名師課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊431 一元線性回歸模型

人教2019B版選擇性必修第二冊

第四章

概

率

與

統(tǒng)

計(jì)4.3.1一元線性回歸模型

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.能通過相關(guān)性檢驗(yàn),了解回歸分析的基本思想與方法.4.了解非線性回歸問題,并能找出解決問題的一般思路.

以下是幾則與“相關(guān)系數(shù)”有關(guān)的新聞報(bào)道：（1）1999-2008年，俄羅斯GDP增長率與國際石油價(jià)格的相關(guān)系數(shù)為0.86,2009-2014年該系數(shù)達(dá)到0.98.（2）瑞士洛桑國際管理學(xué)院對企業(yè)國際競爭力的研究也顯示，公司文化與企業(yè)管理競爭力的相關(guān)系數(shù)在幾個(gè)因子中是最高的.（3）分析表明1990年至2011年我國財(cái)政收入與企業(yè)注冊資本之間的關(guān)系呈高度線性相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.987，而斜率竟為0.148.情景與問題你能猜出相關(guān)系數(shù)的含義嗎？（3）中“斜率”表示的是什么？自行選擇標(biāo)準(zhǔn)，將下列變量之間的關(guān)系分為兩類，并分別闡述每一類中變量關(guān)系的特點(diǎn)：（1）圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系；（2）16歲學(xué)生的體重w與身高h(yuǎn)之間的關(guān)系；（3）商品銷售量Q與銷售價(jià)格P之間的關(guān)系；（4）勻速運(yùn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)的路程S與時(shí)間t之間的關(guān)系；（5）科技創(chuàng)新能力y與人才培養(yǎng)近親繁殖率x之間的關(guān)系；（6）學(xué)習(xí)成績f與平均學(xué)習(xí)時(shí)間t之間的關(guān)系.嘗試與發(fā)現(xiàn)一、相關(guān)關(guān)系1.變量之間的常見關(guān)系分類概念函數(shù)關(guān)系兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.如圓的面積與半徑之間的關(guān)系,就可以用函數(shù)S=πr2表示相關(guān)關(guān)系如果兩個(gè)變量中一個(gè)變量的取值一定時(shí),另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性,那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系不相關(guān)兩個(gè)變量間沒有任何關(guān)系概念解析

如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以近似的用一次函數(shù)來刻畫，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)。此時(shí)，如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也增大，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上減少，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。

問題探究2.散點(diǎn)圖(1)在討論兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系時(shí),常把它們寫成點(diǎn)(x,y)的形式,以便利用平面直角坐標(biāo)系來考慮它們之間的關(guān)系,此時(shí)x和y可以看成是描述同一個(gè)體的兩個(gè)不同的特征量.(2)將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來,得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫散點(diǎn)圖.概念解析3.線性相關(guān)關(guān)系(1)線性相關(guān):如果由變量的成對數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知,變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫,則稱x與y線性相關(guān).(2)正相關(guān):在線性相關(guān)中,如果一個(gè)變量增大,另一個(gè)變量大體上也增大,則稱這兩個(gè)變量正相關(guān).(3)負(fù)相關(guān):在線性相關(guān)中,如果一個(gè)變量增大,另一個(gè)變量大體上減少,則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).概念解析1.5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)缦卤?則數(shù)學(xué)成績與物理成績之間(

)A.是函數(shù)關(guān)系B.是相關(guān)關(guān)系,但相關(guān)性很弱C.具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是正相關(guān)D.具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是負(fù)相關(guān)

ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462解析:作出散點(diǎn)圖(圖略),從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有較好的相關(guān)關(guān)系,且是正相關(guān).答案:C小試牛刀嘗試與發(fā)現(xiàn)概念解析問題1：你能找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？使得所有誤差平方和最小的直線方程稱為y關(guān)于x的回歸直線方程。使得誤差平方和最小的計(jì)算回歸系數(shù)的方法稱為最小二乘法,根據(jù)已知兩點(diǎn)可求出一次函數(shù)表達(dá)式。問題2：類似這樣的直線我們可以找很多條，y=-0.5x+6.5是最好的直線嗎？衡量標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？問題3：回歸直線方程是如何通過計(jì)算得到的呢？二、回歸直線方程

概念解析求回歸直線方程的步驟第一步:列表;第四步:寫出回歸直線方程.歸納總結(jié)嘗試與發(fā)現(xiàn)

典例解析概念解析嘗試與發(fā)現(xiàn)三、相關(guān)系數(shù)1.相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),則變量間相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下:概念解析2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)|r|≤1,且y與x正相關(guān)的充要條件是r>0,y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0.(2)|r|越小,說明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱,也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價(jià)值,即方程越不能反映真實(shí)的情況;|r|越大,說明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng),也就是得出的回歸直線方程越有價(jià)值.(3)|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上.典例解析嘗試與發(fā)現(xiàn)非線性回歸模型的分析步驟：1.繪制散點(diǎn)圖2.觀察散點(diǎn)圖，選取適合的函數(shù)模型，通過換元法轉(zhuǎn)化成線性回歸模型并轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)3.求換元后的回歸直線方程4.建立非線性回歸模型歸納總結(jié)四、非線性回歸常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型概念解析例3.某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:由經(jīng)驗(yàn)知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的回歸方程.x123456y11.3511.8512.4413.0713.5914.41典例解析解:對y=abxe0兩邊取自然對數(shù),得ln

y=ln

ae0+xln

b,令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法公式,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0=2.378,x123456z2.432.472.522.572.612.671.以下四個(gè)散點(diǎn)圖中,兩個(gè)變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是(

)A.①② B.①③

C.②③ D.③④當(dāng)堂達(dá)標(biāo)解析:①③中的點(diǎn)分布在一條直線附近,適合線性回歸模型.答案:B2.(多選)有關(guān)線性回歸的說法,正確的是(

)A.相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不是因果關(guān)系B.散點(diǎn)圖能直接反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系D.任意一組數(shù)據(jù)都有回歸方程解析:并不是每一組數(shù)據(jù)都有回歸方程.故D不正確,其余均正確.答案:ABCC.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg解析:D選項(xiàng)中,若該大學(xué)某女生身高為170

cm,則可斷定其體重約為0.85×170-85.71=58.79(kg).故D選項(xiàng)不正確.答案:D4