第三節(jié)函數(shù)極限

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第三節(jié)函數(shù)極限的定義和性質(zhì)

一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限當|x|無限增大時，無限接近0問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.定義1.

設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線.數(shù)A

為函數(shù)無論正數(shù)ε為何值，函數(shù)圖形在x=1/ε進入并留在該帶形區(qū)域

無論正數(shù)ε為何值函數(shù)圖形在x=-1/ε進入并留在該帶形區(qū)域例1證注:直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.當時,有當時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線兩種特殊情況:例2證注:定理二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限x越接近1，(x2-1)/(x-1)越接近2x取1上下的值f(x),g(x)及h(x)當x無限接近1時都無限接近2，但僅有h(1)=2定義2.

設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,若當時,有則稱常數(shù)

為函數(shù)當時的極限,記作或稱作注意：幾何解釋:對此處所有不等于x0的xf(x)落在此處A+εA-εA例3證例4證例5證且而可用保證

.例6證可以證明，若f(x)是基本初等函數(shù)，x0是其定義域內(nèi)一點，則單側(cè)極限:左極限右極限A+εA+εA對此處所有不等于x0的xf(x)落在此處A+εAA+εf(x)落在此處對此處所有不等于x0的x左右極限存在但不相等,例7證定理討論時的極限是否存在.

解:

因為顯然所以不存在.例8.設(shè)函數(shù)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性2.唯一性定理1

若極限存在，則當時，有界。定理1’

若極限存在，則當時，有界。定理2

若存在，則極限唯一。定理33.局部保號性定理3’類似地可以證明推論推論推論局部保序性定理4提示:4.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理5證例如,(在第五節(jié)證明）說明:

此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在

.法1

找一個數(shù)列不存在.法2

找兩個趨于的不同數(shù)列及使例9證:

取兩個趨于0的數(shù)列及有二者不相等,內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì)思考與練習

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