數(shù)字邏輯課件

數(shù)字邏輯電路肖蓉辦公室：數(shù)統(tǒng)學院705計算機與信息工程學院

本課程為《數(shù)字邏輯電路》，以數(shù)字電路為主，脈沖電路的內(nèi)容較少.課程為3個學分，包括實驗(1學分).屬專業(yè)基礎課.考核方式是閉卷.最終成績有以下幾部分組成：平時成績：20%實驗成績：20%考試成績：60%計算機與信息工程學院學習要點：1.有興趣學，自己想學；2.善于思考，多問“為什么”3.多做練習和思考題4.注意實驗環(huán)節(jié)，提高動手能力計算機與信息工程學院教材：1.歐陽星明

主編：數(shù)字邏輯（第四版），

華中科技大學出版社.2.王玉龍

主編：數(shù)字邏輯實用教程，

清華大學出版社課內(nèi)參考教材：計算機與信息工程學院集成電路電子器件的發(fā)展電子管晶體管分立元件（（SSI（100元件以下）MSI（〈103）LSI（〈105）超大規(guī)模VLSI（105以上）課程簡介1906年，福雷斯特等發(fā)明了電子管；電子管體積大、重量重、耗電大、壽命短。世界上第一臺計算機用了1.8萬只電子管，占地170平方米，重30噸，耗電150KW。目前在一些大功率發(fā)射裝置中使用。1948年，肖克利等發(fā)明了晶體管，其性能在體積、重量方面明顯優(yōu)于電子管，但器件較多時由分立元件組成的分立電路體積大、焊點多、電路的可靠性差。1960年集成電路出現(xiàn)，成千上萬個器件集成在一塊芯片，大大促進了電子學的發(fā)展，尤其促進數(shù)字電路和微型計算機的飛速發(fā)展。芯片中集成上萬個等效門，目前高的已達上百萬門。計算機與信息工程學院課程內(nèi)容邏輯代數(shù)基礎組合邏輯電路常用組合邏輯功能器件異步時序邏輯電路半導體存儲器和可編程邏輯器件數(shù)字邏輯基礎第1章第2章第3章第4章第6章第7章同步時序邏輯電路第5章邏輯門電路與觸發(fā)器計算機與信息工程學院一、模擬量和數(shù)字量模擬量：模擬量就是連續(xù)變化的量。自然界中可測試的物理量一般都是模擬量,例如溫度，壓力，距離，時間等。數(shù)字量：數(shù)字量是離散的量。數(shù)字量一般是將模擬量經(jīng)過抽樣、量化和編碼后而得到的。

緒論計算機與信息工程學院計算機與信息工程學院量化曲線計算機與信息工程學院30292827262524232221201918(oc)計算機與信息工程學院二、模擬和數(shù)字系統(tǒng)的幾個實例1）音頻有線擴音系統(tǒng)音頻有線擴音系統(tǒng)為純模擬系統(tǒng)。計算機與信息工程學院音頻有線擴音系統(tǒng)Audiopublicaddresssystem計算機與信息工程學院2）CD播放機

CD播放機為數(shù)?；旌舷到y(tǒng)計算機與信息工程學院CD機原理圖（單聲道）BasicprincipleofaCDplayer計算機與信息工程學院3）數(shù)字鐘帶數(shù)字顯示的數(shù)字鐘是一個純數(shù)字系統(tǒng)。下面討論一個帶數(shù)字顯示的三位計時系統(tǒng)。計算機與信息工程學院計時電路秒個位秒十位分個位三位計時器示意圖計算機與信息工程學院定時激勵信號產(chǎn)生電路秒脈沖1s脈沖個數(shù)記錄電路分個位二進制碼秒十位二進制碼秒個位二進制碼碼轉換電路（譯碼器）分個位顯示碼秒十位顯示碼秒個位顯示碼abcdfegabcdfegabcdfeg計算機與信息工程學院2)電路中器件工作于“開”和“關”兩種狀態(tài),研究電路的輸出和輸入的邏輯關系;

3)數(shù)字電路既能進行“代數(shù)”運算,也能進行“邏輯”運算;4)數(shù)字電路工作可靠,

抗干擾性能好.三、數(shù)字電路特點:工作信號是二進制表示的二值信號(只有“0”和“1”兩種取值);5)數(shù)字信號便于存儲，傳輸，保密性好.計算機與信息工程學院第1章數(shù)字邏輯電路基礎1.1數(shù)制與數(shù)制轉換

所謂“數(shù)制”，指進位計數(shù)制，即用進位的方法來計數(shù).數(shù)制包括計數(shù)符號（數(shù)碼）和進位規(guī)則兩個方面。常用數(shù)制有十進制、十二進制、十六進制、六十進制等。計算機與信息工程學院1.1.1常用數(shù)制

1.十進制(1)計數(shù)符號:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)進位規(guī)則:逢十進一.例:

1983.62=1×103+9×102+8×101+3×100

+6×10-1+2×10-2(3)十進制數(shù)按權展開式計算機與信息工程學院權系數(shù)2.二進制(1)計數(shù)符號:0,1.(2)進位規(guī)則:逢二進一.(3)二進制數(shù)按權展開式計算機與信息工程學院1）數(shù)字裝置簡單可靠；2）二進制數(shù)運算規(guī)則簡單；3）數(shù)字電路既可以進行算術運算，也可以進行邏輯運算.3.十六進制和八進制十六進制數(shù)計數(shù)符號:0,1,.,9,A,B,C,D,E,F.十六進制數(shù)進位規(guī)則:逢十六進一.按權展開式：數(shù)字電路中采用二進制的原因：計算機與信息工程學院例:八進制數(shù)計數(shù)符號:0,1,...6,7.八進制數(shù)進位規(guī)則:逢八進一.按權展開式：計算機與信息工程學院4.二進制數(shù)與十進制數(shù)之間的轉換(1)二進制數(shù)轉換為十進制數(shù)(按權展開法)例：=(11.625)10例:計算機與信息工程學院例：?數(shù)制轉換還可以采用基數(shù)連乘、連除等方法.（2）十進制數(shù)轉換為二進制數(shù)(提取2的冪法)計算機與信息工程學院1.2

幾種簡單的編碼

用四位二進制代碼來表示一位十進制數(shù)碼,這樣的代碼稱為二-十進制碼,或BCD碼.

四位二進制有16種不同的組合,可以在這16種代碼中任選10種表示十進制數(shù)的10個不同符號,選擇方法很多.選擇方法不同,就能得到不同的編碼形式.二-十進制碼(BCD碼)(BinaryCodedDecimalcodes)

常見的BCD碼有8421碼、5421碼、2421碼、余3碼等。計算機與信息工程學院十進制數(shù)8421碼5421碼2421碼余3碼00000000000000011100010001000101002001000100010010130011001100110110401000100010001115010110001011100060110100111001001701111010110110108100010111110101191001110011111100常用BCD碼計算機與信息工程學院

(1)有權BCD碼：每位數(shù)碼都有確定的位權的碼，例如：8421碼、5421碼、2421碼.如:5421碼1011代表5+0+2+1=8;2421碼1100代表2+4+0+0=6.*5421BCD碼和2421BCD碼不唯一.例:2421BCD碼0110也可表示6*在表中：①8421BCD碼和代表0~9的二進制數(shù)一一對應；計算機與信息工程學院②5421BCD碼的前5個碼和8421BCD碼相同，后5個碼在前5個碼的基礎上加1000構成，這樣的碼，前5個碼和后5個碼一一對應相同，僅高位不同；③2421BCD碼的前5個碼和8421BCD碼相同，后5個碼以中心對稱取反,這樣的碼稱為自反代碼.例：4→0100

5→10110→0000

9→1111計算機與信息工程學院(2)無權BCD碼：每位數(shù)碼無確定的位權，例如：余3碼.

余3碼的編碼規(guī)律為:在8421BCD碼上加0011,例6的余3碼為:0110+0011=1001余3碼也是自反代碼計算機與信息工程學院

2.格雷碼(Gray碼)

格雷碼為無權碼,特點為：相鄰兩個代碼之間僅有一位不同,其余各位均相同.具有這種特點的代碼稱為循環(huán)碼,格雷碼是循環(huán)碼.計算機與信息工程學院格雷碼和四位二進制碼之間的關系:設四位二進制碼為B3B2B1B0,格雷碼為R3R2R1R0,則R3=B3,R2=B3B2R1=B2B1R0=B1B0其中,為異或運算符,其運算規(guī)則為:若兩運算數(shù)相同,結果為“0”;兩運算數(shù)不同,結果為“1”.對于n位：Rn=Bn

Ri=Bi+1⊕Bi同時有:B3=R3,B2=B3R2B1=B2R1B0=B1R0計算機與信息工程學院轉換練習例:用8421BCD碼表示十進制數(shù)(73.5)10十進制數(shù)73.58421BCD碼01110011.0101故:(73.5)10=(01110011.0101)8421BCD碼思考:(00010101.0101)8421BCD碼=()2(73.5)10=()21001001.11111.1(10110.1)2=()8421BCD碼00100010.0101(1100)5421BCD+(1100)余3碼=()8421BCD00011000計算機與信息工程學院

3.奇偶校驗碼原代碼的基礎上增加一個碼位使代碼中含有的1的個數(shù)均為奇數(shù)（稱為奇校驗）或偶數(shù)（稱為偶校驗），通過檢查代碼中含有的1的奇偶性來判別代碼的合法性。

具有檢錯能力的代碼

計算機與信息工程學院

4.字符數(shù)字碼美國信息交換的標準代碼（簡稱ASCII）是應用最為廣泛的字符數(shù)字碼

字符數(shù)字碼能表示計算機鍵盤上能看到的各種符號和功能

計算機與信息工程學院1.3

算術運算1.3.1二進制加法0+0=01+0=0+1=11+1=101+1+1=11計算機與信息工程學院1.3.2有符號數(shù)的表示方法表示二進制數(shù)的方法有三種，即原碼、反碼和補碼

用補碼系統(tǒng)表示有符號數(shù)

計算機與信息工程學院1.3.3補碼系統(tǒng)中的加法

第一種情況：兩個正數(shù)相加。

第二種情況：正數(shù)與一個比它小的負數(shù)相加

計算機與信息工程學院第三種情況：正數(shù)與比它大的負數(shù)相加

第四種情況：兩個負數(shù)相加

計算機與信息工程學院1.4

邏輯代數(shù)中的邏輯運算

研究數(shù)字電路的基礎為邏輯代數(shù)，由英國數(shù)學家GeorgeBoole在1847年提出的，邏輯代數(shù)也稱布爾代數(shù).

在邏輯代數(shù)中,變量常用字母A,B,C,……Y,Z,a,b,c,……x.y.z等表示，變量的取值只能是“0”或“1”.

邏輯代數(shù)中只有三種基本邏輯運算,即“與”、“或”、“非”。計算機與信息工程學院1.與邏輯運算

定義：只有決定一事件的全部條件都具備時，這件事才成立；如果有一個或一個以上條件不具備，則這件事就不成立。這樣的因果關系稱為“與”邏輯關系。與邏輯電路狀態(tài)表開關A狀態(tài)開關B狀態(tài)燈F狀態(tài)

斷

斷

滅

斷

合

滅

合

斷

滅

合

合

亮與邏輯電路1.4.1基本邏輯運算計算機與信息工程學院若將開關斷開和燈的熄滅狀態(tài)用邏輯量“0”表示;將開關合上和燈亮的狀態(tài)用邏輯量“1”表示,則上述狀態(tài)表可表示為:

與邏輯真值表ABF=A·B0000

1

01

0

01

1

1&ABF=AB與門邏輯符號與門的邏輯功能概括：1）有“0”出“0”；2）全“1”出“1”。真值表:把所有輸入變量取值的各種可能組合和對應的輸出變量值之間的邏輯關系列成表格的形式.計算機與信息工程學院

2.或邏輯運算

定義：在決定一事件的各種條件中,只要有一個或一個以上條件具備時，這件事就成立;只有所有的條件都不具備時,這件事就不成立.這樣的因果關系稱為“或”邏輯關系。計算機與信息工程學院或邏輯電路

或邏輯真值表ABF=A+B0000

111

0

1111≥1ABF=A+B或門邏輯符號或門的邏輯功能概括為:1)有“1”出“1”;2)全“0”出“0”.計算機與信息工程學院

3.非邏輯運算

定義:假定事件F成立與否同條件A的具備與否有關,若A具備,則F不成立;若A不具備,則F成立.F和A之間的這種因果關系稱為“非”邏輯關系.非邏輯電路1AF=A

非門邏輯符號

非邏輯真值表

AF=A0110?與門和或門均可以有多個輸入端，一個輸出端.?非門只有一個輸入端,一個輸出端計算機與信息工程學院1.4.2

復合邏輯運算1.與非邏輯(將與邏輯和非邏輯組合而成)與非邏輯真值表ABF=A·B001011101110&ABF=AB與非門邏輯符號與非門的邏輯功能概括為:“有0出1,全1出0”計算機與信息工程學院2.或非邏輯

(將或邏輯和非邏輯組合而成)

或非邏輯真值表ABF=A+B001010100110≥1ABF=A+B或非門邏輯符號或非門的邏輯功能概括為:“全0出1,有1出0”計算機與信息工程學院3.與或非邏輯(由與、或、非三種邏輯組合而成）與或非邏輯函數(shù)式：F=AB+CD與或非門的邏輯符號≥1&ABCDF=AB+CD與或非門的邏輯功能概括為:“每組有0出1,某組全1出0”計算機與信息工程學院

異或邏輯真值表ABF=AB000011101110=1ABF=AB異或門邏輯符號異或邏輯的功能為:1)相同得“0”;2)相異得“1”.4.異或邏輯異或邏輯的函數(shù)式為：

F=AB+AB=AB計算機與信息工程學院=AB同或門邏輯符號F=AB.同或邏輯真值表ABF=AB001010100111.對照異或和同或邏輯真值表,可以發(fā)現(xiàn):同或和異或互為反函數(shù),即:

AB=AB.5.同或邏輯同或邏輯式為:F=AB+AB=AB.同或邏輯的功能為:1)相同得“1”;2)相異得“0”.計算機與信息工程學院表1.15給出了門電路的幾種表示方法，本課程中，均采用“國標”。國外流行的電路符號常見于外文書籍中，特別在我國引進的一些計算機輔助分析和設計軟件中，常使用這些符號。計算機與信息工程學院1.4.3

正邏輯與負邏輯1、邏輯狀態(tài)和邏輯電平(1)邏輯狀態(tài):

邏輯1狀態(tài)邏輯0狀態(tài)(2)邏輯電平:

邏輯高電平,以H表示邏輯低電平,以L表示計算機與信息工程學院門電路的輸入、輸出為二值信號,用“0”和“1”表示.這里的“0”、“1”一般用兩個不同電平值來表示.

若用高電平VH表示邏輯“1”,用低電平VL表示邏輯“0”,則稱為正邏輯約定,簡稱正邏輯;

若用高電平VH表示邏輯“0”,用低電平VL表示邏輯“1”,則稱為負邏輯約定,簡稱負邏輯.2、正、負邏輯計算機與信息工程學院

對一個特定的邏輯門,采用不同的邏輯表示時,其門的名稱也就不同.

正負邏輯轉換舉例電平真值表正邏輯(與非門)負邏輯(或非門)Vi1Vi2VoABYABYVLVLVH001110VLVHVH011100VHVLVH101010VHVHVL110001計算機與信息工程學院

1.5

邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則1.5.1邏輯函數(shù)的相等

因此,如兩個函數(shù)的真值表相等,則這兩個函數(shù)一定相等.

設有兩個邏輯函數(shù):F1=f1(A1,A2,…,An)

F2=f2(A1,A2,…,An)

如果對于A1,A2,…,An

的任何一組取值(共2n組),

F1

和F2的值均相等,則稱F1和F2相等.計算機與信息工程學院例:設兩個函數(shù):F1=A+BCF2=(A+B)(A+C)求證:F1=F2解:這兩個函數(shù)都具有三個變量,有8組邏輯取值,可以列出F1和F2的真值表ABCF1F20000000100010000111110011101111101111111由表可見,對于A,B,C的每組取值,函數(shù)F1的值和F2的值均相等,所以F1=F2.計算機與信息工程學院②自等律A·1=A;A+0=A

③重迭律A·A=A;A+A=A⑤交換律A·B=B·A;A+B=B+A⑥結合律A(BC)=(AB)C;A+(B+C)=(A+B)+C⑦分配律A(B+C)=AB+AC;A+BC=(A+B)(A+C)⑧反演律A+B=A·B;AB=A+B

1.5.2基本定律①0－1律A·0=0;A+1=1④互補律A·A=0;A+A=1⑨還原律A=A=反演律也稱德·摩根定理,是一個非常有用的定理.計算機與信息工程學院3.邏輯代數(shù)的三條規(guī)則(1)代入規(guī)則

任何一個含有變量x的等式,如果將所有出現(xiàn)x的位置,都用一個邏輯函數(shù)式F代替,則等式仍然成立.計算機與信息工程學院例:已知等式

A+X=A·X,有函數(shù)式F=B+C,則

用F代替等式中的X,

有

A+(B+C)=AB+C

即

A+B+C=ABC由此可以證明反演定律對n變量仍然成立.A1+A2+······+An=A1A2······An計算機與信息工程學院

設F為任意邏輯表達式,若將F中所有運算符、常量及變量作如下變換：

·+01原變量

反變量

+·10反變量

原變量

則所得新的邏輯式即為F的反函數(shù)，記為F。例已知

F=AB+AB,根據(jù)上述規(guī)則可得：F=(A+B)(A+B)(2)反演規(guī)則計算機與信息工程學院例已知

F=A+B+C+D+E,則F=ABCDE由F求反函數(shù)注意：1）保持原式運算的優(yōu)先次序；2）原式中的不屬于單變量上的非號不變；計算機與信息工程學院(3)對偶規(guī)則

設F為任意邏輯表達式,若將F中所有運算符和常量作如下變換：

·+01

+·10則所得新的邏輯表達式即為F的對偶式，記為F’.F’=(A+B)(C+D)例有F=AB+CD例有

F=A+B+C+D+EF’=ABCDE計算機與信息工程學院對偶是相互的,F和F’互為對偶式.求對偶式注意：1）保持原式運算的優(yōu)先次序；2）原式中的長短“非”號不變；3）單變量的對偶式為自己。

對偶規(guī)則：若有兩個邏輯表達式F和G相等，則各自的對偶式F’和G’也相等。使用對偶規(guī)則可使得某些表達式的證明更加方便。已知A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)對偶關系例：計算機與信息工程學院1.5.4邏輯代數(shù)的常用公式1）消去律AB+AB=A證明：AB+AB=A

(B+B)=A?1=A對偶關系(A+B)(A+B)=A該公式說明:兩個乘積項相加時,若它們只有一個因子不同(如一項中有B,另一項中有B),而其余因子完全相同,則這兩項可以合并成一項,且能消去那個不同的因子(即B和B).計算機與信息工程學院2)吸收律1A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A對偶關系A(A+B)=A該公式說明:兩個乘積項相加時,若其中一項是另一項的因子,則另一項是多余的.計算機與信息工程學院3)吸收律2A+AB=A+B證明：對偶關系A+AB=(A+A)(A+B)=1?(A+B)=A+BA(A+B)=AB該公式說明:兩乘積項相加時,若其中一項的非是另一項的因子,則此因子是多余的.計算機與信息工程學院4）包含律AB+AC+BC=AB+AC證明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC對偶關系(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)該公式說明:三個乘積項相加時,其中兩個乘積項中,一項含有原變量A,另一項含有反變量A,而這兩項的其余因子都是第三個乘積的因子,則第三個乘積項是多余的.計算機與信息工程學院5)關于異或和同或運算對奇數(shù)個變量而言，有A1A2...An=A1

A2

...An對偶數(shù)個變量而言，有A1A2...An=A1

A2

...An該公式可以推廣為:AB+AC+BCDE=AB+AC計算機與信息工程學院例證:A1⊕A2⊕A3=

A1⊙A2⊙A3

證明：A1⊕A2⊕A3=A1⊙A2⊕A3=A1⊙A2·A3+（A1⊙A2）·A3=A1⊙A2·A3+（A1⊙A2）·A3=A1⊙A2⊙A3

計算機與信息工程學院異或和同或的其他性質(zhì):A0=AA1=AAA=0A(BC)=(AB)CA(BC)=ABACA1=AA0=AAA=1A(BC)=(AB)CA+(BC)=(A+B)(A+C)利用異或門可實現(xiàn)數(shù)字信號的極性控制.同或功能由異或門實現(xiàn).注意:A(B+C)=AB+AC計算機與信息工程學院邏輯函數(shù)F=f(A,B,C，…)任何一個具體的因果關系都可以用邏輯函數(shù)來描述邏輯函數(shù)的表示方法有：真值表，邏輯函數(shù)式，邏輯圖，卡諾圖等計算機與信息工程學院ABCF00000010010001101000101111011111真值表ABCF≥1&電路的邏輯圖F=(A,B,C)=A(B+C)邏輯函數(shù)式舉重裁判電路ACF計算機與信息工程學院1.6

邏輯函數(shù)的標準形式1.6.1常用的邏輯函數(shù)式F(A,B,C)=AB+AC與或式=(A+C)(A+B)或與式=AB·AC與非－與非式=A+C+A+B或非－或非式=AB+AC與或非式計算機與信息工程學院1.6.2函數(shù)的“與–或”式和“或–與”式“與–或”式，指一個函數(shù)表達式中包含若干個與”項，這些“與”項的“或”表示這個函數(shù)。

“或–與”式，指一個函數(shù)表達式中包含若干個“或”項，這些“或”項的“與”表示這個函數(shù)。例：

F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD例：F(A,B,C)=(A+B)(A+C)(A+B+C)計算機與信息工程學院1最小項

1）最小項特點最小項是“與”項。n個變量邏輯函數(shù)的最小項，一定包含n個因子；②在各個最小項中，每個變量必須以原變量或反變量形式作為因子出現(xiàn)一次，而且僅出現(xiàn)一次。1.6.3最小項和最大項計算機與信息工程學院例有A、B兩變量的最小項共有四項(22)：ABABABAB例有A、B、C三變量的最小項共有八項(23)：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABCn個變量最多有個最小項計算機與信息工程學院（2）最小項編號

任一個最小項用mi

表示，m表示最小項，下標i

為使該最小項為1的變量取值所對應的等效十進制數(shù)。例：有最小項ABC,要使該最小項為1，A、B、C的取值應為0、1、1，二進制數(shù)011所等效的十進制數(shù)為3，所以ABC=m3m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567最小項二進制數(shù)十進制數(shù)編號計算機與信息工程學院001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量全部最小項真值表

計算機與信息工程學院(3)最小項的性質(zhì)①變量任取一組值，僅有一個最小項為1，其他最小項為零；②n變量的全體最小項之和為1；③不同的最小項相與，結果為0；④兩最小項相鄰，相鄰最小項相“或”，可以合并成一項，并可以消去一個變量因子。計算機與信息工程學院相鄰的概念：兩最小項如僅有一個變量因子不同，其他變量均相同，則稱這兩個最小項相鄰.任一n

變量的最小項，必定和其他n個不同最小項相鄰。相鄰最小項相“或”的情況：例：ABC+ABC=AB計算機與信息工程學院2最大項（1）最大項特點最大項是“或”項。n個變量構成的每個最大項，一定是包含n個因子的“或”項；②在各個最大項中，每個變量必須以原變量或反變量形式作為因子出現(xiàn)一次，而且僅出現(xiàn)一次。計算機與信息工程學院例有A、B兩變量的最大項共有四項：例有A、B、C三變量的最大項共有八項：A+BA+BA+BA+BA+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C(2)最大項編號

任一個最大項用Mi

表示，M表示最大項，下標i

為使該最大項為0的變量取值所對應的等效十進制數(shù)。n個變量最多有個最大項計算機與信息工程學院A+B+C=M4(3)最大項的性質(zhì)①變量任取一組值，僅有一個最大項為0，其它最大項為1；②n變量的全體最大項之積為0；③不同的最大項相或，結果為1；例：有最大項A+B+C,要使該最大項為0，A、B、C的取值應為1、0、0，二進制數(shù)100所等效的十進制數(shù)為4，所以計算機與信息工程學院④兩相鄰的最大項相“與”，可以合并成一項，并可以消去一個變量因子。相鄰的概念：兩最大項如僅有一個變量因子不同，其他變量均相同，則稱這兩個最大項相鄰。任一

n變量的最大項，必定和其他n

個不同最大項相鄰。相鄰最大項相“與”的情況：例：

(A+B+C)(A+B+C)=A+B計算機與信息工程學院3最小項和最大項的關系編號下標相同的最小項和最大項互為反函數(shù)，即Mi=mi或

mi=Mi例如:m0

=ABC=A+B+C=

M0MO=A+B+C=ABC=

mO計算機與信息工程學院最小項之和式為“與或”式，例：=Σm(2,4,6)=Σ(2,4,6)F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC1.6.4標準與或式和標準或與式1邏輯函數(shù)的標準與或式計算機與信息工程學院例:F(A,B,C)=AB+AC該式不是最小項之和形式=Σm（1，3，6，7）=AB（C+C）+AC（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC任一邏輯函數(shù)都可以表達為最小項之和的形式,而且是唯一的.計算機與信息工程學院

邏輯函數(shù)的最大項之積的形式為“或與”式，例：=ΠM(0,2,4)=Π(0,2,4)F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)任一邏輯函數(shù)都可以表達為最大項之積的形式,而且是唯一的.2邏輯函數(shù)的標準或與式計算機與信息工程學院=ΠM(1,4,5,6)例:F(A,B,C)=(A+C)(B+C)=(A+B·B+C)(A·A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)若

F=Σmi則

F=ΣmjjiF=Σmj

ji=Πmj=ΠMjjiji

3標準與或式和標準或與式的關系計算機與信息工程學院若

F=Σmi則

F=ΣmjjiF=Σmj

ji=Πmj

jiF(A,B,C)=m1+m3+m4+m6+m7F(A,B,C)=m0+m2+m5=ΠMjjiF(A,B,C)=m0+m2+m5=m0·m2·m5

=M0·M2·M5

例:F(A,B,C)=ΠM(0,2,3,7)=Σm(1,4,5,6)例:F(A,B,C)=Σm(1,3,4,6,7)=ΠM(0,2,5)計算機與信息工程學院真值表與邏輯表達式都是表示邏輯函數(shù)的方法。1.7.1由邏輯函數(shù)式列真值表

由邏輯函數(shù)式列真值表可采用三種方法，以例說明：例：試列出下列邏輯函數(shù)式的真值表。

F（A，B，C）=AB+BC1.7邏輯函數(shù)式與真值表計算機與信息工程學院方法一：將A、B、C三變量的所有取值的組合（共八種），分別代入函數(shù)式，逐一算出函數(shù)值，填入真值表中。ABCF00000010010001111000101011011111計算機與信息工程學院方法二：先將函數(shù)式F表示為最小項之和的形式：=Σm（3，6，7）=AB（C+C）+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC

F(A,B,C)=AB+BC計算機與信息工程學院最后根據(jù)最小項的性質(zhì)，在真值表中對應于ABC取值為011、110、111處填“1”，其它位置填“0”。ABCF00000010010001111000101011

011111計算機與信息工程學院方法三：根據(jù)函數(shù)式F的含義，直接填表。函數(shù)F=AB+BC表示的含義為：1）當A和B同時為“1”（即AB=1）時，F(xiàn)=1

2）當B和C同時為“1”（即BC=1）時，F(xiàn)=13）當不滿足上面兩種情況時，F(xiàn)=0

計算機與信息工程學院ABCF00000010010001

11100010101

1011

1

11方法三是一種較好的方法，要熟練掌握。計算機與信息工程學院ABCF1

F2

FF0000

0

010010

1

010101

1

100111

0

011001

0

011011

1

101100

1

011110

0

01例:F=(AB)(BC)令:

F1=(AB);F2=(BC)

F=F1F2計算機與信息工程學院

根據(jù)最小項的性質(zhì)，用觀察法，可直接從真值表寫出函數(shù)的最小項之和表達式。例：已知函數(shù)F的真值表如下，求邏輯函數(shù)表達式。ABCF000000100100011110001011110111111.7.2由真值表寫出邏輯函數(shù)式計算機與信息工程學院解：由真值表可見，當

ABC取011、101、

110、111時，F(xiàn)為“1”。所以，F(xiàn)由4個最小項組成：F（A，B，C）=Σm（3，5,6，7）ABCF00000010010001111000101111011111=ABC+ABC+ABC+ABC計算機與信息工程學院1.8

邏輯函數(shù)的化簡化簡的意義:①節(jié)省元器件,降低電路成本;②提高電路可靠性;③減少連線,制作方便.最簡與或表達式的標準：1）所得與或表達式中，乘積項（與項）數(shù)目最少；2）每個乘積項中所含的變量數(shù)最少。計算機與信息工程學院1.8.1公式化簡法

針對某一邏輯式,反復運用邏輯代數(shù)公式消去多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子,使函數(shù)式符合最簡標準.化簡中常用方法:計算機與信息工程學院(1)并項法=（AB）C+（AB）C在化簡中注意代入規(guī)則的使用(2)吸收法=（AB+AB）C+（AB+AB）C=（AB）C+（AB）C=C=A+BC=(A+BC)+(A+BC)B+AC+D反演律利用公式

AB+AB=A消去律利用公式A+AB=A

吸收律1例:F=ABC+ABC+ABC+ABC例：

F=A+ABCB+AC+D+BC計算機與信息工程學院(3)消項法=ABCD+(A+B)E+CDE=ABCD+ABE+CDE=ABCD+(A+B)E=ABCD+AE+BE

(4)消因子法利用公式包含律利用公式

A+AB=A+B吸收律2

例：F=ABCD+AE+BE+CDE計算機與信息工程學院=AB+C(5)配項法=AB+（A+B）C=AB+ABC利用公式

A+A=1；A?1=A等=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ABC)=AB+AC例：

F=AB+AC+BC例：

F=AB+AC+BC計算機與信息工程學院1.8.2卡諾圖化簡法

該方法是將邏輯函數(shù)用一種稱為“卡諾圖”的圖形來表示,然后在卡諾圖上進行函數(shù)的化簡的方法.1卡諾圖的構成計算機與信息工程學院

卡諾圖是一種包含一些小方塊的幾何圖形,圖中每個小方塊稱為一個單元,每個單元對應一個最小項.兩個相鄰的最小項在卡諾圖中也必須是相鄰的.卡諾圖中相鄰的含義:①幾何相鄰性,即幾何位置上相鄰,也就是左右緊挨著或者上下相接;②對稱相鄰性,即圖形中對稱位置的單元是相鄰的.計算機與信息工程學院卡諾圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3mi二變量圖AB10100123計算機與信息工程學院ABC0100011110ABCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7相鄰性規(guī)則

m1m3m2m7相鄰性規(guī)則

m2m0m1（對稱）

m4循環(huán)碼三變量圖ABC010001111001326754計算機與信息工程學院ABCD00011110000111100132457689111012131514相鄰性規(guī)則

m3m5m7m6m15

四變量圖計算機與信息工程學院ABCDE00011110000001011010013289111024252726110111101100675414151312222321203031292816171918五變量圖計算機與信息工程學院

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，只是把各組變量值所對應的邏輯函數(shù)F的值，填在對應的小方格中。（其實卡諾圖是真值表的另一種畫法）2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法例：F（A，B，C）=ABC+ABC+ABC

用卡諾圖表示為：ABC0100011110m3m5m700000111計算機與信息工程學院用卡諾圖表示為:ABCD00011110000111101100110011111111例:畫出F(A,B,C,D)=ABCD+BCD+AC+A計算機與信息工程學院3在卡諾圖上合并最小項的規(guī)則

當卡諾圖中有最小項相鄰時（即：有標1的方格相鄰)，可利用最小項相鄰的性質(zhì)，對最小項合并。規(guī)則為：（1）卡諾圖上任何兩個標1的方格相鄰，可以合為1

項，并可消去1個變量。計算機與信息工程學院例：ABC010001111000000111ABC+ABC=BCABC+ABC=AC計算機與信息工程學院ABCD00011110000111101111ABD（2）卡諾圖上任何四個標1方格相鄰，可合并為一項，并可消去兩個變量。四個標1方格相鄰的特點：①同在一行或一列；②同在一田字格中。ABD計算機與信息工程學院例：ABCD00011110000111101111111CDABABCD0001111000011110111111111BD同在一行或一列同在一個田字格中BD計算機與信息工程學院思考題ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111計算機與信息工程學院（3）卡諾圖上任何八個標1的方格相鄰，可以并為一項，并可消去三個變量。例：ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111BA計算機與信息工程學院思考題:ABCD00011110000111101111

1111綜上所述，在n個變量的卡諾圖中，只有2的i次方個相鄰的標1方格（必須排列成方形格或矩形格的形狀）才能圈在一起，合并為一項，該項保留了原來各項中n-i個相同的變量，消去i個不同變量。計算機與信息工程學院4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)（化為最簡與或式）項數(shù)最少，意味著卡諾圖中圈數(shù)最少；每項中的變量數(shù)最少，意味著卡諾圖中的圈盡可能大。最簡標準：①例

將F（A，B，C）=Σm（3，4，5，6，7）化為最簡與或式。計算機與信息工程學院ABC010001111011111ABC010001111011111F=A+BC（最簡）

（非最簡）F=AB+BC+ABC②化簡步驟（結合舉例說明）{=A(B+BC)+BC=A(B+C)+BC=ABC+BC=A+BC}計算機與信息工程學院例

將F（A,B,C,D）=Σm（0,1,3,7,8,10,13）化為最簡與或式。解：(1)由表達式填卡諾圖;(2)圈出孤立的標1方格;ABCD00011110000111101111111m13計算機與信息工程學院ABCD00011110000111101111111(3)找出只被一個最大的圈所覆蓋的標1方格,并圈出覆蓋該標1方格的最大圈;(4)將剩余的相鄰標1方格,圈成盡可能少,而且盡可能大的圈.ABCDACDABDABCm7,m10m0,m1計算機與信息工程學院(5)將各個對應的乘積項相加,寫出最簡與或式.例：ABCD000111100001111011111111111F(A,B,C,D)=ABD+BD+AD+CDF(A,B,C,D)=ABCD+ACD+ABD+ABCF(A,B,C,D)=AC+ACD+ABD+BC+BCD計算機與信息工程學院一種特殊情況：ABC0001111001111111ABC0001111001111111F=AB+BC+ACF=AB+BC+AC得到兩種化簡結果，也都是最簡的。計算機與信息工程學院③化簡中注意的問題(1)每一個標1的方格必須至少被圈一次;(2)每個圈中包含的相鄰小方格數(shù),必須為2的整數(shù)次冪;(3)為了得到盡可能大的圈,圈與圈之間可以重疊;ABCD000111100001111011111111111計算機與信息工程學院ABCD000111100001111011111111藍色的圈為多余的.F=ABC+ACD+ACD+ABC+(BD)例如:(4)若某個圈中的所有標1方格,已經(jīng)完全被其它圈所覆蓋,則該圈為多余的.計算機與信息工程學院

方法:在卡諾圖中合并標0方格,可得到反函數(shù)的最簡與或式.例:ABC010001111011110000F=AB+BC+AC④用卡諾圖求反函數(shù)的最簡與或式計算機與信息工程學院常利用該方法來求邏輯函數(shù)F的最簡與或非式,例如將上式F上的非號移到右邊,就得到F的最簡與或非表達式.F=AB+BC+AC計算機與信息工程學院邏輯函數(shù)化簡的技巧對較為復雜的邏輯函數(shù)，可將函數(shù)分解成多個部分，先將每個部分分別填入各自的卡諾圖中，然后通過卡諾圖對應方格的運算，求出函數(shù)的卡諾圖。對卡諾圖進行化簡。計算機與信息工程學院ABCD000111100001111011111111111ABCD00011110000111101111111ABCD0001111000011110111111例：化簡邏輯函數(shù)F=(AB+AC+BD)(ABCD+ACD+BCD+BC)=F=ABCD+ABC+BCD+ACD計算機與信息工程學院

在某些實際數(shù)字電路中,邏輯函數(shù)的輸出只和一部分最小項有確定對應關系