圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識點總結(jié)例題習(xí)題精講

圓錐曲線_橢圓_雙曲線_拋物線_知識點總結(jié)_例題習(xí)題精講橢圓一、橢圓的定義1、橢圓的第一定義:平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意:若,則動點的軌跡為線段;若,則動點的軌跡無圖形。二、橢圓的方程1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(端點為a、b,焦點為c)(1)當(dāng)焦點在軸上時,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中;(2)當(dāng)焦點在軸上時,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中;2、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示:或者mx2+ny21三、橢圓的性質(zhì)(以為例)1、對稱性:對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形;并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心。2、范圍:橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi),所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足,。3、頂點:①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點,坐標(biāo)分別為,,,。③線段,分別叫做橢圓的長軸和短軸,,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率:①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率,用表示,記作。②因為,所以的取值范圍是。越接近1,則就越接近,從而越小,因此橢圓越扁;反之,越接近于0,就越接近0,從而越接近于,這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時,,這時兩個焦點重合,圖形變?yōu)閳A,方程為。③離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān),與其所處的位置無關(guān)。注意:橢圓的圖像中線段的幾何特征(如下圖):5、橢圓的第二定義:平面內(nèi)與一個定點(焦點)和一條定直線(準(zhǔn)線)的距離的比為常數(shù)e,(0<e<1)的點的軌跡為橢圓()。即:到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點所構(gòu)成的圖形,也即上圖中有。①焦點在x軸上:(a>b>0)準(zhǔn)線方程:②焦點在y軸上:(a>b>0)準(zhǔn)線方程:6、橢圓的內(nèi)外部需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)例題精講詳細(xì)解答”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”(1)點在橢圓的內(nèi)部(2)點在橢圓的外部四、橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì) 焦點 , ,焦距范圍 , ,對稱性 關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點 , ,軸長 長軸長,短軸長離心率準(zhǔn)線方程焦半徑 , ,五、其他結(jié)論需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)例題精講詳細(xì)解答”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”1、若在橢圓上,則過的橢圓的切線方程是2、若在橢圓外,則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是3、橢圓a>b>0的左右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上任意一點,則橢圓的焦點角形的面積為4、橢圓(a>b>0)的焦半徑公式:,,5、設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點,A為橢圓長軸上一個頂點,連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點,則MF⊥NF。6、過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點,A1P和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N,則MF⊥NF。7、AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦,M為AB的中點,則,即。8、若在橢圓內(nèi),則被Po所平分的中點弦的方程是9、若在橢圓內(nèi),則過Po的弦中點的軌跡方程是雙曲線一、雙曲線的定義1、第一定義:到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長(<|F1F2|)的點的軌跡((為常數(shù)))。這兩個定點叫雙曲線的焦點。要注意兩點:(1)距離之差的絕對值。(2)2a<|F1F2|。當(dāng)|MF1|-|MF2|2a時,曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支;當(dāng)|MF1|-|MF2|-2a時,曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支;當(dāng)2a|F1F2|時,軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線;當(dāng)2a>|F1F2|時,動點軌跡不存在。2、第二定義:動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)ee>1時,這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點,定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(,其中||2c)需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)例題精講詳細(xì)解答”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”三、點與雙曲線的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點與雙曲線2、直線與雙曲線四、雙曲線與漸近線的關(guān)系五、雙曲線與切線方程六、雙曲線的性質(zhì)七、弦長公式1、若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B,且分別為A、B的橫坐標(biāo),則,,若分別為A、B的縱坐標(biāo),則。2、通徑的定義:過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點,則弦長。3、若弦AB所在直線方程設(shè)為,則=。4、特別地,焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解八、焦半徑公式九、等軸雙曲線十、共軛雙曲線拋物線一、拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線ll不經(jīng)過點F距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點,定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。二、拋物線的性質(zhì)三、相關(guān)定義1、通徑:過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦H1H2稱為通徑;通徑:|H1H2|2P2、弦長公式:3、焦點弦:過拋物線焦點的弦,若,則1x0+,2,-p23弦長,,即當(dāng)x1x2時,通徑最短為2p4若AB的傾斜角為θ,則(5)+四、點、直線與拋物線的位置關(guān)系需要詳細(xì)的拋物線的資料,請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)例題精講詳細(xì)解答”圓錐曲線與方程一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點Px,y到一個定點Fc,0的距離與到不通過這個定點的一條定直線的距離之比是一個常數(shù)ee>0,則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點Fc,0稱為焦點,定直線稱為準(zhǔn)線,正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0<e<1時,軌跡為橢圓;當(dāng)e1時,軌跡為拋物線;當(dāng)e>1時,軌跡為雙曲線。特別注意:當(dāng)時,軌跡為圓(,當(dāng)時)。二、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)三、曲線與方程四、坐標(biāo)變換1、坐標(biāo)變換:2、坐標(biāo)軸的平移:3、中心或頂點在h,k的圓錐曲線方程【例】以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________.解:拋物線的焦點為,設(shè)雙曲線方程為,,雙曲線方程為【例】雙曲線1b∈N的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則b2_________。解:設(shè)F1-c,0)、F2c,0、Px,y,則|PF1|2+|PF2|22|PO|2+|F1O|2<252+c2,即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2|PF1|-|PF2|2+2|PF1|?|PF2|,依雙曲線定義,有|PF1|-|PF2|4,依已知條件有|PF1|?|PF2||F1F2|24c2∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,又∵c24+b2<,∴b2<,∴b21?！纠慨?dāng)取何值時,直線:與橢圓相切,相交,相離?解:①代入②得化簡得當(dāng)即時,直線與橢圓相切;當(dāng),即時,直線與橢圓相交;當(dāng),即或時,直線與橢圓相離?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個焦點為F,M是橢圓上的任意點,|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以yx為軸的對稱點M1和M2,且|M1M2|,試求橢圓的方程。解:|MF|a+c,|MF|mina-c,則a+ca-ca2-c2b2,∴b24,設(shè)橢圓方程為①設(shè)過M1和M2的直線方程為y-x+m ②將②代入①得:4+a2x2-2a2mx+a2m2-4a20③設(shè)M1x1,y1、M2x2,y2,M1M2的中點為x0,y0,則x0x1+x2,y0-x0+m。代入yx,得,由于a2>4,∴m0,∴由③知x1+x20,x1x2-,又|M1M2|,代入x1+x2,x1x2可解a25,故所求橢圓方程為:1?！纠磕硳佄锞€形拱橋跨度是20米,拱高4米,在建橋時每隔4米需用一支柱支撐,求其中最長的支柱的長。解:以拱頂為原點,水平線為x軸,建立坐標(biāo)系,如圖,由題意知,|AB|20,|OM|4,A、B坐標(biāo)分別為-10,-4)、10,-4)設(shè)拋物線方程為x2-2py,將A點坐標(biāo)代入,得100-2p×-4,解得p12。5,于是拋物線方程為x2-25y。由題意知E點坐標(biāo)為2,-4,E′點橫坐標(biāo)也為2,將2代入得y-0。16,從而|EE′|-0.16--43.84。故最長支柱長應(yīng)為3.84米?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在坐標(biāo)軸上,直線yx+1與橢圓交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|,求橢圓方程。解:設(shè)橢圓方程為mx2+ny21m>0,n>0,Px1,y1,Qx2,y2由得m+nx2+2nx+n-10,Δ4n2-4m+nn-1>0,即m+n-mn>0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y20,即2x1x2+x1+x2+10,∴+10,∴m+n2 ①又22,將m+n2,代入得m?n ②由①、②式得m,n或m,n故橢圓方程為+y21或x2+y21?！纠恳阎獔AC1的方程為,橢圓C2的方程為,C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解:由設(shè)橢圓方程為設(shè)又兩式相減,得又即將由得解得故所有橢圓方程【例】過點1,0的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點,直線yx過線段AB的中點,同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱,試求直線l與橢圓C的方程。解法一:由e,得,從而a22b2,cb。設(shè)橢圓方程為x2+2y22b2,Ax1,y1,Bx2,y2在橢圓上。則x12+2y122b2,x22+2y222b2,兩式相減得,x12-x22+2y12-y220,設(shè)AB中點為x0,y0,則kAB-,又x0,y0在直線yx上,y0x0,于是--1,kAB-1,設(shè)l的方程為y-x+1。右焦點b,0關(guān)于l的對稱點設(shè)為x′,y′,由點1,1-b在橢圓上,得1+21-b22b2,b2?！嗨髾E圓C的方程為1,l的方程為y-x+1。解法二:由e,從而a22b2,cb。設(shè)橢圓C的方程為x2+2y22b2,l的方程為ykx-1,將l的方程代入C的方程,得1+2k2x2-4k2x+2k2-2b20,則x1+x2,y1+y2kx1-1+kx2-1kx1+x2-2k-。直線l:yx過AB的中點,則,解得k0,或k-1。若k0,則l的方程為y0,焦點Fc,0關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身,不能在橢圓C上,所以k0舍去,從而k-1,直線l的方程為y-x-1,即y-x+1,以下同解法一。解法三:設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸,否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設(shè)直線,,,,,,,,,,,,,則,,,,所以所求的橢圓方程為:【例】如圖,已知△P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點,求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程。解:以O(shè)為原點,∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線方程為1a>0,b>0,由e2,得?！鄡蓾u近線OP1、OP2方程分別為yx和y-x設(shè)點P1x1,x1,P2x2,-x2x1>0,x2>0,則由點P分所成的比λ2,得P點坐標(biāo)為,又點P在雙曲線1上,所以1,即x1+2x22-x1-2x229a2,整理得8x1x29a2①即x1x2②由①、②得a24,b29。故雙曲線方程為1?！纠窟^橢圓C:上一動點P引圓O:x2+y2b2的兩條切線PA、PB,A、B為切點,直線AB與x軸,y軸分別交于M、N兩點。1已知P點坐標(biāo)為x0,y0并且x0y0≠0,試求直線AB方程;2若橢圓的短軸長為8,并且,求橢圓C的方程;3橢圓C上是否存在點P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直?若存在,請求出存在的條件;若不存在,請說明理由。解:1設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2切線PA:,PB:∵P點在切線PA、PB上,∴∴直線AB的方程為2在直線AB方程中,令y0,則M,0;令x0,則N0,∴①∵2b8∴b4代入①得a225,b216∴橢圓C方程:3假設(shè)存在點Px0,y0滿足PA⊥PB,連接OA、OB由|PA||PB|知,四邊形PAOB為正方形,|OP||OA|∴①又∵P點在橢圓C上∴②由①②知x∵ab0∴a2-b201當(dāng)a2-2b20,即ab時,橢圓C上存在點,由P點向圓所引兩切線互相垂直;2當(dāng)a2-2b20,即bab時,橢圓C上不存在滿足條件的P點【例】已知點B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動點,且滿足(1)求點P的軌跡C對應(yīng)的方程;(2)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD⊥AE,判斷:直線DE是否過定點?試證明你的結(jié)論。(3)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2滿足k1?k22。求證:直線DE過定點,并求出這個定點。解:(1)設(shè)【例】已知曲線,直線l過A(a,0)、B(0,-b)兩點,原點O到l的距離是(Ⅰ)求雙曲線的方程;(Ⅱ)過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點,若,求直線m的方程。解:(Ⅰ)依題意,由原點O到l的距離為,得又。故所求雙曲線方程為(Ⅱ)顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為ykx-1,則點M、N坐標(biāo)()、()是方程組的解消去y,得①依設(shè),由根與系數(shù)關(guān)系,知∴-23,k±。當(dāng)k±時,方程①有兩個不等的實數(shù)根故直線l方程為【例】已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值,且的最小值為.(1)求動點的軌跡方程;(2)若已知,、在動點的軌跡上且,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)由已知可得:,∴∴所求的橢圓方程為。2方法一:由題知點D、M、N共線,設(shè)為直線m,當(dāng)直線m的斜率存在時,設(shè)為k,則直線m的方程為ykx+3代入前面的橢圓方程得4+9k2x2+54k+450①由判別式,得。再設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2,則一方面有,得另一方面有,②將代入②式并消去x2可得,由前面知,∴,解得。又當(dāng)直線m的斜率不存在時,不難驗證:,所以為所求。方法二:同上得設(shè)點M3cosα,2sinα,N3cosβ,2sinβ則有由上式消去α并整理得,由于∴,解得為所求。方法三:設(shè)法求出橢圓上的點到點D的距離的最大值為5,最小值為1。進(jìn)而推得的取值范圍為?！纠咳鐖D所示,拋物線y24x的頂點為O,點A的坐標(biāo)為5,0,傾斜角為的直線l與線段OA相交不經(jīng)過點O或點A且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線l的方程,并求△AMN的最大面積。解:由題意,可設(shè)l的方程為yx+m,-5<m<0。由方程組,消去y,得x2+2m-4x+m20……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,∴方程①的判別式Δ2m-42-4m2161-m>0,解得m<1,又-5<m<0,∴m的范圍為-5,0設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2則x1+x24-2m,x1?x2m2,∴|MN|4。點A到直線l的距離為d?！郤△25+m,從而S△241-m5+m222-2m?5+m5+m≤23128。∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2-2m5+m,即m-1時取等號。故直線l的方程為yx-1,△AMN的最大面積為8?！纠恳阎p曲線C:2x2-y22與點P1,2。1求過P1,2點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點。2若Q1,1,試判斷以Q為中點的弦是否存在。解:1當(dāng)直線l的斜率不存在時,l的方程為x1,與曲線C有一個交點。當(dāng)l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2kx-1,代入C的方程,并整理得2-k2x2+2k2-2kx-k2+4k-60………………*?當(dāng)2-k20,即k±時,方程*有一個根,l與C有一個交點?當(dāng)2-k2≠0,即k≠±時Δ[2k2-2k]2-42-k2-k2+4k-6163-2k①當(dāng)Δ0,即3-2k0,k時,方程*有一個實根,l與C有一個交點。②當(dāng)Δ>0,即k<,又k≠±,故當(dāng)k<-或-<k<或<k<時,方程*有兩不等實根,l與C有兩個交點。③當(dāng)Δ<0,即k>時,方程*無解,l與C無交點。綜上知:當(dāng)k±,或k,或k不存在時,l與C只有一個交點;當(dāng)<k<,或-<k<,或k<-時,l與C有兩個交點;當(dāng)k>時,l與C沒有交點。2假設(shè)以Q為中點的弦存在,設(shè)為AB,且Ax1,y1,Bx2,y2,則2x12-y122,2x22-y222兩式相減得:2x1-x2x1+x2y1-y2y1+y2又∵x1+x22,y1+y22∴2x1-x2y1-y1即kAB2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點,所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在?！纠恳阎p曲線G的中心在原點,它的漸近線與圓相切.過點作斜率為的直線,使得和交于兩點,和軸交于點,并且點在線段上,又滿足.(1)求雙曲線的漸近線的方程;(2)求雙曲線的方程;(3)橢圓的中心在原點,它的短軸是的實軸.如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,求橢圓的方程.解:(1)設(shè)雙曲線的漸近線的方程為:,則由漸近線與圓相切可得:.所以,.雙曲線的漸近線的方程為:.(2)由(1)可設(shè)雙曲線的方程為:.把直線的方程代入雙曲線方程,整理得.則(*)∵,共線且在線段上,∴,即:,整理得:將(*)代入上式可解得:.所以,雙曲線的方程為.(3)由題可設(shè)橢圓的方程為:.下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡.設(shè)弦的兩個端點分別為,的中點為,則.兩式作差得:由于,所以,,所以,垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分.又由題,這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,所以,.所以,,橢圓S的方程為:.點評:解決直線與圓錐曲線的問題時,把直線投影到坐標(biāo)軸上(也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系)是常用的簡化問題的手段;有關(guān)弦中點的問題,常常用到“設(shè)而不求”的方法;判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具).【例】已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點,焦點在s軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1。(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。解:Ⅰ設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為,由已知得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(Ⅱ)設(shè),其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得,其中。(i)時?；喌盟渣c的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段。(ii)時,方程變形為,其中當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分;當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓;【例】已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線L與C相交于A、B兩點,當(dāng)L的斜率為1時,坐標(biāo)原點O到L的距離為。Ⅰ求a,b的值;ⅡC上是否存在點P,使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程;若不存在,說明理由考點:本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力,第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算,第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想,借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題,注意特殊情況的處理。解:(Ⅰ)設(shè)當(dāng)?shù)男甭蕿?時,其方程為到的距離為。故,由,得,(Ⅱ)C上存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有