3，則有FF19位移互等定理：三、注意1、力和位移都應(yīng)理解為廣義的。2、這里是指結(jié)構(gòu)不可能發(fā)生剛性位移的情況下，只是由變形引起的位移。如果兩個力大小相等，那么第一個力引起第二個力作用點的位移等于第二力引起的第一個力作用點的位移（位移均沿力的作用方向）.2021i設(shè)彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移。作用有外力：F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)i，相應(yīng)的位移為：1，

2，，

i

，§9-4卡氏定理F1F2Fi結(jié)構(gòu)的變形能21只給Fi一個增量Fi.引起所有力的作用點沿力方向的位移增量為21iF1F2Fi在作用Fi的過程中，F(xiàn)i完成的功為原有的所有力完成的功為結(jié)構(gòu)變形能的增量為22把原來的力(F1，F(xiàn)2…Fi)看作第一組力，把Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當Fi

趨于零時，上式為這就是卡氏第二定理（卡氏定理）23(1)卡氏第二定理只適用于線性彈性體。說明

(2)Fi為廣義力,i

為相應(yīng)的位移。一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移

(3)i

為Fi作用點沿Fi方向的位移。24卡氏第二定理的應(yīng)用軸向拉、壓扭轉(zhuǎn)彎曲25平面桁架組合變形位移等于內(nèi)力乘以內(nèi)力對載荷的偏導數(shù)除以剛度后乘以長度的微量再積分載荷一定是作用在所求位移點且沿位移方向26例9－5、求和B解：AB段CA段1、列彎矩方程及求相應(yīng)的偏導數(shù)ABPCL2L2MB=PLx1x2一、求fA⊥2、求位移27AB段CA段1、列彎矩方程及求相應(yīng)的偏導數(shù)ABPCL2L2MB=PLx1x2二、求qB2、求位移28討論：下列做法錯在哪？CA段:如何求AB20kNC1m10kN.m1m29如果需求某處的位移，而該處并無與位移相應(yīng)的載荷，則可采取附加力法。即在所求位移點，沿所求位移的方向（或轉(zhuǎn)向）附加一個集中力（或集中力偶），在求得其線位移（或角位移）表達式后，再令附加的集中力（或集中力偶）為零，即得所求結(jié)果。附加力的大小任意、方向沿位移的方向、指向任意；附加力偶的大小任意、轉(zhuǎn)向可為順時針也可為逆時針。30例9－6、求解：AB段CA段1、B截面虛加鉛直力F2、分段寫出彎矩方程及相應(yīng)的偏導數(shù)AB20kNC1m10kN.m1mFx1x2313、求位移(令F=0)AB段CA段32方法2、求位移AB段CA段(令F=0)33利用卡氏定理求構(gòu)件任意點沿任一方向的位移的步驟：判斷所求位移點有沒有外力，力的方向與位移方向是否一致1、根據(jù)變形的類型寫出相應(yīng)的內(nèi)力方程及對相應(yīng)的外力求偏導2、根據(jù)變形類型，選用相應(yīng)的公式求位移1、沿位移點、位移方向添加相應(yīng)外力3、根據(jù)變形類型，選用相應(yīng)的公式求位移4、令位移表達式中外力為零2、根據(jù)變形的類型寫出相應(yīng)的內(nèi)力方程及對相應(yīng)的外力求偏導令附加外力為零有外力且方向一致無外力或方向不一致34例9－7、求圖示剛架A截面的水平位移和轉(zhuǎn)角。（一）求fA水平2、列彎矩方程及求偏導解：1、附加Pf

EIAEBCLPDL2L2x1x2AB段BC段令A(yù)EBCPDPfPfP/2P/235(1)由于結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱，CD、DE段與之相同(2)除非特別說明，求解剛架（細長桿的）位移時，一般忽略剪切和拉（壓）變形能。水平3、求位移36（二）求AAEBCPDx2x3x1x4Mf2、列彎矩方程及求偏導1、附加Mf

37（與Mf轉(zhuǎn)向相同）令Mf=038例9－8、已知EI,P,h,a,求解：一、求fA/D1、分段寫出彎矩方程及求偏導數(shù)x1ABChPDEIPEIaEx22、求位移39二、求qA/D2、分段寫出彎矩方程及求偏導數(shù)x1ABChPDEIPEIaE1、附加一對力偶mmx2令m為零3、求位移40ABChPDEIPEIaABCPDPABCPx2x1mmABCPx2x1m分析：結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱解法二41ABCPx2一、1、分段寫出彎矩方程及求偏導數(shù)2、求位移x142ABCPm1、分段寫出彎矩方程及求偏導數(shù)2、求位移（先令m為零）x2x143例9－9.已知EI、R、P求1、

附加力V、H于B，

（由于V、H互相獨立）2、寫彎矩方程及求偏導數(shù)解：RBAPo剛性桿VHBPoVHaMNFS443、求位移水平令附加載荷為零45質(zhì)點和質(zhì)點系的虛位移原理：質(zhì)點和質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)的充要條件是，作用在其上的力對于虛位移所作的總功為零.

§9-5虛功原理理論依據(jù)：作用在桿件上的力分為外力和內(nèi)力外力：荷載和支座反力內(nèi)力：截面上各部分間的相互作用力對于處于平衡狀態(tài)的桿件，其外力和內(nèi)力對任意給定的虛位移所作的總虛功等于零.46i

為Fi力作用點沿Fi方向的相應(yīng)虛位移，d，d，d，d分別為與彎矩M，剪力Q，軸力FN和扭矩T相對應(yīng)虛位移；虛功原理:外力虛功=內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所作的虛功本原理與材料的性能無關(guān)，既可用于線彈性材料又可用于非線性彈性材料，并不要求力與位移一定是線性的。故可用于力與位移成非線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)。47§9-6單位荷載法莫爾積分一、莫爾積分的推導求任意點A的垂直位移fA

F1F2A48總變形能為=1F0F1F2fA1、先在A點作用單位力F0再作用F1,

F2F1F2AA任意截面的彎矩：任意截面的彎矩：492、三個力同時作用時任意截面的彎矩：變形能：50(莫爾積分)彎曲：拉壓：扭轉(zhuǎn)：桁架：51二、普遍形式的莫爾積分注意：上式中Δ應(yīng)看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移相對應(yīng)的廣義力.三、使用莫爾積分的注意事項1、M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷作用下的內(nèi)力;2、：去掉原載荷，在所求廣義位移點，沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時的內(nèi)力;M5、莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu).3、求線位移時加單位集中力，求角位移時加單位集中力偶;4、

與M(x)的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立;M(x)52利用莫爾積分求構(gòu)件任意點沿任一方向的位移的步驟：1、去掉原載荷，在所求位移點，沿所求位移方向加單位載荷3、利用莫爾積分求位移2、分別寫出對應(yīng)于原載荷及單位載荷的內(nèi)力方程彎曲拉伸扭轉(zhuǎn)位移等于原載荷的內(nèi)力乘以單位載荷的內(nèi)力除以剛度后乘以長度的微量再積分53A例題9－10抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用，用莫爾定理求梁中點的撓度fc和支座A截面的轉(zhuǎn)角。qBCll/2ql/2ql/2解：2、分別寫出對應(yīng)于實際載荷及單位力的彎矩方程一、求C截面的撓度1、去掉實際載荷，在C點加垂直方向的單位力，11/21/2BACxx543、求位移55ql/2AAB11/l1/lx二、求A截面的轉(zhuǎn)角1、去掉實際載荷，在A截面加一單位力偶2、相應(yīng)的彎矩為qCll/2（順時針）ql/23、求位移56例9－11、剛架的自由端A作用集中力F。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出。不計剪力和軸力對位移的影響.計算A點的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角。解：一、計算A點的垂直位移1、去掉實際載荷，在A點加垂直向下的單位力2、寫出相應(yīng)的彎矩方程AB:BC:aABCFlEI1EI2ABCEI1EI21xx573、求位移AB:BC:58二、計算B截面的轉(zhuǎn)角AB:BC:（）2、寫出相應(yīng)的彎矩方程3、求位移1、在B上加一單位力偶矩ABCEI1EI2159例9－12、由三桿組成的剛架，B，C為剛性節(jié)點，三桿的抗彎剛度都是EI，試用莫爾定理求A1，A2兩點的相對位移。A1A2lFFBCl60x解：1、附加單位載荷

2、列出相應(yīng)的彎矩方程.A1B：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll11BC：CA2：

3、求位移611、附加單位載荷

2、列出相應(yīng)的彎矩方程.A1A2BCllFFxA1A2BCllxx11xxxA1B：BC：CA2：

3、求位移62例9－13、計算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ΔAB。EI=常數(shù)。BAORFF(a)F63F164例9－14、如圖所示，桁架各桿材料相同，橫截面積相等，試求節(jié)點Ｃ處的水平位移和垂直位移。解法一（卡氏定理）使用節(jié)點法，求出各桿的軸力，并標出在圖上。PLABCDL2PPABCD2PFQP-Q-F3P-FP-F-2PP0P-Q-FC處添加載荷65應(yīng)用卡氏定理，求出Ｃ點的位移。（F=Q=0）（向左）（F=Q=0）（向上）PABCD2PFQP-Q-F3P-FP-F-2PP0P-Q-F66分別求出原載荷及單位載荷作用下各桿的軸力一、求Ｃ點水平方向位移PLABCDL2PP3PP-2PPP01BADC1100-10解法2：莫爾積分1在Ｃ點加水平單位力（向左）67在Ｃ點加鉛直單位力，求出各桿的軸力，并標出在圖上。1BADC100-100PBADC2P-2PPP0（向上）二、求Ｃ點垂直方向位移68xx解法一：（莫爾積分）BC:ABCFab1xxAB:ABCab在C點加垂直方向單位力例9－15、圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B處為一剛性節(jié)點,角ABC=90°在C處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是EI和GIp，求C點垂直方向的位移。69ABCFBC:AB:70解法二：（卡氏定理）BC:AB:xABCFabx71懸臂吊車例9-16:試求懸臂吊車D點的垂直位移。2m4m5mABCaDd=20mmW=15kNW解：利用卡氏定理求垂直位移分段寫內(nèi)力方程及對載荷求偏導ACFFaABDWFBxFByFAC桿AD段梁72ACFFaABDWFBxFByFAC桿AD段梁AB段梁利用卡氏定理求D點垂直位移73懸臂吊車例9-17:試求懸臂吊車D點的水平位移。2m4m5mABCaDd=20mmW=15kNW解：利用莫爾積分求水平位移分段寫原載荷的內(nèi)力方程AC桿AD段梁AB段梁742m4m5mABCaDd=20mmW=15kNW分段寫單位載荷的內(nèi)力方程AC桿AD段梁AB段梁原載荷的內(nèi)力方程2m4m5mABCaDd=20mmW=15kN1AC桿AD段梁AB段梁利用莫爾積分求D點水平位移75§9-7計算莫爾積分的圖乘法

在等直桿的情況下，莫爾積分中的EI、GIP、EA為常量，可提到積分號外面，只需計算：76

因為是由單位力或單位力偶引起的彎矩,故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxcxcM(x)M(x)McMM77即積分可用M(x)圖的面積ω

和與M(x)圖形心C對應(yīng)的的乘積來代替Mc當M圖為正彎矩時，ω應(yīng)代以正號.當M圖為負彎矩時，ω應(yīng)代以負號.也應(yīng)按彎矩符號給以正負號.Mc78幾中常見圖形的面積和形心的計算公式三角形二次拋物線balhCCl