人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第28章 銳角三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)（教案）

章末復(fù)習(xí)【知識(shí)與技能】1.進(jìn)一步理解并掌握銳角三角形函數(shù)的意義，能用定義進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；2.熟記特殊角的三角函數(shù)值，能用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值或利用銳角的三角函數(shù)值求相應(yīng)角的度數(shù)；3.能用解直角三角形知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.【過(guò)程與方法】進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.【情感態(tài)度】進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.【教學(xué)重點(diǎn)】通過(guò)對(duì)本章知識(shí)的回顧，鞏固所學(xué)知識(shí)，能熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題.【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.知識(shí)框圖，整體把握【教學(xué)說(shuō)明】教學(xué)前，教師應(yīng)根據(jù)本章知識(shí)內(nèi)容設(shè)計(jì)一個(gè)適合要求的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖，教學(xué)時(shí)，與學(xué)生一道回顧本章知識(shí)，按自己的設(shè)計(jì)思路展示出結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生加深對(duì)本章知識(shí)的系統(tǒng)理解.二、釋疑解惑，加深理解問(wèn)題1請(qǐng)用計(jì)算器探索出銳角函數(shù)的函數(shù)值隨自變量銳角從小到大的變化而變化的情況，你有什么發(fā)現(xiàn)?【教學(xué)說(shuō)明】教師可引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器求出0°?10°，10°?20°，20°?30°，……，80°?90°之間的某一銳角的三角函數(shù)值，通過(guò)分析得到的函數(shù)值，可獲得銳角三角函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).【歸納結(jié)論】對(duì)于銳角A，它的正弦函數(shù)(sinA)的函數(shù)值隨自變量銳角A的增大而增大，且sinA必滿足0＜sinA＜1;它的余弦函數(shù)(cosA)的函數(shù)值隨銳角A的增大而減小，且cosA必滿足0＜COSA＜1;它的正切函數(shù)（tanA)的函數(shù)值隨銳角A的增大而增大，且tanA滿足tanA＞0.試一試若銳角A的余弦值cosA=3，則銳角A的取值范圍是（ ）A.60°＜A＜90° B.45°＜A＜60°C.30°＜A＜45° D.0°＜A＜30°分析與解由于cos30°=0.866,cos45°=0.707,cos60°=，且cosA==0.75，知cos45°＜cosA＜cos30°，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，其函數(shù)值隨角度的增大而減小，從而可知30°＜A＜；45°，故應(yīng)選C.問(wèn)題2利用銳角三角函數(shù)定義及勾股定理，你能證明sin2A+cos2A=1嗎？你有何發(fā)現(xiàn)？問(wèn)題3若∠A+∠B=90，你能探索出tanA與tanB之間有什么關(guān)系嗎？與同伴交流.【教學(xué)說(shuō)明】教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系及相應(yīng)銳角的三角函數(shù)的意義不難得出結(jié)論.經(jīng)歷由問(wèn)題1的感性認(rèn)識(shí)到問(wèn)題2、3的理性思考可進(jìn)一步開拓學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)解題技能.【結(jié)論】1.對(duì)于任意銳角A，總有sin2A+cos2A=1；2.若兩個(gè)銳角∠A，∠B滿足∠A+∠B=90°，則必有tanA?tanB=1.試一試化簡(jiǎn)tan1°·tan11°·tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.分析與解由==||=1sin23°，==sin23°，及tan1°·tan89°=1等可得到原式=1sin23°+sin23°1=0.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1在Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，求cosB和tanA的值.分析與解結(jié)合圖形及已知條件，由cosA==，故不妨設(shè)AC=m，則AB=3m，由勾股定理易得BC=m，從而cosB===,tanA===.例2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠BEC=45°.（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）若BE=8cm，sin∠BCE=，求⊙O的半徑.分析與解本例是一道圓、平行四邊形、銳角三角函數(shù)的小綜合問(wèn)題，在（1）中可直接由∠BEC=45°得到∠BOC=90°（添加輔助線OC），再利用平行四邊形性質(zhì)，可得到∠OCD=∠BOC=90°，從而CD是⊙O的切線；在（2）中，應(yīng)先連AE，利用圓的性質(zhì)可得∠BAE=∠BCE，又AB為⊙O直徑，故△ABC為直角三角形，這樣由sin∠BCE=，得到sin∠BAE==，又BE=8，從而得AB=10，故⊙O的半徑為5.通過(guò)上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不是直角三角形中的銳角三角函數(shù)問(wèn)題，常常需通過(guò)添加輔助線，將這一銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為直角三角形中某個(gè)角的三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.例3小劉同學(xué)在課外活動(dòng)中觀察吊車的工作過(guò)程，繪制了如圖所示的平面圖形，已知吊車吊臂的支點(diǎn)O距離地面的高=2米，當(dāng)?shù)醣垌敹擞葾點(diǎn)抬升至點(diǎn)（吊臂長(zhǎng)度不變）時(shí)，地面B處的重物（大小忽略不計(jì)）被吊至處，緊繃著的吊纜=AB.AB垂直地面B于點(diǎn)B，垂直地面B于點(diǎn)C，吊臂長(zhǎng)度O=OA=10m，且cosA=，sin=.（1）求此重物在水平方向移動(dòng)的距離BC；（2）求此重物在豎直方向移動(dòng)的距離C.（結(jié)果保留根號(hào)）分析與解過(guò)O作OF⊥AB于F，交于點(diǎn)E（如圖），這樣可在Rt△AOF中，利用OA=10，cosA=，求出AF=6，從而得OF=8，在Rt△OE中，由O=10，sin=，得OE=5，從而BC=EF=OF-OE=8-5=3m，即重物在水平方向移動(dòng)的距離為3m；同樣，可求出AB=AF+BF=AF+=6+2=8，在Rt△OE中，可得E=.故C=E+EC=+2,這樣C=C-=C-AB=+2-8=-6，即此重物在豎直方向移動(dòng)的距離為（-6）m.例4某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度.他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60°,已知A點(diǎn)的高度AB為2m，臺(tái)階AC的坡度為1∶(即AB∶BC=1∶，且B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）.分析與解如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形.∴AF=BE，EF=AB=2.設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，CE===.在Rt△AFD中，DF=DEEF=x2，∴AE===.∵AF=BE=BC+CE，∴=+.解得x=6.即樹DE的高度為6m.例5圖甲是一個(gè)水桶模型示意圖，水桶提手結(jié)構(gòu)的平面圖是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)點(diǎn)O到BC（或DE）的距離大于或等于⊙O的半徑時(shí)（⊙O是桶口所在圓，半徑為OA），提手才能從圖甲的位置轉(zhuǎn)到圖乙的位置，這樣的提手才合格.現(xiàn)用金屬材料做了一個(gè)水桶提手（如圖丙A-B-C-D-E-F，C-D是CD〖TX(〗,其余是線段），O是AF的中點(diǎn)，桶口直徑AF=34cm，AB=FE=5cm，∠ABC=∠FED=149°.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷這個(gè)水桶提手是否合格.（參考數(shù)據(jù)：≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97,）分析與解要判斷圖丙中所示提手是否合格，可過(guò)O作OM⊥BC于M，只須比較OM與OA的大小即可.這時(shí)再連OB，在Rt△ABO中，由tan∠ABO===3.4及tan73.6°=3.4可知∠ABO=73.6°，又∠ABC=149°，從而∠MBO=75.4°，又OB===≈17.72，且sin∠MBO=，∴OM=OB·sin∠MBO=17.72×sin75.4°=17.72×0.97≈17.2，由OM＞OA知，這個(gè)提手是合格的.【教學(xué)說(shuō)明】上述所選四道題中的例1，例2可由學(xué)生自主探究，獨(dú)立完成，然后相互交流，互相檢查.例3、例4文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，教師應(yīng)作好引導(dǎo)，幫助學(xué)生分析，找出解決問(wèn)題的突破口，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上探尋結(jié)論，進(jìn)一步體驗(yàn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程、方法，加深對(duì)本章知識(shí)的理解.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？【教學(xué)說(shuō)明】師生