同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)孫杰第七章剛體平面運(yùn)動(dòng)

第七章剛體的平面運(yùn)動(dòng)一、平面運(yùn)動(dòng)的基本概念平面運(yùn)動(dòng)——實(shí)例(在其自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng))其上各點(diǎn)到某固定平面的剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，距離始終保持不變。研究剛體平面運(yùn)動(dòng)的任務(wù)：

（1）確定剛體在任一瞬時(shí)的位置；

（2）剛體上各點(diǎn)在任一瞬時(shí)的速度實(shí)例剛體平面運(yùn)動(dòng)的判定

!

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡!

和加速度。

1、平面圖形S2、垂線A1

A2結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化——平面運(yùn)動(dòng)方程

確定直線AB的運(yùn)動(dòng)二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化三、平面運(yùn)動(dòng)方程截面(A為基點(diǎn))平面運(yùn)動(dòng)平面圖形(直線AB)：始終在平面a2內(nèi)：其始終作平動(dòng)為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。四、平面運(yùn)動(dòng)的分解討論：1.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)yxSBAx’y’j–j

’=q轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)OSyx：與基點(diǎn)有關(guān)。：與基點(diǎn)無關(guān)。qB’j

’A’BAjv、

aw、

a基點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)=常數(shù)結(jié)論1：結(jié)論2：平面圖形S

的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)與基點(diǎn)的選擇有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無關(guān)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)五、平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度1、基點(diǎn)法大?。悍较颍捍怪庇贏B

的連線AB(

合成法)相對(duì)速度B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(隨圖形繞A點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng))wvBA——速度合成公式基點(diǎn)平動(dòng)速度投影定理

2、速度投影法垂直于AB

的連線將同一平面圖形上

任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系速度平行四邊形速度合成公式向AB連線方向投影：——平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等。圖示四連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄以角速度＝3rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求在圖示位置時(shí)桿AB和桿O1B的角速度。例1解：以A為基點(diǎn)將上式投影到x軸和y軸求B點(diǎn)的速度B正負(fù)號(hào)（平面運(yùn)動(dòng)）位置（1）基點(diǎn)法（2）速度投影法用投影法不能求出uA＝w

OAwABwO1B90°―q

解析法幾何法BwO1B例2BC＝l解：（1）求AB的角速度以C為基點(diǎn)wBCj（三角塊BCD）lrR（2）求D點(diǎn)的速度以C為基點(diǎn)wBC180°―jP25

習(xí)題：2(基點(diǎn)法)（三角塊BCD）六、平面圖形的瞬時(shí)速度中心瞬時(shí)速度中心

——由

若則需速度矢量大小相等方向相反，如圖中P點(diǎn)。若以瞬心P為基點(diǎn)，平面圖形上瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)

瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心速度瞬心則平面圖形上任意點(diǎn)B的速度：大?。悍较颍号cw保持一致瞬心法w?速度瞬心

?基點(diǎn)法問題：＝

uBP垂直于BP速度瞬心圓周運(yùn)動(dòng)vB=vBP瞬心法可知(瞬時(shí)概念)相對(duì)速度第一種情形已知平面圖形上兩點(diǎn)的速度AB速度瞬心的特點(diǎn)1、瞬時(shí)性

——不同的瞬時(shí)，有不同的速度瞬心；

2、唯一性

——某一瞬時(shí)只有一個(gè)速度瞬心；

3、瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)特性

——平面圖形在某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)幾種典型情況的瞬心確定90o90oP但這兩點(diǎn)的速度矢可以視為繞瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。矢量方位。方位互不平行。第三種情形平面圖形沿固定曲線作無滑第二種情形已知平面圖形上兩點(diǎn)的速度而且二矢量S90o90oABSAB90o90o(

純滾動(dòng)

)PPP這兩點(diǎn)的速度矢不相互相平行，并且都垂直于兩點(diǎn)的連線。矢的大小與方向。等。動(dòng)的滾動(dòng)。第四種情形瞬時(shí)平動(dòng)SAB(a)AB(b)P時(shí)的角速度。P平面圖形上的各點(diǎn)速度都相等。平面圖形的速度瞬心在無窮遠(yuǎn)。90o90o方向?方向?——平面圖形在該瞬已知某瞬時(shí)兩點(diǎn)速度相互平行。但不垂直于兩點(diǎn)的連線，如圖(a)?；蛞阎獌牲c(diǎn)速度垂直于連線，且相等，如圖(b)。已知：AB＝60cmBG＝GD＝50cmOE＝10cm，OE＝10rad/s求：圖示位置時(shí)AB

例3解：P1為EG桿的瞬心P1P2wEGwBG＝

EGP2為GB桿的瞬心uE＝wEGEP1＝BGwAB例3討論題P25

習(xí)題：1P26習(xí)題：3、4瞬心法

機(jī)構(gòu)如圖示，桿OA繞O作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

巳知：DC=6r，OA=ED=r。求：滑桿F的速度和桿ED的角速度。解:vAvCvBwED“CD”:vDCvCvDxBC作平動(dòng)

vC=vF=vBAB作瞬時(shí)平動(dòng)

vB=以C為基點(diǎn)x:wDCOACBDE30wF例4滑桿F平動(dòng)桿OA轉(zhuǎn)動(dòng)桿CD平面運(yùn)動(dòng)vF桿ED轉(zhuǎn)動(dòng)桿CD平面運(yùn)動(dòng)桿ED轉(zhuǎn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)瞬心法?瞬心P桿AB平面運(yùn)動(dòng)vAvCcos60

=vDcos30vDcos60

=vDC–

vCcos30vC/CDcos30

=vD/CDcos60投影法=wDC

在瓦特行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，平衡桿O1A繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并借連桿AB帶動(dòng)曲柄OB；而曲柄OB活動(dòng)的裝置在O軸上，如圖所示。在O軸上裝有齒輪Ⅰ，齒輪Ⅱ的軸安裝在連桿AB的另一端。已知：r1＝r2＝30cm，O1A＝75cm，AB＝150cm；平衡桿的角速度O1＝6rad/s。求：當(dāng)＝60和＝90時(shí)，曲柄OB和齒輪Ⅰ的角速度。例5DPwABwO1由題意分析得解：輪Ⅱ與固連的連桿AB一起作平面運(yùn)動(dòng)。由A、B兩點(diǎn)速度方向可找出其速度瞬心P。PDD為Ⅰ、Ⅱ輪嚙合點(diǎn)

又

wABwOBwOuA＝wO1

O1AwO1輪Ⅰ上輪Ⅱ上小結(jié)有三種計(jì)算方法同一平面圖形上

兩點(diǎn)的v

關(guān)系平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的v

投影法瞬心法基點(diǎn)法常用正確找出圖形的瞬心能找到瞬心P方便投影在兩點(diǎn)連線方向w不出現(xiàn)有效對(duì)角線為合矢量P

不能確定時(shí)特點(diǎn)注意點(diǎn)使用場(chǎng)合比較已知平面圖形上

一點(diǎn)

A的七、平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度兩邊求導(dǎo)：B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)隨圖形繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)aB加速度a、圖形的角速度w與角加速度，確定平面圖形上任一點(diǎn)B的加速度a?！铀俣群铣晒?/p>

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度，等于隨基點(diǎn)平動(dòng)的加將當(dāng)則有速度(

牽連加速度)與繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的法向、切向加速度(

相對(duì)加速度)的矢量和。aB向AB的連線方向投影：

車輪沿直線作純滾動(dòng)。已知輪的半徑為R，輪心的速度和加速度分別為

vO

和

aO。例6解：

以O(shè)為基點(diǎn)則輪的角加速度為由于P點(diǎn)為速度瞬心(純滾動(dòng))wa曲線軌道?t分析P點(diǎn)的加速度輪的角速度為求：圖示瞬時(shí)車輪上速度瞬心

P

的加速度sO

=

j

R加速度合成公式結(jié)論：速度為零的點(diǎn)——速度瞬心，加速度不為零。大小

方向

？？√√√√√√所以wa

圖示機(jī)構(gòu)中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB桿的B端以vB＝2m/s，aB＝1m/s2向左沿固定平面運(yùn)動(dòng)。例7解：由A、B兩點(diǎn)的速度方向可知wOAB桿作平面運(yùn)動(dòng)AB桿作瞬時(shí)平動(dòng)。則有求圖示瞬時(shí)，AB桿的角速度和角加速度。以A為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。大小方向在y

軸上投影結(jié)論：瞬時(shí)平動(dòng)剛體的角速度為零，角加速度不為零。√√√√？√√√？√ya

A＝nv

AOA

2a

BA＝AB

a

AB

tABOa

A

t求a

O?

求a

A＝OA

a

O

ta

Oa

AB在x

軸上投影＝a

B–

aBAsin30

twOABrR圓輪在曲面做純滾動(dòng)，OA桿做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。巳知：w=

10rad/s,

OA

=

r

=

10cm，

AB

=

l

=

40cm，

R

=

20cm。求：圓輪、桿AB的角加速度。例8vAvB解:wB=vB/

rAB作瞬時(shí)平動(dòng)vB=vAwAB=0=w

r=ww

BPOABrRjaAnaBnaBAnaBtaBAtwABaABaAn=w

2raBn=vB2/(

R

+

r)AB:aBAn=0y:aBAt=-

688.5cm/s2aB

=aBt/

raAB

=aBAt/

lvAvB以A為基點(diǎn)，求點(diǎn)B的加速度sinj=

0.25cosj=

0.968aBt

=-172cm/s2

aBw=常P27

習(xí)題：1P28習(xí)題：3、4aBtcos

j

-aBn

sin

j

=-

aAn

sin

j=-17.2rad/s2

aBn=aBAt

cos

j+aAn=-17.2rad/s2

圖示平面機(jī)構(gòu)，半徑為R的輪子沿固定水平軌道作純滾動(dòng)，桿OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：w

=

2rad/s，OA=R

=15cm，BD

=

BC

=

45cm，AD

=

30cm，OD鉛垂。在圖示位置時(shí)，OA處于水平，BD