2016講彈性力學試題及答案1

2012年度彈性力學與有限元分析復習題及其答案一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應以形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后，其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與物體的形變和材料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。10、在彈性力學里分析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。2、平面問題分為和。平面應力問題平面應變問題6、在彈性力學中規(guī)定，切應變以時為正，時為負，與的正負號規(guī)定相適應。直角變小變大切應力7、小孔口應力集中現(xiàn)象中有兩個特點：一是，即孔附近的應力遠大于遠處的應力，或遠大于無孔時的應力。二是，由于孔口存在而引起的應力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內?？赘浇膽Ω叨燃?，應力集中的局部性四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。(1)o=Ax+By，o=Cx+Dy，t=Ex+Fy；X y xy(2)o=A(x2+y2)，o=B(x2+y2)，t=Cxy；x y xy

其中，A，B，C，D,E，F(xiàn)為常數(shù)。解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內的平衡微分方程do Stdo St——+-=0dx dyI：%;y ；（2）在區(qū)域內的相容方程do St——+——=0dy dx三十三]Q+o1。；（3）在邊界上的應力、dx2dy2jxy[Go+mT邊界條件\（xyxImo+1tyxy；二（4）對于多連體的位移單值條件。）4）（1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應滿足應力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應力分量不可能存在。TOC\o"1-5"\h\z2、已知應力分量o=-Qxy2+Cx3，o=一2Cxy2，t=-Cy3-Cx2y，體力不計，Q為

x 1 y2 2 xy2 3常數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù)q，c2,c3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程do St——x+—=0

dx dy1do St\o"CurrentDocument" +——x^=0

dy dx-Qy2+3Cx2-3Cy2-Cx2=0-3Cxy-2Cxy=02322C3a大2—k)3)3cC2-+1

cc由x,y的任意性，得[3。-C=0

131Q+3C=0

23C+2C=023由此解得，C=Q,C=-Q,C=Q16 2 3 324、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。s=Axy，￡=By3，y=C-Dy2；(2)￡=Ay2，￡=Bx2y，y=(2)(3)￡=0(3)￡=0，￡=0，y=Cxy；xy其中,A,B,C,D為常數(shù)。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件，即S2￡S2￡S2y

+ = ySy2Sx2SxSy將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調方程，可知:（1）相容。2A+2By=C（1分）；這組應力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。y=0(1分)。（3）0=C；這組應力分量若存在，則須滿足：Cy=0(1分)。5、證明應力函數(shù)^=by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，b。0）。解：將應力函數(shù)P=by2代入相容方程可知，所給應力函數(shù)^=by2能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為KS2解：將應力函數(shù)P=by2代入相容方程可知，所給應力函數(shù)^=by2能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為KS23o= =2bxSy2對于圖示的矩形板和坐標系，個邊上的面力分別為：S2中，O=--=0，Ty Sx2 xy當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四h，八 一上邊，y=——，l=0，m=—1，2=0，于二一（。）=0；hy=-2下邊，y=h，l=0，2m=1，于=（t） =0，于=（。）xxyhy=2yy=0；左邊，x=——ll=—1,2m=0i左邊，x=——ll=—1,2m=0if=—(o) =—2bxxx=—2xy=0;lx=—2右邊，x=—ll=12m=0if=(o) =2bixxx=2f=a

yxyx==0oi2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,可見，應力函數(shù)^=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（b<0）的問題。6、證明應力函數(shù)中=axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，a。0）。解：將應力函數(shù)中=axy代入相容方程S40cS40 S40八--+2 -+--=0可知，所給應力函數(shù)中=axy能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為4S20no==0xSy2對于圖示的矩形板和坐標系，個邊上的面力分別為：S20

o= =0ySx24S20no==0xSy2對于圖示的矩形板和坐標系，個邊上的面力分別為：S20

o= =0ySx2TxyS20

SxSy當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四上邊hy=—-2l=0fx=-Txy)hy=-2=a，f=—9)=0;hy=-2下邊m=11f=(t) =—axxyy=2f二(。

yyy==0；h2左邊lx=—-2l=—1m=0if=—(o) =0x xx=—2f=-(^)xyx=-右邊l=1m=0if=(o) =0xxx=2f=(T)=-aoxy可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力〃，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力〃。因此，應力函數(shù)①二Q盯能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為p，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。解：根據(jù)結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力〃，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力〃。因此，應力函數(shù)①二Q盯能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為p，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。解：根據(jù)結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設。=0。由此可知rS沖nO= =0xSy2將上式對y積分兩次，可得如下應力函數(shù)表達式①Q,ybf(x)y+f(x)將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得ydfx+d4于Jx)=0

dx4 dx4這是y的線性方程但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內的y值都應該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即f)=0，

dx4d4f2(x)=0dx4這兩個方程要求f(f(x)=Ax3+Bx2+Cx+1，f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得①二y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2對應應力分量為S2①o=——=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyt=-_￡22_=-3Ax2-2Bx-C

xySxSy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x=0，l=-1，m=0，沿y方向無面力，所以有Yxy)x=0=C=0

m—0，沿y方向的面力為q，所以有(t)b=—3m—0，沿y方向的面力為q，所以有(t)b=—3Ab2-2Bbqq上邊，y-0,l=0,m--1,沒有水平面力，這就要求tx在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即1b(t)0dx―0將Txy的表達式代入，并考慮到C=0，則有b-aAb3-Bb2―00Jb(-3Ax2-2Bx)dx—aAx3-Bx210而Jb(t).0dx-0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求o在這部0xyy-0分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即Jb(o) dx-0，將oy的表達式代入，則有Jb(o)xd—0由此可得Jb0Jb0(6Dx+2E)dx-3Dx2+2Ex\0-3Db2+2Eb-0(6Dx+2E)xdx-2Dx3+Ex210-2Db3+Eb2-0C-0D-0，E-0應力分量為Txyx-Txyx-qb-0, o-2qy1-3yb雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為p，試用純三次的應力函數(shù)求解。解：純三次的應力函數(shù)為甲=ax3+bx2y+cxy2+dy3相應的應力分量表達式為d23 /7 S29 S2①o= —xf=2cx+6dy,o= —yf=6ax+2by—pgy,t=— =—2bx—2cyxSy2 x ySx2 y xySxSy這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。上邊，y=0，1=0，m=-1，沒有水平面力，所以有—(t)0=2bx=0對上端面的任意x值都應成立，可見b=0同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有—(o)=6ax=0對上端面的任意x值都應成立，可見a=0因此，應力分量可以簡化為o=2cx+6dy，o=—pgy，t=—2cy

x y xy斜面，y=xtana斜面，y=xtana,l=cos「兀一.一——+aI=—sina12)_[Go+mtxyxmo+1t〔yxy,m=cosVaAcosa,=0=xtana=0沒有面力，所以有y=xtana由第一個方程，得—(2cx+6dxtana}ina—2cxtanacosa=—4cxsina—6dxtanasina=0對斜面的任意x值都應成立，這就要求—4c—6dtana=0由第二個方程，得2cxtanasina—pgxtanacosa=2cxtanasina—pgxsina=0對斜面的任意x值都應成立，這就要求2c2ctana—pg=0(1分)1d1d=—3pgcot2a=—p^y,t=—pgycotay xy由此解得1c=pgcota(1分)，

21從而應力分量為o=pgxcota—2pgycot2a,ox

一.一 、. .h 設三角形懸臂梁的長為l，高為h，則tana=h。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束lTOC\o"1-5"\h\z一.、,一，一, 、,一，一. 1一.. .反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為-1pglh。因此，所求。在這部分邊界上2 x1合成的王矢應為零，。應當合成為反力--pglh。xy 2JhQ)dy=fhGglcota—2pgycot2a)y=pglhcota—pgh2cot2a=00xx=l 0Jh()dy=Jh(-pgycota)dy-—-pgh2cota=—!-pglh0xyx-1 0 2 2可見，所求應力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角。，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為p1，液體的密度為p2，試求應力分量。x解：采用半逆解法。首先應用量綱分析方法來假設應力分量的函數(shù)形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應當與P1g成正比(g是重力加速度)；另一部分由液體壓力引起，應當與P2g成正比。此外，每一部分還與a,x,y有關。由于應力的量綱是L-1MT-2,P1g和P2g的量綱是L-2MT-2, a是量綱一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應力分量具有多項式的解答，那么它們的表達式只可能是APigx,BPigy,0P2gx,DP2gy四項的組合，而其中的A,B,C,D是量綱一的量，只與a有關。這就是說，各應力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應力函數(shù)與應力分量的關系式可知，應力函數(shù)比應力分量的長度量綱高二次，應該是x和y純三次式，因此，假設①-ax3+bx2y+cxy2+dy3相應的應力分量表達式為d29 a2① a2中o xf=2cx+6dy,0 yf=6ax+2by-pgy,工-- =-2bx-2cyxdy2 x yax2 y 1 xyaxay這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。左面，x-0,l=-1,m=0，作用有水平面力p2gy，所以有-(-(o)--6dy=pgyxx=0對左面的任意y值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有—(t) =2cy=0對左面的任意y值都應成立，可見c=0因此，應力分量可以簡化為斜面，x=ytana由第一個方程，得ox=—p2gy，l=cosa,o=6ax+2by-p斜面，x=ytana由第一個方程，得ox=—p2gy，l=cosa,o=6ax+2by-pgy,「兀)m=cos—+a12；卜x+mTyx^x=ytanamo+1t)yxyx=ytanat=—2bx

xy=-sina，沒有面力，所以有=0=0-pgycosa+2bytanasina=02對斜面的任意y值都應成立，這就要求-pgcosa+2btanasina=02由第二個方程，得-(6aytana+2by-pgylina-2bytanacosa=(-6atanasina-4bsina+pgsina}=01對斜面的任意x值都應成立，這就要求-6atana-4b+pg=01由此解得a=pgcota-pgcot3a,61 32b=1pgcot2a22從而