第5章 控制系統(tǒng)頻率特性分析法(2)-v1

化工與環(huán)境學院《過程裝備與控制工程》專業(yè)陳祥光2014年4月—《過程控制原理》課程(第5章)作業(yè):習題5-1、5-6、5-8——第5章控制系統(tǒng)頻率特性分析法5.1頻率特性及其與傳遞函數(shù)的關(guān)系5.2頻率特性的圖示方法5.3奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量5.5閉環(huán)頻率特性5.6頻率法在校正裝置設(shè)計中的應(yīng)用——5.2頻率特性的圖示方法⑤振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法當K=1時，其對數(shù)幅頻和相頻特性為(5-74)

(5-75)

當，即時，由式(5-74)，有

說明振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻漸近線為零分貝線?！?.2頻率特性的圖示方法

當，即時，有

說明振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的高頻漸近線是一條斜率為-40的直線。以上兩條漸近線在，即相交。交點頻率為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率?！?.2頻率特性的圖示方法

振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性不僅與有關(guān)，而且與阻尼系數(shù)有關(guān)。將漸近線與式(5-74)比較可知，用漸近線近似表示所產(chǎn)生的誤差，隨值的大小而不同。

當0.40.7時，漸近線的誤差尚不大；當時，誤差增大?！?.2頻率特性的圖示方法

如前所述，當值很小時，將使A產(chǎn)生很大的諧振峰值，所以值越小，誤差越大。當=0時，在處的數(shù)值達到無窮大，振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)無阻尼等幅振蕩。根據(jù)式(5-74)繪制的精確對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-34所示。圖5-34振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性()時——5.2頻率特性的圖示方法

由圖可見，在接近的范圍內(nèi)漸近線的誤差大；在遠離的范圍內(nèi)誤差小，漸近線與精確曲線非常接近。

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性可以給定一系列值，由式(5-75)繪制。當時，

；當時，不論為何值，

均等于。當時，曲線也示于圖5-34中?！?.2頻率特性的圖示方法上式是理想PD調(diào)節(jié)器的頻率特性。

⑥比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法當時，其對數(shù)幅頻和相頻特性為(5-77)(5-76)

將以上兩式與式(5-72)、式(5-73)比較，可以看出比例微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性僅差一個符號，所以二者的特性曲線對稱于軸?！?.2頻率特性的圖示方法

將慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性以零分貝線為軸、相頻特性以0°線為軸向上翻轉(zhuǎn)過去，便可得比例微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，如圖5-35。

——5.2頻率特性的圖示方法

⑦比例積分環(huán)節(jié)比例積分環(huán)節(jié)或理想PI調(diào)節(jié)器的幅相頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法當時，其對數(shù)幅頻和相頻特性為(5-78)(5-79)

由式(5-78)可知，當，即時，有——5.2頻率特性的圖示方法

這說明比例積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的高頻漸近線為零分貝線。這兩條漸近線的交點頻率為比例積分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率。在交點處漸近線與實際特性曲線的誤差為分貝，其他頻率處的誤差，可以參照慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線(圖5-31)。

比例積分環(huán)節(jié)的相頻特性可按式(5-79)逐點繪出?！?.2頻率特性的圖示方法

比例積分環(huán)節(jié)的精確對數(shù)頻率特性曲線及其漸近線，如圖5-36所示。圖5-36——5.2頻率特性的圖示方法

⑧比例積分微分環(huán)節(jié)即理想PID調(diào)節(jié)器其幅相頻率特性為當時，由式(5-80)，有:

——5.2頻率特性的圖示方法當時，其對數(shù)幅頻和相頻特性為

(5-80)(5-81)

這說明PID三作用調(diào)節(jié)器對數(shù)幅頻特性在低頻范圍內(nèi)近似PI調(diào)節(jié)器的特性。

>0——5.2頻率特性的圖示方法當時，由式(5-80)近似得說明PID調(diào)節(jié)器對數(shù)幅頻特性在高頻范圍內(nèi)近似于PD調(diào)節(jié)器的特性。

適當選擇調(diào)節(jié)器參數(shù)、和，可在工作頻率范圍內(nèi)獲得適當?shù)谋壤⑽⒎趾头e分三種調(diào)節(jié)作用。改變值，只能使特性曲線上移或下移一個距離。對數(shù)相頻特性曲線也可作同樣分析。>0——5.2頻率特性的圖示方法圖5-37圖5-37畫出了=2分、=0.5分，=1時的PID調(diào)節(jié)器對數(shù)頻率特性曲線。

轉(zhuǎn)角頻率轉(zhuǎn)角頻率——5.2頻率特性的圖示方法

⑨純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為其對數(shù)幅頻和相頻特性為

(5-82)(5-83)——5.2頻率特性的圖示方法

所以其對數(shù)幅頻特性曲線為零分貝線，而相頻特性與成比例。純滯后環(huán)節(jié)的相頻特性曲線如圖5-38所示。圖5-38——5.2頻率特性的圖示方法

⑩不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法

當K=1時，其對數(shù)幅頻和相頻特性為

(5-84)(5-85)

與式(5-72)和式(5-73)比較可知，不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)的完全相同。只是不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)將有更大的滯后相角?！?.2頻率特性的圖示方法當時，，當時，。慣性環(huán)節(jié)在

范圍內(nèi)的相角在之間，而不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的相角在與之間，如圖5-39所示。圖5-39——5.2頻率特性的圖示方法【例5-6】設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

已知，試繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性?！?.2頻率特性的圖示方法

解系統(tǒng)由五個基本環(huán)節(jié)組成，其對數(shù)幅頻和相頻特性為——5.2頻率特性的圖示方法

①將各轉(zhuǎn)角頻率、，標在頻率線上。

②分別畫出五個基本組成環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸近線和相頻曲線。

——5.2頻率特性的圖示方法

③將每個環(huán)節(jié)的特性曲線代數(shù)相加，即可繪制出開環(huán)系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線和相頻曲線。

④如有必要，按各環(huán)節(jié)的誤差曲線進行修正，繪制出精確的對數(shù)幅頻特性曲線。修正時應(yīng)注意各環(huán)節(jié)之間的影響。

圖5-40例5-6的開環(huán)對數(shù)頻率特性——5.2頻率特性的圖示方法

折線的最后一個分段是開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的高頻漸近線。高頻漸近線的斜率為

式中，分別為開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式和分子多項式的階次?！?.2頻率特性的圖示方法

開環(huán)對數(shù)相頻特性按式(5-88)由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性相加求得。應(yīng)注意到，在低頻區(qū)，即時，

在高頻區(qū)，即時，

注意到在不同頻率區(qū)域內(nèi)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率和相頻特性角度的對應(yīng)關(guān)系，在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和校正裝置的設(shè)計中是很有用的?！?.2頻率特性的圖示方法(3)穩(wěn)態(tài)誤差和對數(shù)幅頻特性曲線之間的關(guān)系

在前面第3-4節(jié)里，介紹了反饋控制系統(tǒng)的類型和誤差系數(shù)的概念。系統(tǒng)的類型是按開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的階次定義的。由式(5-89)已知開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻漸近線為——5.2頻率特性的圖示方法

所以，系統(tǒng)的類型(，1，2，…)確定了開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線低頻段的斜率。因此，給定了一個控制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，便可根據(jù)其低頻段的斜率和位置確定該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)類型和誤差系數(shù)?！?.2頻率特性的圖示方法

①穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)的確定

設(shè)有一0型控制系統(tǒng)()，其開環(huán)幅相頻率特性為在低頻范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性為

在范圍內(nèi)，是一條高度為的水平線，對數(shù)幅頻特性如圖5-41所示。

有兩個轉(zhuǎn)角頻率，——5.2頻率特性的圖示方法

系數(shù)就是穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)，求出對數(shù)幅頻曲線低頻段的高度，即可確定的值。——5.2頻率特性的圖示方法圖5-410型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性A0——5.2頻率特性的圖示方法

②穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)的確定在低頻范圍內(nèi)對數(shù)幅頻特性為:

曲線低頻段的斜率是。

設(shè)一1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法

當時，。因此，斜率為的低頻段或它的延長線在處與零分貝線相交?？砂搓P(guān)系式確定的值。

的轉(zhuǎn)角頻率為。大于或小于值兩種情況下的對數(shù)幅頻特性，如圖5-42所示。圖5-421型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性——5.2頻率特性的圖示方法

當時,。即在處作垂線與曲線相交，交點的縱坐標值就是。利用這一關(guān)系也可確定的值?！?.2頻率特性的圖示方法

③穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)的確定在低頻范圍內(nèi)對數(shù)幅頻特性是

曲線低頻段的斜率為。設(shè)一2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為——5.2頻率特性的圖示方法

當時，。因此，斜率為的低頻段或它的延長線在處與零分貝線相交?？砂搓P(guān)系式確定的值。——5.2頻率特性的圖示方法

的轉(zhuǎn)角頻率為。大于或小于值兩種情況下的對數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-43所示。

當時，，即在處作垂線與曲線相交，交點的縱坐標值即為。利用這一關(guān)系也可確定的值。圖5-432型系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線——5.2頻率特性的圖示方法

(4)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

在討論不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性時，我們看到，其幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)完全相同，而相位滯后量卻比慣性環(huán)節(jié)大。兩者在傳遞函數(shù)上的差別是，不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的極點在右半s平面。為了說明系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性的關(guān)系，引入了最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的概念?！?.2頻率特性的圖示方法

最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))是在幅頻特性相同的系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))中，其相位變化范圍為最小值的系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))。如，在右半S平面上沒有極點或零點的傳遞函數(shù)是最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))稱為最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))。

相位變化范圍大于最小值的系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))稱為非最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))。所以系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié)、不穩(wěn)定環(huán)節(jié)(包括不穩(wěn)定的局部回路)等都是非最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))。

【例5-7】三個最小相角系統(tǒng)傳遞函數(shù)的近似對數(shù)幅頻特性曲線分別如下圖(a)、(b)和(c)所示。要求：（1）寫出對應(yīng)的傳遞函數(shù)；（2）概略繪制對應(yīng)的對數(shù)相頻特性曲線?！?.2頻率特性的圖示方法ω0——5.2頻率特性的圖示方法解(a)依圖可寫出：其中參數(shù)：

則：

轉(zhuǎn)角頻率——5.2頻率特性的圖示方法

(b)依圖可寫出

上式中:轉(zhuǎn)角頻率——5.2頻率特性的圖示方法

(c)依圖可寫出

轉(zhuǎn)角頻率——5.2頻率特性的圖示方法【例5-8】由對數(shù)幅頻特性求傳遞函數(shù),設(shè)某系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸進特性為:

lg100解:由題圖5-2知在低頻段漸進線斜率